高考数学总复习导数的概念和运算知识梳理教案 10页

导数的概念和运算 ‎【考纲要求】‎ ‎1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。‎ ‎2.掌握常函数y=C，幂函数y=xn（n为有理数），三角函数y=sinx，y=cosx，指数函数y=ex，y=ax，对数函数y=lnx，y=logax的导数公式；‎ ‎3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。‎ ‎4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。‎ ‎【知识网络】‎ 导数的概念 导数的概念和运算 初等函数的求导公式 导数的运算法则 导数的运算 复合函数求导 ‎【考点梳理】‎ 考点一：导数的概念：‎ ‎1．导数的定义：‎ 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。‎ 即：（或）‎ 要点诠释：‎ ‎①增量可以是正数，也可以是负数；‎ ‎②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。‎ ‎2．导函数：‎ 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。‎ 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。‎ 要点诠释：‎ 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。‎ ‎3．导数几何意义：‎ ‎（1）曲线的切线 曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。‎ 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。‎ 即：。‎ ‎(2)导数的几何意义：‎ 函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。‎ 要点诠释：‎ ‎①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。‎ ‎②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。‎ ‎(3)曲线的切线方程 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：‎ ‎。‎ 考点二：常见基本函数的导数公式 ‎（1）（C为常数），‎ ‎（2）（n为有理数），‎ ‎（3），‎ ‎（4），‎ ‎（5），‎ ‎（6），‎ ‎（7），‎ ‎（8），‎ 考点三：函数四则运算求导法则 设，均可导 ‎（1）和差的导数：‎ ‎（2）积的导数：‎ ‎（3）商的导数：（）‎ 考点四：复合函数的求导法则 或 即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。‎ 要点诠释：‎ 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：导数概念的应用 例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。‎ ‎【解析】∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知函数 ‎（1）求函数在x=4处的导数.‎ ‎（2）求曲线上一点处的切线方程。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，‎ ‎∴所求切线的斜率为。‎ ‎∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。‎ 例2、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.‎ ‎【解析】设.‎ 由f(1)=3，故切点为（1，3），‎ 切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：导数的概念和运算394565 典型例题五】‎ ‎【变式】过点，曲线的切线方程为 。‎ ‎【答案】设所求切线的切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为 则所求切线方程为，又因为切线过点，代入，‎ 或 所以切线方程为或 类型三：利用公式及运算法则求导数 例3．求下列函数的导数：‎ ‎（1）； （2） ‎ ‎（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4 ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）∵，∴.‎ ‎（4）‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求下列函数的导数：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）‎ ‎（3）y=6x3―4x2+9x―6‎ ‎【答案】‎ ‎（1）.‎ ‎（2）‎ ‎∴.‎ ‎（3）‎ 例4．求下列各函数的导函数 ‎（1）；（2）y=x2sinx; ‎ ‎（３）y=； （４）y=‎ ‎【解析】‎ ‎（1）法一：去掉括号后求导.‎ 法二：利用两个函数乘积的求导法则 ‎ =2x(2x－3)+(x2+1)×2‎ ‎=6x2－6x+2‎ ‎（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx ‎ ‎（３）= ‎ ‎（4）‎ ‎=‎ ‎= ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】下列函数的导数 ‎ （1）； （2）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）法一：‎ ‎ ∴‎ 法二：‎ ‎ =+‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎【变式2】求下列函数的导数.‎ ‎（1）； （2）；（3）.‎ ‎【答案】‎ ‎（1），∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴‎ ‎ .‎ 类型四：复合函数的求导问题 例5．求下列函数导数.‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），.‎ ‎ .‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎（3），.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎（4），，‎ ‎∴‎ ‎ .‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求下列函数的导数：‎ ‎ (1)； （2） ‎ ‎（3）y=ln（x＋）； （4）‎ ‎【答案】‎ ‎(1)令,,‎ ‎（2）令 ‎ ‎ ‎（3）=＝‎ ‎（4）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 类型五：曲线的切线方程求解问题 ‎【高清课堂：导数的概念和运算394565 典型例题三】‎ 例6．如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+5，则f（3）+ f′(3)= . ‎ ‎【解析】，‎ ‎【答案】 1‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知曲线.‎ ‎（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；‎ ‎（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？‎ ‎【答案】‎ ‎（1）将代入曲线的方程得，∴切点.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴过点的切线方程为，即.‎ ‎（2）由可得，解得或.‎ 从而求得公共点为，或.‎ ‎∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.‎ 例7．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 直线的方程为.‎ 设直线过曲线上的点，‎ 则的方程为，即.‎ 因为，则有，.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎（2）解方程组 得 所以直线和的交点坐标为.‎ ‎、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，‎ 所以所求三角形的面积为.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.‎ ‎【答案】由题意知，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴曲线在（0，1）处的切线的斜率 ‎∴该切线方程为 设的方程为，‎ 则，‎ 解得，或.‎ 当时，的方程为；‎ 当时，的方程为 综上可知，的方程为或.‎