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  • 2021-05-13 发布

高考数学专题——与导数有关的构造函数

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一.命题陷阱:‎ ‎1.图形考虑不周陷阱;‎ ‎2.思维定式陷阱(与等式有关的构造函数);‎ ‎3. 已知条件中含有导函数值而无从下手;‎ ‎4.恒成立中的最值陷阱 ‎5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱 ‎6.与三角函数有关的构造函数 ‎7.忽视分母造成解集不完备 ‎8.与指数函数对数函数有关的构造 二.典例分析及练习 ‎(一)图形考虑不周陷阱 例1.已知,若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解,则实数的取值范围为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 化简可得=‎ 当时,,‎ 当0≤x<1时,,当时,‎ ‎∴在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减;‎ 当x<0时,<0,f(x)为减函数,‎ ‎∴函数在(0,+∞)上有一个最大值为,作出函数的草图如图:‎ 则方程等价为,‎ 要使关于x的方程恰好有4个不相等的实数根,‎ 等价为方程有两个不同的根m1>且0<m2<,‎ 设,‎ 则 解得1<t<1+,‎ 故答案选:C.‎ 陷阱预防:这类问题根据已知条件画出函数的图象,利用图象求解时注意切线等特殊位置 练习1. 已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数f(x)的图象,‎ 练习2. 已知函数,关于的不等式只有1个整数解,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得。‎ ‎∴当时,单调递增;当时,单调递减。‎ ‎∴当时,有最大值,且,‎ 且时,;时,;‎ 故在(0,1)上,,在(1,+∞)上,,‎ 作出函数f(x)的图象如下:‎ ‎①当时,由得,解集为(0,1)∪(1,+∞),‎ 所以不等式的整数解有无数多个,不合题意;‎ ‎②当时,由得或。‎ 当时,解集为(1,+∞),有无数个整数解;‎ 当时,解集为(0,1)的子集,不含有整数解。‎ 故不合题意。‎ 综上,选D。‎ ‎【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用 ‎(1)研究两函数图象的交点个数:在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解;‎ ‎(2)确定方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;‎ ‎(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.‎ ‎(二)思维定式陷阱(与等式有关的函数构造)‎ 例2. 若函数满足,则当时,( )‎ A. 有极大值,无极小值 B. 有极小值,无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 ‎【答案】C ‎【解析】由题设知,当时,,‎ 可得为常数),又,得C=0‎ 所以.‎ 故选B.‎ 陷阱预防:这类问题在构造函数是,注意逆向思维,构造出的函数的导函数与已知条件相同,或者能够利用已知条件求解.‎ 练习1. 函数的导函数为,满足,且,则的极值情况为( )‎ A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 将代入可得:‎ 则 ‎=‎ 令则,当时,,当时,‎ ‎,故当时,取最大值0,故恒成立,故恒成立,故既无极大值也无极小值,故选 练习2. 若函数在上可导,且,则(  ).‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【方法规律】常用的构造函数有:‎ ‎,构造xf(x);‎ ‎2xf(x)+x2f′(x),构造x2f(x);‎ ‎,构造;‎ ‎,构造;‎ ‎,构造.等等.‎ ‎(三)已知条件中含有导函数值陷阱 例3.已知函数在R上可导,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可得:,令得,所以令代入原式得:‎ 陷阱预防:根据已知条件先求特殊值的导函数值后再求解 练习1.若函数在上可导,且,则(  ).‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C 练习2. 若函数满足,则等于(   )‎ A. -1 B. -2‎ C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,∴,令函数,可得,即函数为奇函数,∴,故选B.‎ ‎(四)恒成立中的最值陷阱 例4. 已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数f(x)的图象,‎ 由y=可得直线在y轴上的截距为4,‎ 若4恒成立,图像恒在分段函数的上方,故 故选:D.‎ 陷阱预防:恒成立问题中要分清求的是最大值还是最小值 练习1. 函数在实数集上连续可导,且在 上恒成立,则以下不等式一定成立的是(  )‎ A. B. C. f(-2)>e3f(1) D. f(-2)<e3f(1)‎ ‎【答案】A 练习2. 设函数的导函数为,且在上恒成立,则,,的大小关系为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设函数,则,因为在上恒成立,故当时,恒成立,所以函数在时,单调递减,所以,即成立,故选D.‎ ‎【方法规律】‎ 函数恒成立求参的问题,方法一般有:变量分离,转化成函数最值问题;直接构造函数,使函数最值和0比较;分离成两个函数,让其中一个函数在另一个的上方或者下方.‎ ‎(五)含有导函数的式子中的和差构造 例5.函数在其定义域内满足,(其中为函数的导函数),‎ ‎,则函数 A. 有极大值,无极小值 B. 有极小值,无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 ‎【答案】B 故选:B 陷阱预防:根据含有导函数式子中和差,一般情况下,和考虑构造函数的积,差考虑函数的商,余弦函数正好相反.‎ 练习1. 已知定义在上的奇函数的导函数为,当时,满足,,则在上的零点个数为( )‎ A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可构造函数 则 由题当时,满足,,,‎ 即函数 在 时是增函数, 又 ‎ ‎∴当 成立, ∵对任意是奇函数, ∴ 时, 即只有一个根就是0. 故选D。‎ 练习2. 