新课标备战高考数学知识总结专题集合 5页

高中数学第一章-集合 1. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 ； ②空集是任何集合的子集，记为 ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 ，同时 ，那么A = B. 如果 . [注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A= ，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： 解的集合{(2，1)}. AA ⊆ A⊆φ BA ⊆ AB ⊆ CACBBA ⊆⊆⊆ ，那么， +N ∅ ∅ ∅ }    =− =+ 132 3 yx yx ②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = ） 4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例：①若 应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. ,故 是 的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 . 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： （2） 等价关系： （3） 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律:. 0-1律： 等幂律： 求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U 反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. φ ∅ ⇔ ⇔ 325 ≠≠≠+ baba 或，则 ，且 21 ≠≠ yx 3≠+ yx 21 ≠≠∴ yx 且 3≠+ yx 3≠+ yx 21 ≠≠ yx 且 255  xxx 或，⇒ { | , } { | } { , } A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∉   U 交： 且 并： 或 补： 且C , , , , , ; , ; , . UA A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆ Φ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⇒ ⊆ ⊆ ⊆ ⊇ ⊇    C UA B A B A A B B A B U⊆ ⇔ = ⇔ = ⇔ =  C .; ABBAABBA  == )()();()( CBACBACBACBA  == )()()();()()( CABACBACABACBA  == , , ,A A A U A A U A UΦ = Φ Φ = = =    ., AAAAAA ==  基本公式： (3) card(UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x- xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等 式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. （自右向左正负相间） 则不等式 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论. 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R (1) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C = + − = + + − − − +          + - + -x1 x2 x3 xm- 3 xm- 2 xm- 1 xm x )0)(0(0 0 2 2 1 10 ><>++++ −− aaxaxaxa n nnn  0>∆ 0=∆ 0<∆ cbxaxy ++= 2 0>a ( )的根0 02 > =++ a cbxax )(, 2121 xxxx < a bxx 221 −== 的解集)0( 02 > >++ a cbxax { }21 xxxxx >< 或       −≠ a bxx 2 的解集)0( 02 > <++ a cbxax { }21 xxxx << ∅ ∅ 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 ┐p则 ┐q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 ┐q则 ┐p 互 为 逆 否 互 逆 否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为 >0(或 <0)； ≥0(或 ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组） 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法： ,与 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简 单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命 题。 构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； （2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时 为假； （3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时 为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 )( )( xg xf )( )( xg xf )( )( xg xf )( )( xg xf  ≠ ≥⇔≥>⇔> 0)( 0)()(0)( )(;0)()(0)( )( xg xgxf xg xfxgxfxg xf cbax <+ )0( >>+ ccbax ⇔ 6、如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为p⇔q. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否 定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 ⇒ ⇒ ⇒