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- 2021-05-13 发布
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专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
第 1 讲 集合与简单逻辑用语
1. x<0,有 x2≤0
2. (2,3) 解析:M=(-∞,3),N=(2,+∞),∴ M∩N=(2,3).
3. (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:不等式对应的二次函数开口向上,则Δ=(a-1)2-4
>0.
4. [-1,1] 解析:集合 A=[-1,1],B=(-∞,1],∴ A∩B=A.
5. 2
15
解析:
0≤a,
a+4
5
≤1 0≤a≤1
5
,
b-1
3
≥0,
b≤1
1
3
≤b≤1,利用数轴,分类讨
论可得集合 A∩B 的“长度”的最小值为1
3
-1
5
= 2
15.
6.
-1
2
,1
3 解析:p:x2+x-6<0 为真,则不等式的解集为 A=(-3,2),由 q:mx
+1>0 得 m=0 时,解集为 B=R,m>0 时,解集为 B= -1
m
,+∞ ,m<0 时,解集为 B
= -∞,-1
m ,m=0 时,A B 成立;m>0 时,-1
m
≤-3,0<m≤1
3
;m<0 时,-1
m
≥2,
-1
2
≤m<0,综上 m∈ -1
2
,1
3 .
7. 12 解析:这是一个典型的用韦恩图来求解的问题,如图.设两者都喜欢的人数为 x,
则只喜爱篮球的有 15-x,只喜爱乒乓球的有 10-x,由此可得(15-x)+(10-x)+x+8=30,
解得 x=3,所以 15-x=12,即所求人数为 12.
8. (-∞,-4)∪(4 2,+∞) 解析:两集合分别表示半圆和直线,画图利用几何性质
可得答案.
9. 解:(1) 2-x+3
x+1
≥0 2x+2-x+3
x+1
≥0 x-1
x+1
≥0 (x-1)(x+1)≥0 且 x≠-1 x≥1
或 x<-1.∴ 集合 A={x|x≥1 或 x<-1}.
(2) (x-a-1)(2a-x)>0(a<1) (x-a-1)(x-2a)<0.∵ a<1,∴ 2a<a+1.∴ 2a<x<a
+1.∴ 不等式的解为 2a<x<a+1.∴ 集合 B={x|2a<x<a+1}.∵ B A,∴ 2a≥1 或 a
+1≤-1,∴ a≥1
2
或 a≤-2.又 a<1,则实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪
1
2
,1 .
10. 解:若命题 p 为真,则 m2-4>0,
-m<0
m>2.若命题 q 为真,Δ=16(m-2)2-16
<0,1<m<3.p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以若命题 p 为真,命题 q 为假,则 m≥3;若命题
p 为假,命题 q 为真,则 1<m≤2,综上,则实数 m 的取值范围是{m|1<m≤2 或 m≥3}.
第 2 讲 函数、图象及性质
1. f(x)=(x-2)2 解析:函数满足 f(x)=f(x+2),函数周期为 2.则 x∈[2,3],x-2∈[0,1],
f(x)=f(x-2)=(x-2)2.
2. (0,1] 解析:y= x
x-m
=1+ m
x-m
,由反比例函数性质可得到 0<m≤1;也可以用导
数求得.
3. 1
2
解析:f(-x)= 1
2-x-1
+a= 2x
1-2x
+a,f(-x)=-f(x)
2x
1-2x
+a=-
1
2x-1
+a
2a= 1
1-2x
- 2x
1-2x
=1,故 a=1
2
;也可用特殊值代入,但要
检验.
4. 1<a< 2 解析:函数为奇函数,在(-1,1)上单调递减,f(1-a)+f(1-a2)>0,得 f(1
-a)>f(a2-1).∴
-1<1-a<1,
-1<1-a2<1
1-a<a2-1
, 1<a< 2.
5. [3,+∞) 解析:
|x-2|-1≥0,
x-1>0,
x-1≠1
x-2≥1 或 x-2≤-1,
x>1,
x≠2
x≥3.
6. 2 解析:函数满足 f(x+2)= 1
fx
,故 f(x+4)= 1
fx+2
=f(x),函数周期为 4,f(2 012)
=f(0),又 f(2)= 1
f0
,∴ f(0)=2.
