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  • 2021-05-13 发布

新课标备战高考数学知识总结专题集合

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高中数学第一章-集合 1. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 ; ②空集是任何集合的子集,记为 ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 ,同时 ,那么A = B. 如果 . [注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(×)(例:S=N; A= ,则CsA= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A=集合B,则CBA = , CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ). 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R 二、四象限的点集. ③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: 解的集合{(2,1)}. AA ⊆ A⊆φ BA ⊆ AB ⊆ CACBBA ⊆⊆⊆ ,那么, +N ∅ ∅ ∅ }    =− =+ 132 3 yx yx ②点集与数集的交集是 . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = ) 4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n -1个. ③n个元素的非空真子集有2n-2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例:①若 应是真命题. 解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. ② . 解:逆否:x + y =3 x = 1或y = 2. ,故 是 的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若 . 4. 集合运算:交、并、补. 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系: (2) 等价关系: (3) 集合的运算律: 交换律: 结合律: 分配律:. 0-1律: 等幂律: 求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U 反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义:有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card( A)规定 card(φ) =0. φ ∅ ⇔ ⇔ 325 ≠≠≠+ baba 或,则 ,且 21 ≠≠ yx 3≠+ yx 21 ≠≠∴ yx 且 3≠+ yx 3≠+ yx 21 ≠≠ yx 且 255  xxx 或,⇒ { | , } { | } { , } A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∉   U 交: 且 并: 或 补: 且C , , , , , ; , ; , . UA A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆ Φ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⇒ ⊆ ⊆ ⊆ ⊇ ⊇    C UA B A B A A B B A B U⊆ ⇔ = ⇔ = ⇔ =  C .; ABBAABBA  == )()();()( CBACBACBACBA  == )()()();()()( CABACBACABACBA  == , , ,A A A U A A U A UΦ = Φ Φ = = =    ., AAAAAA ==  基本公式: (3) card(UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x- xm)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等 式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. (自右向左正负相间) 则不等式 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论; ②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论. 二次函数 ( )的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R (1) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C = + − = + + − − − +          + - + -x1 x2 x3 xm- 3 xm- 2 xm- 1 xm x )0)(0(0 0 2 2 1 10 ><>++++ −− aaxaxaxa n nnn  0>∆ 0=∆ 0<∆ cbxaxy ++= 2 0>a ( )的根0 02 > =++ a cbxax )(, 2121 xxxx < a bxx 221 −== 的解集)0( 02 > >++ a cbxax { }21 xxxxx >< 或       −≠ a bxx 2 的解集)0( 02 > <++ a cbxax { }21 xxxx << ∅ ∅ 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 ┐p则 ┐q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 ┐q则 ┐p 互 为 逆 否 互 逆 否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为 >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, (2)转化为整式不等式(组) 3.含绝对值不等式的解法 (1)公式法: ,与 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) (1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简 单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命 题。 构成复合命题的形式:p或q(记作“p∨q” );p且q(记作“p∧q” );非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 (1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反; (2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时 为假; (3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时 为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若P则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题; (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 5、四种命题之间的相互关系: 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 )( )( xg xf )( )( xg xf )( )( xg xf )( )( xg xf  ≠ ≥⇔≥>⇔> 0)( 0)()(0)( )(;0)()(0)( )( xg xgxf xg xfxgxfxg xf cbax <+ )0( >>+ ccbax ⇔ 6、如果已知p q那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。 若p q且q p,则称p是q的充要条件,记为p⇔q. 7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否 定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 ⇒ ⇒ ⇒