高考文科数学试题及答案北京 8页

‎2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文史类）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 第I卷（选择题共40分）‎ ‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ ‎ 一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎ （1）设集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是 ‎ （A）M＝P （B）PM （C）MP （ D）‎ ‎（2）为了得到函数的图象，只需把函数上所有点 ‎ （A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ （B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ （C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ （D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎（3）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ‎ （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 ‎ （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ （4）若，且，则向量与的夹角为 ‎ （A）30° （B）60° （C）120° （D）150°‎ ‎ （5）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 ‎ （A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ ‎ （C）cos(α+β)0；④.‎ ‎ 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .‎ ‎（14）已知n次多项式,‎ ‎ 如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算．‎ ‎ 下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（15）（本小题共12分）‎ ‎ 已知=2，求 ‎ ‎（I）的值； （II）的值．‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ ‎ 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，‎ ‎ （I）求证：AC⊥BC1；‎ ‎ （II）求证：AC 1//平面CDB1；‎ ‎ （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎（17）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求 ‎ （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）的值.‎ ‎（18）（本小题共13分）‎ ‎ 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，‎ ‎ （I）甲恰好击中目标的2次的概率；‎ ‎ （II）乙至少击中目标2次的概率；‎ ‎ （III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ ‎ 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, ‎ ‎（I）求f(x)的单调递减区间；‎ ‎（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．‎ ‎（I）分别用不等式组表示W1和W2；‎ ‎（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．‎ ‎ ‎ ‎2005年普通高等学校招生全国统一考试数学 ‎（文史类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎ （1） C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）x=－1；(1, 0) （10）－20 （11）[－1, 2)∪(2, +∞) ‎ ‎（12） （13）②③ （14）65；20‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎ （15）（共12分）‎ 解：（I）∵ tan=2, ∴ ;‎ 所以 ‎ =；‎ ‎（II）由(I), tanα=－, 所以==.‎ ‎ （16）（共14分）‎ ‎（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，‎ ‎∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；‎ ‎（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，‎ ‎∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；‎ ‎（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，‎ 在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.‎ ‎（17）（共13分）‎ 解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得 ‎，，，‎ 由（n≥2），得（n≥2），‎ 又a2=，所以an=(n≥2),‎ ‎∴ 数列{an}的通项公式为；‎ ‎（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ =.‎ ‎ （18）（共13分）‎ 解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为 ‎ ‎ （II）乙至少击中目标2次的概率为；‎ ‎ （III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．‎ ‎=.‎ ‎ 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.‎ ‎（19）（共14分）‎ ‎ 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，‎ ‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．‎ ‎ （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ ‎ 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． ‎ 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，‎ ‎ 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．‎ ‎（20）（共14分）‎ 解：（I）W1={(x, y)| kx0}，‎ ‎ （II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得 ‎ , 即，‎ ‎ 由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，‎ ‎ 所以 ，即,‎ ‎ 所以动点P的轨迹C的方程为；‎ ‎ （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，‎ ‎ 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．‎ ‎ 由，得 ‎ 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 ‎△=>0‎ 设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，‎ 则, , ‎ 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， ‎ 由得 从而，‎ 所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,‎ ‎ 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．‎