7. 3 解析:画图可知a+-1
2
=1,a=3,也可利用 f(0)=f(2)求得,但要检验.
8. 1 解析:由 y=|x2-2x-t|得 y=|(x-1)2-1-t|,函数最大值只能在 y(0),y(1),y(3)
中取得,讨论可得只有 t=1 时成立.
9. 解:(1) ∵ f(a+2)=18,f(x)=3x,∴ 3a+2=18 3a=2,
∴ g(x)=(3a)x-4x=2x-4x,x∈[-1,1].
(2) g(x)=-(2x)2+2x=- 2x-1
2 2+1
4
,当 x∈[-1,1]时,2x∈
1
2
,2 ,令 t=2x,∴ y=
-t2+t=- t-1
2 2+1
4
,由二次函数单调性知当 t∈
1
2
,2 时 y 是减函数,又 t=2x 在[-1,1]
上是增函数,∴ 函数 g(x)在[-1,1]上是减函数.(也可用导数的方法证明)
(3) 由(2)知 t=2x,2x∈
1
2
,2 ,则方程 g(x)=m 有解 m=2x-4x
在[-1,1]内有解 m=t-t2=- t-1
2 2+1
4
,t∈
1
2
,2 ,
∴ m 的取值范围是 -2,1
4 .
10. (1) 证明:取 x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),∴ f(0)=0,取 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(-
x),∴ f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇函数.
(2)解: 任取 x2>x1,则 x2-x1>0,∴ f(x2-x1)<0,又 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)
-f(x1)<0,∴ f(x2)<f(x1),f(x)在[-3,3]上单调递减,f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,∴ f(x)
在[-3,3]上的最大值 f(-3)=6,最小值 f(3)=-6.
第 3 讲 基本初等函数
1. 2 解析:lg22+lg2lg5+lg50=lg2(lg2+lg5)+lg5+lg10=lg2lg(2·5)+lg5+1=2.
2. a∈(1,2) 解析:y=loga(2-ax)是[0,1]上关于 x 的减函数,∴ a>1,
2-a>0
1<a<2.
3. [-3,1] 解析:2x2+2x-4≤1
2 2x2+2x-4≤2-1 x2+2x-4≤-1 x2+2x-3≤0
-3≤x≤-1.
4. (2,2)
5. a≥2 解析: 二次函数 f(x)=-x2+2ax-1+a2 开口向下,对称轴 x=- 2a
-2
=a,则
a≥2.
6. 1,31
27 解析:f(x)为偶函数,则 b=0,又 a-1+2a=0,∴ a=1
3
,f(x)=1
3x2+1 在
-2
3
,2
3 上的值域为 1,31
27 .
7. f(-25)<f(80)<f(11) 解析:∵ f(x-4)=-f(x),∴ f(x-4)=f(x+4),∴ 函数周期
T=8.∵ f(x)为奇函数,在区间[0,2]上是增函数,∴ f(x)在[-2,2]上是增函数.则 f(-25)=f(-
1),f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),f(80)=f(0).∵ f(-1)<f(0)<f(1),∴ f(-25)<f(80)<f(11).
8. 4 解析:函数图象恒过定点(1,1),从而 m+n=1,又 mn>0,∴ 1
m
+1
n
=m+n
m
+m+n
n
=2+n
m
+m
n
≥4,当且仅当 m=n 时取等号,1
m
+1
n
的最小值为 4.
9. 解:f(x)= 1
2px2-x+3= 1
2p(x-p)2+3-p
2.
① p≤-1 时,f(x)在[-1,2]上递减,M=f(-1)= 1
2p
+4,m=f(2)=2
p
+1,由 2M+m=3,
得 p=-1
2(舍).
② -1<p<0,M=f(p)=3-p
2
,m=f(2)=2
p
+1,由 2M+m=3,得 p=2- 6,p=2
+ 6(舍).
③ 0<p<1
2
,M=f(2),m=f(p),由 2M+m=3,得 p=2±2 3(舍).
④ 1
2
≤p≤2,M=f(-1),m=f(p)由 2M+m=3,得 p=8± 66(舍).
⑤ p>2,M=f(-1),m=f(2)由 2M+m=3,得 p=-1
2(舍).
综上,当 p=2- 6时,2M+m=3 成立.
