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- 2021-05-13 发布
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第二讲 圆锥曲线的概念及性质
一、选择题
1.(2010·安徽)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )
A.B.C.D.(,0)
解析:∵原方程可化为-=1,a2=1,
b2=,c2=a2+b2=,
∴右焦点为.
答案:C
2.(2010·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个
焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.①
∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上,
∴c=6.②
又c2=a2+b2,③
由①②③知,a2=9,b2=27,
此双曲线方程为-=1.
答案:B
4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,
A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=( )
A.4 B.8 C.8D.16
解析:解法一:AF直线方程为:
y=-(x-2),
当x=-2时,y=4,∴A(-2,4).
当y=4时代入y2=8x中,x=6,
∴P(6,4),
∴|PF|=|PA|=6-(-2)=8.故选B.
解法二:∵PA⊥l,∴PA∥x轴.
又∵∠AFO=60°,∴∠FAP=60°,
又由抛物线定义知PA=PF,
∴△PAF为等边三角形.
又在Rt△AFF′中,FF′=4,
∴FA=8,∴PA=8.故选B.
答案:B
5.高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10 m,则地面上观察两旗杆
顶端仰角相等的点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析:如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆
顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而
PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图
2),则A(-5,0),C(5,0),设P(x,y),得=2
化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆.
答案:A
二、填空题
解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在
抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.
解析:F,则B,
∴2p×=1,解得p=.
∴B,因此B到该抛物线的准线的距离为+=.
答案:
8.(2010·北京)已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,
那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________.
解析:∵椭圆+=1的焦点为(±4,0),∴双曲线的焦点坐标为(±4,0),
∴c=4,=2,c2=a2+b2,
∴a=2,b2=12,
∴双曲线方程为-=1,
∴渐近线方程为y=±x=±x,
即x±y=0.
答案:(±4,0) x±y=0
即xD=,由椭圆的第二定义得|FD|=e=a-.又由|BF|=2|FD|,得a=
2a-,整理得a2=3c2,
即e2=,解得e=.
答案:
三、解答题
10.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,
过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.
解:解法一:设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),两个焦点
分别为F1、F2,则由题意,知2a=|PF1|+|PF2|=2,∴a=.在方程+=1
中,令x=±c,得|y|=.在方程+=1中,令y=±c,得|x|=.依题意知=,
∴b2=.即椭圆的方程为+=1或+=1.
解法二:设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,
则|PF1|=,|PF2|=.
由椭圆的定义,知2a=|PF1|+|PF2|=2,即a=.
由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于长轴.
故在Rt△PF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2=,
∴c2=,于是b2=a2-c2=.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求的椭圆方程为+
=1或+=1.
11.(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到
y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,
都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由
解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足-x=1(x>0),
化简得y2=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
设l的方程为x=ty+m,由得
y2-4ty-4m=0,
Δ=16(t2+m)>0,于是①
又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
·<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0⇔+y1y2-[(y1+
y2)2-2y1y2]+1<0,③
由①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2,④
对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,
即3-20,b>0),离心率e=,顶点
到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两
条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈
,求△AOB面积的取值范围.
解:解法一:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,
∴=,即=.
由得
∴双曲线C的方程为-x2=1.
(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x.
设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.
由=λ=λ得P点的坐标为,
将P点坐标代入-x2=1,
化简得mn=,
设∠AOB=2θ,∵tan=2,
∴tan θ=,sin 2θ=.
又|OA|=m,|OB|=n,
∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin 2θ
=2mn=+1.
记S(λ)=+1,λ∈,
则S′(λ)=
由S′(λ)=0得λ=1,又S(1)=2,
S=,S(2)=,
∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时,△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是.
解法二:(1)同解法一.
(2)设直线AB的方程为y=kx+m
由题意知|k|<2,m>0.
由
得A点的坐标为,
由,得B点的坐标为.
由=λ得P点的坐标为
,
将P点坐标代入-x2=1得=.
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).
S△AOB=S△AOQ+S△BOQ=|OQ|·|xA|+|OQ|·|xB|=m·(xA-xB)=m=·
=+1.
以下同解法一