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- 2021-05-13 发布
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2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
2.(5分)(1+i)(2﹣i)=( )
A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i
3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
4.(5分)若sinα=,则cos2α=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
5.(5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
6.(5分)函数f(x)=的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
7.(5分)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1﹣x) B.y=ln(2﹣x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
8.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]
9.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为( )
A. B. C. D.
10.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
11.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
12.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)已知向量=(1,2),=(2,﹣2),=(1,λ).若∥(2+),则λ= .
14.(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
15.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是 .
16.(5分)已知函数f(x)=ln(﹣x)+1,f(a)=4,则f(﹣a)= .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。都17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题,共60分。
17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2=,
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.
20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||.
21.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程;
(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.
【解答】解:∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},
∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.
故选:C.
【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题.
2.(5分)(1+i)(2﹣i)=( )
A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i.
故选:D.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.
3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.
【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.
故选:A.
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查.
4.(5分)若sinα=,则cos2α=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果.
【解答】解:∵sinα=,
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=.
故选:B.
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
5.(5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可.
【解答】解:某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,
所以不用现金支付的概率为:1﹣0.45﹣0.15=0.4.
故选:B.
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法,判断事件是互斥事件是解题的关键,是基本知识的考查.
6.(5分)函数f(x)=的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.
【解答】解:函数f(x)===sin2x的最小正周期为=π,
故选:C.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.
7.(5分)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1﹣x) B.y=ln(2﹣x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果.
【解答】解:首先根据函数y=lnx的图象,
则:函数y=lnx的图象与y=ln(﹣x)的图象关于y轴对称.
由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称.
则:把函数y=ln(﹣x)的图象向右平移2个单位即可得到:y=ln(2﹣x).
即所求得解析式为:y=ln(2﹣x).
故选:B.
【点评】本题考查的知识要点:函数的图象的对称和平移变换.
8.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]
【分析】求出A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2,设P(2+,),点P到直线x+y+2=0的距离:d==∈[],由此能求出△ABP面积的取值范围.
【解答】解:∵直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
∴令x=0,得y=﹣2,令y=0,得x=﹣2,
∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|==2,
∵点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,∴设P(2+,),
∴点P到直线x+y+2=0的距离:
d==,
∵sin()∈[﹣1,1],∴d=∈[],
∴△ABP面积的取值范围是:
[,]=[2,6].
故选:A.
【点评】
本题考查三角表面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
9.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.
【解答】解:函数过定点(0,2),排除A,B.
函数的导数f′(x)=﹣4x3+2x=﹣2x(2x2﹣1),
由f′(x)>0得2x(2x2﹣1)<0,
得x<﹣或0<x<,此时函数单调递增,排除C,
故选:D.
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键.
10.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
【分析】利用双曲线的离心率求出a,b的关系,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离求解即可.
【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,
可得=,即:,解得a=b,
双曲线C:﹣=1(a>b>0)的渐近线方程玩:y=±x,
点(4,0)到C的渐近线的距离为:=2.
故选:D.
【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
11.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
【分析】推导出S△ABC==,从而sinC==cosC,由此能求出结果.
【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
△ABC的面积为,
∴S△ABC==,
∴sinC==cosC,
∵0<C<π,∴C=.
故选:C.
【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
12.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
【分析】求出,△ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.
【解答】解:△ABC为等边三角形且面积为9,可得,解得AB=6,
球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图:
O′C==,OO′==2,
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6,
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:=18.
故选:B.
【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)已知向量=(1,2),=(2,﹣2),=(1,λ).若∥(2+),则λ= .
【分析】利用向量坐标运算法则求出=(4,2),再由向量平行的性质能求出λ的值.
【解答】解:∵向量=(1,2),=(2,﹣2),
∴=(4,2),
∵=(1,λ),∥(2+),
∴,
解得λ=.
故答案为:.
【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
14.(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 分层抽样 .
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解.
【解答】解:某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,
为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,
则最合适的抽样方法是分层抽样.
故答案为:分层抽样.
【点评】本题考查抽样方法的判断,考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
15.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是 3 .
【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过(2,3)时,z最大.
【解答】解:画出变量x,y满足约束条件表示的平面区域如图:由解得A(2,3).
z=x+y变形为y=﹣3x+3z,作出目标函数对应的直线,
当直线过A(2,3)时,直线的纵截距最小,z最大,
最大值为2+3×=3,
故答案为:3.
【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.
16.(5分)已知函数f(x)=ln(﹣x)+1,f(a)=4,则f(﹣a)= ﹣2 .
【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值,转化求解即可.
【解答】解:函数g(x)=ln(﹣x)
满足g(﹣x)=ln(+x)==﹣ln(﹣x)=﹣g(x),
所以g(x)是奇函数.
函数f(x)=ln(﹣x)+1,f(a)=4,
可得f(a)=4=ln(﹣a)+1,可得ln(﹣a)=3,
则f(﹣a)=﹣ln(﹣a)+1=﹣3+1=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法,考查计算能力.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。都17~
21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题,共60分。
17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±2,由此能求出{an}的通项公式.