10. 解:(1) 设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上的点,Q(x,y)是 y=g(x)图象上的点,则
x=x0-2a,
y=-y0.
∴ x0=x+2a,
y0=-y.
又 y0=loga(x0-3a),∴ -y=logax+2a-3a ,
∴ y=loga
1
x-a
(x>a),即 y=g(x)=loga
1
x-a
(x>a).
(2) ∵ x-3a>0,
x-a>0,
∴ x>3a,∵ f(x)与 g(x)在 x∈[a+2,a+3]上有意义,∴ 3a<a+
2,0 < a < 1 , ∵ |f(x) - g(x)|≤1 恒 成 立 , ∴ |loga(x - 3a)(x - a)|≤1 恒 成 立 . ∴
-1≤loga[x-2a2-a2]≤1,
0<a<1
a≤(x-2a)2-a2≤1
a.对 x∈[a+2,a+3]时恒成立,令 h(x)
=(x-2a)2-a2,其对称轴 x=2a,2a<2,而 2<a+2,∴ 当 x∈[a+2,a+3]时,h(x)min=h(a
+2),h(x)max=h(a+3).
∴
a≤hxmin,
1
a
≥hxmax
a≤4-4a,
1
a
≥9-6a 0<a≤9- 57
12 .
第 4 讲 函数的实际应用
1. log32 解析:本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值.
由 x≤1,
3x=2
x=log32 或 x>1,
-x=2
无解,故应填 log32.
2. 20% 解析:设该产品初始成本为 a,每年平均降低百分比为 p,则 a(1-p)2=0.64a,
∴ p=0.2.
3. m∈(1,2) 解析:令 f(x)=x2-2mx+m2-1,则
f0>0,
f1<0,
f2<0,
f3>0.
解得 1<m<2.
4. a>1 解析:设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0
且 a≠1)有两个零点, 就是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图象可
知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合要求,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图
象过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实
数 a 的取值范围是 a>1.
5. 14 解析:设每个销售定价为 x 元,此时销售量为 100-10(x-10),则利润 y=(x-
8)[100-10(x-10)]=10(x-8)(20-x)≤10
x-8+20-x
2 2=360,当且仅当 x=14 时取等号.
6.
-1,-1
3 解析:由题意得 f(1)·f(-1)<0,即(3a+1)(a+1)<0,-1<a<-1
3.
7. 6 解析:
-a+2
2
=1,
a+b
2
=1
b=6.
8. ①③④ 解析:函数 f(x)=-|x|x2+bx2+c 为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=-x3+bx2+
c,b<0,∴ f′(x)=-3x x-2b
3 ≤0 对 x∈[0,+∞)恒成立,∴ x=0 时,f(x)在 R 上有最
大值,f(0)=c;由于 f(x)为偶函数,②不正确;取 b=3,c=-2③正确;若 b<0,取 a=0,
若 b≥0,取 a=2b
3
,故一定存在实数 a,使 f(x)在[a,+∞)上单调减.
9. (1)证明:由条件知 f(2)=4a+2b+c≥2 恒成立.
又∵ x=2 时,f(2)=4a+2b+c≤1
8(2+2)2=2 恒成立,∴ f(2)=2.
(2)解: ∵ 4a+2b+c=2,
4a-2b+c=0,
∴ 4a+c=2b=1,∴ b=1
2
,c=1-4a.
又 f(x)≥x 恒成立,即 ax2+(b-1)x+c≥0 恒成立.
∴ a>0,Δ=
1
2
-1 2-4a(1-4a)≤0,∴(8a-1)2≤0.
解得:a=1
8
,b=1
2
,c=1
2
,∴ f(x)=1
8x2+1
2x+1
2.
(3)解:(解法 1) 由分析条件知道,只要 f(x)图象(在 y 轴右侧部分,包含与 y 轴交点)总
在直线 y=m
2 x+1
4
上方即可,也就是直线的斜率m
2
小于直线与抛物线相切时的斜率,
∴
y=1
8x2+1
2x+1
2
,
y=m
2x+1
4
,
解得 m∈ -∞,1+ 2
2 .
(解法 2)g(x)=1
8x2+
1
2
-m
2 x+1
2
>1
4
在 x∈[0,+∞)必须恒成立,
即 x2+4(1-m)x+2>0 在 x∈[0,+∞)恒成立.