设是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由,即,令,则当时,得,即在上是增函数,,,即不等式等价为,在上是增函数,由得,,即,又因为是定义在,所以,故,不等式的解集为故选C.‎ ‎(六)与三角函数有关的构造函数 例6.定义在上可导函数的导数为,且,则下列判断中,一定正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 故选A.‎ 陷阱预防:构造函数时注意正弦、余弦的导数公式,尤其注意余弦的导数公式的符号 练习1.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成 立,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数,则,即g(x)在上单调递增,所以,即,故选B.‎ 练习2.定义在上的函数满足:恒成立,则下列不等式中成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 故答案选A.‎ ‎【方法规律】根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑:‎ ① 原函数是函数和差的组合;‎ ② 原函数是函数乘除的组合;‎ ③ 原函数是函数与的乘除的组合;‎ ④ 原函数是函数与的乘除的组合;‎ ⑤ 原函数是函数与的乘除的组合;‎ ⑥ 原函数是函数与的乘除的组合.‎ ‎(七)忽视分母造成解集不完备 例7. 已知函数是定义在的可导函数,为其导函数,当且时,,若曲线在处的切线的斜率为,则()‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 且 时,,可得:‎ ‎ 时,‎ ‎ 时,‎ 令 可得: 时, ; 时,‎ 可得:函数在处取得极值,‎ ‎ . 故答案为 陷阱预防:解答时讨论分母的正负 练习1. 对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:由题意时, , 递减, 时, , 递增,因此, ,所以.故选A.‎ 练习2. 设为定义在上的函数的导函数,且恒成立,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,即,设,则,当时,恒成立,即在上单调递增,,,故选A.‎ ‎【方法规律】求解这类问题一定要耐心读题、读懂题,通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据①,联想到函数,再结合条件判断出其单调性,进而得出正确结论.‎ ‎(八)与指数函数对数函数有关的构造 例8.定义在上的函数与其导函数满足,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得。‎ 令,则。‎ ‎∴函数在在上为增函数,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴.选A.‎ 陷阱预防:构造函数时注意原函数是函数与的乘除的组合,原函数是函数与的乘除的组合 练习1.定义域为 的可导函数的导函数为,满足,且则不等式 的解集为(      )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 练习2.已知定义在上的函数的导数为,且满足,则()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令g(x)=,则g′(x) ,‎ 故g(x)在(0,+∞)递增,‎ 故g(e)<g(e2)<g(e3),‎ 故6f(e)<3f(e2)<2f(e3),‎ 故选:B.‎ 练习3.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,,即,设,则即,则当时,‎ 得,即在上是减函数,,,即不等式等价为,在是减函数,可得,,即,又因为定义在,所以, 不等式 的解集为,故选C.‎ ‎【方法规律】解答这类题的关键是构造函数,主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑:①原函数是函数和差的组合;②原函数是函数乘除的组合;③原函数是函数与的乘除的组合;④原函数是函数与的乘除的组合;⑤原函数是函数与的乘除的组合;⑥原函数是函数与的乘除的组合.‎ 三.高考真题体验 ‎1.若是函数的极值点,则的极小值为()‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由题可得 因为,所以,,故 令,解得或,所以在单调递增,在单调递减 所以极小值为,故选A。‎ ‎2.函数y=f(x)的导函数的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D.‎ ‎3.已知函数有唯一零点,则a=‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:函数的零点满足,‎ 设,则,‎ 当时,,当时,,函数 单调递减,‎ 当时,,函数 单调递增,‎ 当时,函数取得最小值,‎ 设 ,当时,函数取得最小值 ,‎ 若,函数与函数没有交点,‎ 当时,时,此时函数和有一个交点,‎ 即,解得 .故选C.‎ ‎4.设函数=,其中a1,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是( )‎ ‎(A)[-,1) (B)[-,) (C)[,) (D)[,1)‎ ‎【答案】D 当时,=-1,,直线恒过(1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故选D.‎ ‎5.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是()‎ A.   B.‎ C.   D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是,故选A.‎ ‎6.对二次函数(为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()‎ A.是的零点 B.1是的极值点 C.3是的极值 D. 点在曲线上 ‎【答案】A ‎【解析】若选项A错误时,选项B、C、D正确,,因为是的极值点,是的极值,所以,即,解得:,因为点在曲线上,所以,即,解得:,所以,,所以,因为,所以不是的零点,所以选项A错误,选项B、C、D正确,故选A.‎ ‎7.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象,解议程组得两曲线的交点坐标为,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 ‎.‎ ‎8.若定义在上的函数满足,其导函数满足,则下列结论中一定错误的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C