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- 2021-05-13 发布
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2012年高考数学二轮复习同步练习:
专题2函数、导数及其应用
第1讲 函数的图像与性质
一、选择题
1.(文)(2011·海南五校联考)若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[答案] C
[解析] 由已知得函数y=x2+(1-a)x-a是偶函数,因此1-a=0,a=1,选C.
(理)(2011·重庆理,5)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( )
A.(-∞,1] B.[-1,]
C.[0,) D.[1,2)
[答案] D
[解析] f(x)=|ln(2-x)|
=
所以当x∈(-∞,1)时,f(x)是减函数,
当x∈[1,2)时,f(x)是增函数,故选D.
[评析] 本题亦可作出f(x)的图像,直接判定.
2.(文)(2011·浙江理,1)设函数f(x)=,若f(a)=4,则实数a=( )
A. -4或-2 B. -4或2
C.-2或4 D.-2或2
[答案] B
[解析] 当a≤0时,f(a)=-a=4,∴a=-4;
当a>0时,f(a)=a2=4,∴a=2.
综之:a=-4或2,选B.
(理)(2011·广东理,4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数
[答案] A
[解析] ∵f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|,
∴f(x)+|g(x)|为偶函数.选A.
3.(2011·广东文,4)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
[答案] C
[解析] 要使函数有意义,则有,即,所以函数的定义域为 (-1,1)∪(1,+∞).
4.(2011·宁波二模)函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x2-12x+16,则直线y=2与函数f(x)图像的所有交点的横坐标之和是( )
A.1 B.2
C.4 D.5
[答案] D
[解析]
本题考查函数单调性、奇偶性、对称性知识.结合函数图像,该函数图像与直线y=2有三个交点,x1=-1,x2+x3=6(其中x2,x3关于x=3对称),则横坐标之和为5.
5.(2010·山东理,4)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
A.3 B.1
C.-1 D.-3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即0=20+b,
∴b=-1,故f(1)=2+2-1=3,
∴f(-1)=-f(1)=-3.
6.(2011·厦门质检)以下四个函数图像错误的是( )
[答案] C
[解析] 函数y=log|x|的图像关于y轴对称,其图像向左平移1个单位可得函数y=log|x+1|的图像,其图像关于直线x=-1对称,由此可知C选择支中的图像是不正确的,故应选C.
7.(文)(2011·辽宁文,6)若函数f(x)=为奇函数,则a=( )
A. B.
C. D.1
[答案] A
[解析] 解法一:∵f(x)是奇函数且
f(x)==
∴f(-x)==-f(x)
=
∴-(1-2a)=1-2a,∴1-2a=0,∴a=.
解法二:∵f(x)的分子是奇函数
∴要使f(x)为奇函数,则它的分母必为偶函数
∴1-2a=0,∴a=.
(理)(2011·大纲全国卷理,9)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)=( )
A.- B.-
C. D.
[答案] A
[解析] f(-)=f(-)=-f()=-.
8.(2011·山东理,9)函数y=-2sinx的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 依题意f(x)是奇函数且f(0)=0,则排除A.
令f(x)=0,则-2sinx=0,即sinx=,
又-1≤sinx≤1,∴-4≤x≤4,
即方程f(x)=0的零点在(-2π,2π)之间,则排除D.
又f′(x)=-2cosx,则f′(x)=0,即cosx=,当x∈R时,x的值有无数个,即函数f(x)的极值点有无数个,则排除B.故选C.
二、填空题
9.(2011·龙岩质检题)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=__________.
[答案] -1
[解析] 令x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1-x),又f(x)为奇函数,所以当x<0时有f(x)=x(1-x),令f(a)=a(1-a)=-2,得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2(舍去).
10.(2011·湖南文,12)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=________.
[答案] 6
[解析] 由g(x)=f(x)+9知g(-2)=f(-2)+9=3,∴f(-2)=-6,而由于f(x)是奇函数,
所以f(2)=-f(-2)=-(-6)=6.
11.(文)(2011·武汉调研)若函数y=f(x+2)的图像过点P(-1,3),则函数y=f(x)的图像关于原点O对称的图像一定过点________.
[答案] (-1,-3)
[解析] 依题意得f(-1+2)=3,f(1)=3,即函数f(x)的图像一定过点(1,3),因此函数y=f(x)的图像关于原点O对称的图像一定经过点(1,3)关于原点O的对称点(-1,-3).
(理)(2011·南京一调)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号).
[答案] ②④
[解析] 对于①,方程=+1,显然无实数解;对于②,由方程2x+1=2x+2,解得x=1;对于③,方程lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3,显然也无实数解;对于④,方程cos[π(x+1)]=cosπx+cosπ,即cosπx=,显然存在x使等式成立,故填②④.
12.(文)(2011·安徽文,13)函数y=的定义域是________.
[答案] {x|-30,得x2+x-6<0,
即{x|-31,f(2)=,则实数a的取值范围是________.
[答案] (-1,)
[解析] f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1),又f(1)>1,所以f(2)<-1,即<-1,解得-10,
而2a2+a+1=2(a=)2+>0.
∵f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,而偶函数图像关于y轴对称,
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
∴由f(a2-2a+5)2a2+a+1⇒a2+3a-4<0
⇒-4>,∴-10时,f(x)<0,又f(1)=-.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)在R上是减函数;
(3)求f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值.
[解析] (1)证明:令x=y=0,可得f(0)+f(0)=f(0+0),从而f(0)=0.
令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0.
即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
(2)证明:设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0,于是f(x1-x2)<0,从而f(x1)-f(x2)
=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2)<0.
∴f(x)为减函数.
(3)解:由(2)知,所求函数的最大值为f(-3),最小值为f(6).
f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]
=-2f(1)-f(1)=-3f(1)=2,
f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-2f(-3)=-4.
于是f(x)在[-3,6]上的最大值为2,最小值为-4.
15.(2011·盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+b的图像过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
[解析] (1)由题意知:a=1,b=0,
∴f(x)=x2+2x.
设函数y=f(x)图像上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则x0=-x,y0=-y.
∵点Q(x0,y0)在y=f(x)的图像上,
∴-y=x2-2x.∴y=-x2+2x.
∴g(x)=-x2+2x.
(2)F(x)=-x2+2x-λ(x2+2x)
=-(1+λ)x2+2(1-λ)x,
∵F(x)在(-1,1]上是增函数且连续,
F′(x)=-2(1+λ)x+2(1-λ)≥0恒成立,
即λ≤=-1在(-1,1]上恒成立,
由-1在(-1,1]上为减函数,
当x=1时取最小值0,
故 λ≤0,所求λ的取值范围是(-∞,0].