① Δ<0,即[4(1-m)]2-8<0,解得:1- 2
2
<m<1+ 2
2
;
②
Δ≥0,
-21-m≤0,
f0=2>0,
解得:m≤1- 2
2 . 综上,m∈ -∞,1+ 2
2 .
10. (1)证明: 当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= 0.4
x-3x-4
,
而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,
故 f(x+1)-f(x)单调递减,
∴ 当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降.
(2)解: 由题意可知 0.1+15ln a
a-6
=0.85,整理得 a
a-6
=e0.05,
解得 a= e0.05
e0.05-1
·6=20.50×6=123.0,123.0∈(121,127],
由此可知,该学科是乙学科.
第 5 讲 不等式及其应用
1. (-∞,-2)∪(3,+∞)
2. (-1,2) 解析:由已知得 a<0,b=-a,ax-b
x-2
>0 即为ax+a
x-2
>0,得x+1
x-2
<0,得-
1<x<2.
3. -6 解析:作出可行域,求出凸点坐标分别为(3,-3),(4,-5),(5,-1),(6,
-3),则最优解为(4,-5);或让直线 t=x+2y 平行移动,当直线过点(4,-5)时,目标函
数取最小值.
4. 1
16
解析:∵ x,y∈R+,∴ 1=x+4y≥2 x·4y,∴ xy≤ 1
16
,当且仅当 x=4y,即 x
=1
2
,y=1
8
时取等号.
5. 9 解析:∵ x>0,y>0,1
x
+4
y
=1,∴ x+y=(x+y)
1
x
+4
y =5+y
x
+4x
y
≥5+2 y
x·4x
y
=9,当且仅当y
x
=4x
y
,即 x=3,y=6 时取等号.
6. m≤-5 解析:x2+mx+4<0,x∈(1,2)可得 m<- x+4
x ,而函数 y=- x+4
x 在(1,2)
上单调增,∴ m≤-5.
7.
9
5
,6 解析:变量 x,y 满足约束条件构成的区域是以(1,3),(1,6),
5
2
,9
2 三点为
顶点的三角形区域(含边界),y
x
表示区域内的点与原点连线的斜率,∴ y
x
∈
9
5
,6
8. x≥1 解析: n
n+1
=1- 1
n+1
<1,当 n 无限变大时, n
n+1
的值趋近于 1,不等式要恒
成立,显然 x>1
2
,2x-1
|x|
> n
n+1
等价于2x-1
x
≥1 且 x>1
2
,故 x≥1.
9. 解:(1) y=2 150+10×55+
a
6x2+1
3x 55-1
x
=2 700
x
+9ax+18.(0<x≤20,1
2
≤a≤1).
(2) 当3
4
≤a≤1 时,y≥2 2 700
x ·9ax+18=180 3a+18.
当且仅当2 700
x
=9ax,即 x= 300
a
时取等号.
即当 x= 300
a
时,ymin=180 3a+18;
当1
2
≤a<3
4
时,y′=-2 700
x2
+9a<0,故 y=f(x)在(0,20]上是减函数,
故当 x=20 时,ymin=2 700
20
+180a+18=153+180a.
答:若1
2
≤a<3
4
,则当车队速度为 20 m/s 时,通过隧道所用时间最少;
若3
4
≤a≤1 时,则当车队速度为 300
a m/s 时,通过隧道所用时间最少.
10. 解:(1)
f0=0,
f-2=0
b=6,
c=0,
∴ f(x)=3x2+6x;
(2) g(x)=3 x+ 1+m
6 2-2-3× 1+m
6 2,- 1+m
6 ≤2,m≥-18;
(3) f(x)+n≤3 即 n≤-3x2-6x+3,而 x∈[-2,2]时,函数 y=-3x2-6x+3 的最小值
为-21,∴ n≤-21,实数 n 的最大值为-21.
第 6 讲 导数及其应用
1. f(x)=x2+2x+1
2. 9
8
解析:f′(2)=4.5
-4
=-9
8
,切线方程为 y=-9
8x+9
2
,∴ f(2)=9
4.
3. y=x-1 解析:y′=3x2-2,k=y′x=1=1,则切线方程 y-0=1·(x-1),
∴ x-y-1=0.