(2)当a1=1,q=﹣2时,Sn=,由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;当a1=1,q=2时,Sn=2n﹣1,由此能求出m.
【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
∴1×q4=4×(1×q2),
解得q=±2,
当q=2时,an=2n﹣1,
当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1,
∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1.
(2)记Sn为{an}的前n项和.
当a1=1,q=﹣2时,Sn===,
由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;
当a1=1,q=2时,Sn===2n﹣1,
由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,m∈N,
解得m=6.
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2=,
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;
(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.
【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,
第一种生产方式的工作时间主要集中在70~92之间,
第二种生产方式的工作时间主要集中在65~90之间,
所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,
排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m==80;
由此填写列联表如下;
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
(3)根据(2)中的列联表,计算
K2===10>6.635,
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.
19.(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.
【分析】(1)通过证明CD⊥AD,CD⊥DM,证明CD⊥平面AMD,然后证明平面AMD⊥平面BMC;
(2)存在P是AM的中点,利用直线与平面培训的判断定理说明即可.
【解答】(1)证明:矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直,所以AD⊥半圆弦所在平面,CM⊂半圆弦所在平面,
∴CM⊥AD,
M是上异于C,D的点.∴CM⊥DM,DM∩AD=D,∴CD⊥平面AMD,CD⊂
平面CMB,
∴平面AMD⊥平面BMC;
(2)解:存在P是AM的中点,
理由:
连接BD交AC于O,取AM的中点P,连接OP,可得MC∥OP,MC⊄平面BDP,OP⊂平面BDP,
所以MC∥平面PBD.
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用,直线与平面培训的判断定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.
20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||.
【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,k==﹣=﹣
又点M(1,m)在椭圆内,即,解得m的取值范围,即可得k<﹣,
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),可得x1+x2=2
由++=,可得x3﹣1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1,
|FB|=2﹣x2,|FP|=2﹣x3=.即可证明|FA|+|FB|=2|FP|.
【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵线段AB的中点为M(1,m),
∴x1+x2=2,y1+y2=2m
将A,B代入椭圆C:+=1中,可得
,
两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
即6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,
∴k==﹣=﹣
点M(1,m)在椭圆内,即,
解得0<m
∴.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
可得x1+x2=2
∵++=,F(1,0),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,
∴x3=1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1,|FB|=2﹣x2,|FP|=2﹣x3=.
则|FA|+|FB|=4﹣,
∴|FA|+|FB|=2|FP|,
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属于中档题.
21.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程;
(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
【分析】(1)
由f′(0)=﹣2,可得切线斜率k=﹣2,即可得到切线方程.
(2)可得=﹣.可得f(x)在(﹣),(2,+∞)递减,在(﹣,2)递增,注意到a≥1时,函数g(x)=ax2+x﹣1在(2,+∞)单调递增,且g(2)=4a+1>0
只需(x)≥﹣e,即可.
【解答】解:(1)=﹣.
∴f′(0)=﹣2,即曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线斜率k=﹣2,
∴曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程方程为y﹣(﹣1)=﹣2x.
即2x+y+1=0为所求.
(2)证明:函数f(x)的定义域为:R,
可得=﹣.
令f′(x)=0,可得,
当x时,f′(x)<0,x时,f′(x)>0,x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.
∴f(x)在(﹣),(2,+∞)递减,在(﹣,2)递增,
注意到a≥1时,函数g(x)=ax2+x﹣1在(2,+∞)单调递增,且g(@)=4a+1>0
函数g(x)的图象如下:
∵a≥1,∴,则≥﹣e,
∴f(x)≥﹣e,
∴当a≥1时,f(x)+e≥0.
【点评】本题考查了导数的几何意义,及利用导数求单调性、最值,考查了数形结合思想,属于中档题.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
【分析】(1)⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α=时,直线l的方程为x=0,成立;当α≠时,过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+,从而圆心O(0,0)到直线l的距离d=<1,进而求出或
,由此能求出α的取值范围.
(2)设直线l的方程为x=m(y+),联立,得(m2+1)x2+2+2m2﹣1=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.
【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为(θ为参数),
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,
当α=时,过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;
当α≠时,过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+,
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点,
∴圆心O(0,0)到直线l的距离d=<1,
∴tan2α>1,∴tanα>1或tanα<﹣1,
∴或,
综上α的取值范围是(,).
(2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=m(y+),
设A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3),
联立,得(m2+1)x2+2+2m2﹣1=0,
,
=﹣+2,
=,=﹣,
∴AB中点P的轨迹的参数方程为,(m为参数),(﹣1<m<1).
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.
(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.
【解答】解:(1)当x≤﹣时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x,
当﹣<x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2,
当x≥1时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x,
则f(x)=对应的图象为:
画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,
当x=0时,f(0)=2≤0•a+b,∴b≥2,
当x>0时,要使f(x)≤ax+b恒成立,
则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上,
∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,
且各部分直线的斜率的最大值为3,
故当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,
即a+b的最小值为5.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键.