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- 2021-05-13 发布
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绝对值不等式
学习目标
(1) 含绝对值的不等式|x|a的解集
(2) (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
重点
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
1．绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔
②|ax＋b|≥c⇔
(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当 时，等号成立．
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
课堂设计
学生随堂手记
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2．若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．
解析：由|x－a|＜1，则－1＜x－a＜1，
∴a－1k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．
解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，
∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，
∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，
即k＜－3.
答案：(－∞，－3)
4．f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________．
解析：∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1,
∴f(x)min＝1.
答案：1
5．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2＝5.
答案：5
6.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
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