4. 0,π
2 ∪
2π
3
,π 解析:y′=3x2- 3≥- 3,∴ tanα≥- 3,0≤α<π且α≠π
2
,结
合正切函数图象可得答案.
5. a≥-4 解析: x∈(0,+∞),f′(x)=1
x
+4x+a≥0 恒成立,由基本不等式1
x
+4x
+a≥4+a,当且仅当 x=1
2
时取等号,∴ a+4≥0,∴ a≥-4.
6. 32 解析:f(x)=x3-12x+8,f′(x)=3(x-2)(x+2),则 f(x)的单调增区间是[-3,
-2]∪[2,3],减区间是[-2,2],f(-3)=17,f(2)=-8,f(3)=-1,f(-2)=24,∴ M=24,
m=-8.
7. (-2,2) 解析:设 f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3(x+1)(x-1),f(x)在 x=-1 取极大值,
在 x=1 时取极小值, f-1>0,
f1<0
a+2>0,
a-2<0
-2<a<2.
8. 4 解析:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立;当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)
=ax3-3x+1≥0 可化为,a≥ 3
x2
- 1
x3
,
设 g(x)= 3
x2
- 1
x3
,则 g′(x)=31-2x
x4
,所以 g(x)在区间 0,1
2 上单调递增,在区间
1
2
,1
上单调递减,因此 g(x)max=g
1
2 =4,从而 a≥4;
当 x<0 即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 3
x2
- 1
x3
,设 g(x)= 3
x2
- 1
x3
,则 g′(x)
=31-2x
x4
>0,显然 g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,
综上,a=4.
9. 解:(1) 因为函数 f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以 f(t)=0,即 t3+at=0.因为 t≠0,
所以 a=-t2.g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab.又因为 f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,
所以 f′(t)=g′(t)而 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,所以 3t2+a=2bt.将 a=-t2 代入上式得
b=t.因此 c=ab=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3.
(2) y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y′=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t),因为函数 y=f(x)
-g(x)在(-1,3)上单调递减,所以 y′x=-1≤0,
y′x=3≤0.
即 -3+t-1-t≤0,
9+t3-t≤0,
解得 t≤-9
或 t≥3.所以 t 的取值范围为(-∞,-9]∪[3,+∞).
10. 解:(1) ∵ f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,∴ f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b.
x∈[-1,+∞),f′(x)g′(x)≥0,即 x∈[-1,+∞),(3x2+a)(2x+b)≥0,∵ a
>0,∴3x2+a>0,∴ x∈[-1,+∞),2x+b≥0,即∴ x∈[-1,+∞),b≥-2x,
∴ b≥2,则所求实数 b 的取值范围是[2,+∞).
(2) b 的最小值为 2,h(x)=x3-x2+ax-2x,h′(x)=3x2-2x+a-2=3 x-1
3 2+a-7
3.
当 a≥7
3
时,h′(x)=3x2-2x+a-2≥0 对 x∈[-1,+∞)恒成立,h(x)在[-1,+∞)上单调
增,当 0<a<7
3
时,由 h′(x)=3x2-2x+a-2=0 得,x=1± 7-3a
3
>-1,∴h(x)在
-1,1- 7-3a
3 上单调增,在
1- 7-3a
3
,1+ 7-3a
3 上单调减,在
1+ 7-3a
3
,+∞
上单调增.
滚动练习(一)
1. 2
4
解析:f(x)=xα,f(4)=1
2
,α=-1
2
,f(x)=x-1
2
,f(8)= 2
4 .
2. x∈R,都有 x2+2x+5≠0
3. (-∞,0] 解析:x<-1 时,不等式可化为 x+(x+1)(-x-1+1)≤1,-x2≤1,∴
x<-1;x≥-1 时,不等式可化为 x+x+1≤1,x≤0,∴ -1≤x≤0,综上 x≤0.
4. 1
2
解析:考虑 x>0 时,f(x)= x
x+1
= 1
x+ 1
x
≤1
2
,当且仅当 x=1 时取等号.
5. [-4,0)∪(0,1) 解析:
x2-3x+2≥0,
-x2-3x+4≥0,
x≠0.
上面式中等号不能同时成立.
6. 2 解析:在同一个直角坐标系中作出函数 y=
1
2 x,y=3-x2 的图象,两个函数图象
有两个交点.
7. (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:x2+ax>4x+a-3 可化为(x-1)a+x2-4x+3>0 对
a∈[0,4]恒成立,设 f(a)=(x-1)a+x2-4x+3,∴ f0>0,
f4>0.
解得 x<-1 或 x>3.
8. -1 或-25
64
解析: 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x30),所以切线方程为 y
-x30=3x20(x-x0),即 y=3x20x-2x30,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=3
2
,当 x0=0 时,由
直线 y=0 与抛物线 y=ax2+15
4 x-9 相切可得 a=-25
64
,当 x0=3
2
时,由直线 y=27
4 x-27
4
与
曲线 y=ax2+15
4 x-9 相切可得 a=-1.
9. 2 008 解析:令 3x=t,则 x=log3t,则 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4log23(log321+2+…
+8)+233×8=2 008.
10. a≥2 解析:由 logax+logay=3,得 y=a3
x
,函数 y=a3
x
在 x∈[a,2a]上单调递减,得
其值域为
a3
2a
,a3
a ,由题知
a3
2a
,a3
a [a,a2],∴ a≥2.
11. 解:p 为真,则|x-4|≤6 的解集为 A=[-2,10],q 为真,x2-2x+1-m2≤0(m>0)
的解集为 B=[1-m,1+m],∵ p 是 q 的必要而不充分条件,∴ p 是 q 的充分而不必要
条件,∴ A=[-2,10] B=[1-m,1+m],
∴ 1+m≥10,
1-m≤-2.
两式中等号不能同时成立,又 m>0,∴ m≥9.
12. 解:(1) 令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,
则由题意可得
Δ>0,
0<1-a
2
<1,
g1>0,
g0>0
a>0,
-1<a<1,
a<3-2 2或 a>3+2 2
0<a<3-2 2.故
所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2).
(2) f(0)·f(1)-f(0)=2a2,令 h(a)=2a2.∵ 当 a>0 时 h(a)单调递增,∴ 当 0<a<3-2 2
时,0<h(a)<h(3-2 2)=2(3-2 2)2=2(17-12 2)= 2
17+12 2
< 1
16
,即 f(0)·f(1)-f(0)< 1
16.
13. 解:(1) ① 当 0<t≤10 时,V(t)=(-t2+14t-40)e1
4t+50<50,化简得 t2-14t+40
>0,解得 t<4 或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4.② 当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-10)(3t-
41)+50<50,化简得(t-10)(3t-41)<0,解得 10<t<41
3
,又 10<t≤12,故 10<t≤12.综合
得 0<t<4 或 10<t≤12;故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月.
(2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.
由 V′(t)=e1
4t
-1
4t2+3
2t+4 =-1
4e1
4t(t+2)(t-8),令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去).
当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表:
t (4,8) 8 (8,10)
V′(t) + 0 -
V(t) 极大值
由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米.
14. 解:(1) 当 x∈[-2,-1)时,f(x)=x+1
x
在[-2,-1)上是增函数(用导数判断),此
时 f(x)∈ -5
2
,-2 ,当 x∈ -1,1
2 时,f(x)=-2,当 x∈
1
2
,2 时,f(x)=x-1
x
在
1
2
,2 上
是增函数,此时 f(x)∈ -3
2
,3
2 ,∴ f(x)的值域为 -5
2
,-2 ∪ -3
2
,3
2 .
(2) ① 若 a=0,g(x)=-2,对于任意 x1∈[-2,2],f(x1)∈ -5
2
,-2 ∪ -3
2
,3
2 ,不存
在 x0∈[-2,2]使得 g(x0)=f(x1)都成立.
② 若当 a>0 时,g(x)=ax-2 在[-2,2]是增函数,
g(x)∈[-2a-2,2a-2],任给 x1∈[-2,2],f(x1)∈ -5
2
,-2 ∪ -3
2
,3
2 ,若存在 x0∈[-
2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立,
则 -5
2
,-2 ∪ -3
2
,3
2 [-2a-2,2a-2],
∴有
-2a-2≤-5
2
,
2a-2≥3
2
,
解得 a≥7
4.
③ 若 a<0,g(x)=ax-2 在[-2,2]上是减函数,g(x)∈[2a-2,
-2a-2],任给 x1∈[-2,2],f(x1)∈ -5
2
,-2 ∪ -3
2
,3
2 ,
若存在 x0∈[-2,2]使得 g(x0)=f(x1)成立,
则 -5
2
,-2 ∪ -3
2
,3
2 [2a-2,-2a-2]
2a-2≤-5
2
,
-2a-2≥3
2
,
解得 a≤-7
4.
综上,实数 a 的取值范围是 -∞,-7
4 ∪
7
4
,+∞
.
专题二 三角函数与平面向量
第 7 讲 三角函数的图象与性质
1. y=sin 2x+π
3 ,x∈R
2. 10
3. 1 解析:f(x)=f
π
4 cosx+sinx,f′(x)=-f′
π
4 sinx+cosx,f′
π
4 =- 2
2 f′
π
4 + 2
2
,
f′
π
4 = 2-1,f(x)=( 2-1)cosx+sinx,f
π
4 =( 2-1)× 2
2
+ 2
2
=1.
4. 6 解析:平移后 f(x)=cos ωx-ωπ
3 ,与原来函数图象重合,则ωπ
3
=2kπ,k∈Z,∵ ω
>0,∴ ωmin=6.
5.
-5
4
,1 解析:a=cos2x-cosx-1= cosx-1
2 2-5
4
,转化为函数的值域问题.
6. 2+2 2 解析:f(x)=2sinπx
4
,周期为 8,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=f(1)+f(2)
+f(3)+f(4)=2+2 2.
7. 2 解析:T=2π
π
2
=4,对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,f(x)min=f(x1),f(x)max
=f(x2),于是|x1-x2|min=T
2
=2.
8. 2
3
解析:考查三角函数的图象、数形结合思想.线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,且
其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=2
3.线段 P1P2 的长为2
3.
9. 解:f(x)=-2asin 2x+π
6 +2a+b,sin 2x+π
6 ∈ -1
2
,1 ,
当 a>0 时,-2a+2a+b=-5,-2a× -1
2 +2a+b=1,∴ a=2,b=-5;
当 a<0 时,-2a+2a+b=1,-2a× -1
2 +2a+b=-5,∴ a=-2,b=1;
a=0,不存在.综上,a=2,b=-5 或 a=-2,b=1.
10. 解:(1) 由最低点为 M
2π
3
,-2 得 A=2,由 T=π得ω=2π
T
=2π
π
=2,
由点 M
2π
3
,-2 在图象上得 2sin
4π
3
+φ =-2,即 sin
4π
3
+φ =-1,
所以4π
3
+φ=2kπ-π
2
,故φ=2kπ-11π
6 (k∈Z).
又φ∈ 0,π
2 ,所以φ=π
6
,所以 f(x)=2sin 2x+π
6 .
(2) 因为 x∈ 0, π
12 ,2x+π
6
∈
π
6
,π
3 ,
所以当 2x+π
6
=π
6
时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;
当 2x+π
6
=π
3
,即 x= π
12
时,f(x)取得最大值 3.
第 8 讲 三角变换与解三角形
1. 3 解析:∵ sin2α+cos2α=1
4
,∴ sin2α+1-2sin2α=1
4
,∴ sin2α=3
4
,
∵ α∈ 0,π
2 ,∴ sinα= 3
2
,∴ α=π
3
,tanα= 3.
2. 5 2
3
解析:由正弦定理 a
sinA
= b
sinB
,得 a=bsinA
sinB
=
5·1
3
2
2
=5 2
3 .
3. 5 解析:1
2arcsinB=2,c=4 2,由余弦定理可求得 b.
4. 1 解析:由 sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,得 tan2α+tanα-2=0,tanα=1 或 tanα=-
2(舍),sin2α=2sinαcosα= 2tanα
1+tan2α
= 2
1+1
=1.
5. 4 解析:由余弦定理得b
a
+a
b
=6cosC,a2+b2
ab
=6×a2+b2-c2
2ab
,a2+b2=3
2c2,tanC
tanA
+tanC
tanB
=sinC
cosC
cosA
sinA
+cosB
sinB = 1
cosC
sin2C
sinAsinB = 2ab
a2+b2-c2
c2
ab = 2c2
a2+b2-c2
,将 a2+b2=3
2c2 代入上
式即可.
注:(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时,要么把所有关系转化为边的关系,
要么把所有的关系都转化为角的关系;(2) 本题也可以转化为角的关系来处理.
6. 7
24
解析:tanα=-3
4
,tanβ=-1
2
,tan2β=-4
3.
7. -1
7
解析:由余弦定理得 c= a2+b2-2abcosC=3,故最大角为角 B.
8. 8
17
解析:1
2bcsinA=-(b2+c2-a2)+2bc,1
2bcsinA=-2bccosA+2bc,
2-1
2sinA=2cosA, 2-1
2sinA 2=(2cosA)2=4(1-sin2A),sinA= 8
17.
9. 解:(1) ∵ c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×1
4
=4,∴ c=2,
∴ △ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.
(2) ∵ cosC=1
4
,∴ sinC= 1-cos2C= 1-
1
4 2= 15
4
,
∴ sinA=asinC
c
=
15
4
2
= 15
8 .∵ a<c,∴ A<C,故 A 为锐角,∴ cosA= 1-sin2A=
1-
15
8 2=7
8
,∴ cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=7
8
×1
4
+ 15
8
× 15
4
=11
16.
10. 解:(1) sin2B+C
2
+cos2A=1-cosB+C
2
+cos2A=1+cosA
2
+2cos2A-1=59
50.
(2) ∵ cosA=4
5
,∴ sinA=3
5
,∴ S△ABC=1
2bcsinA= 3
10bc,∵ a=2,由余弦定理得:a2
=b2+c2-2bccosA=4,∴ 8
5bc+4=b2+c2≥2bc,bc≤10,∴ S△ABC=1
2
×bcsinA= 3
10bc≤3,
当且仅当 b=c 时,取得最大值,所以当 b=c 时,△ABC 的面积 S 的最大值为 3.
第 9 讲 平面向量及其应用
1.
4
5
,-3
5 或 -4
5
,3
5
2. 10 解析:|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),得α·(α-2β)=0,α·β=1
2
,|2α+β|=
4α2+4α·β+β2= 10.
3. π
3
解析:∵ (a+2b)·(a-b)=-6,∴ |a|2-2|b|2+a·b=-6,∴ a·b=1,cos〈a,b〉
= a·b
|a|·|b|
=1
2.
4. 4 解析:设 BC 边中点为 D,则AO→ =2
3AD→ ,AD→ =1
2(AB→ +AC→ ),
∴ AO→ ·AC→ =1
3(AB→ +AC→ )·AC→ =1
3(3×2×cos60°+32)=4.
5. (-3,1)或(-1,1) 解析:设 a=(x,y),∴ a+b=(x+2,y-1),
∴ y-1=0,
x+22+y-12=1,
∴ x=-1,
y=1
或 x=-3,
y=1.
6. -1
4
解析:AD→ ·BE→=1
2(AB→ +AC→ )·
2
3AC→ -AB→
=1
2
-1+2
3
-1
3
×1
2 =-1
4.
7. 1- 2 解析:设 a+b= 2d,则 d 为单位向量.
(a-c)·(b-c)=1-(a+b)·c=1- 2d·c=1- 2cos〈d,c〉.
8. 2 解析:取 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则 A(1,0),
B
-1
2
, 3
2 ,设∠COA=θ,则θ∈ 0,2π
3 ,C(cosθ,sinθ),∴ (cosθ,sinθ)=x(1,0)+y
-1
2
, 3
2 ,
x+y= 3sinθ+cosθ=2sin θ+π
6 ,θ=π
3
时取最大值 2.
9. 解:(1) 由 m·n=0 得-cosA+ 3sinA=0,tanA= 3
3
,A∈(0,π),
∴ A=π
6.
(2) 1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3,∴ sinB+cosB
cosB-sinB
=-3,∴ tanB=2,
∴ tanC=tan π-π
6
-B =-
tanπ
6
+tanB
1-tanπ
6tanB
=8+5 3.
10. 解:(1) 在 Rt△ADC 中,AD=8,CD=6,
则 AC=10,cos∠CAD=4
5
,sin∠CAD=3
5.
又∵ AB→ ·AC→ =50,AB=13,∴ cos∠BAC= AB→ ·AC→
|AB→ ||AC→ |
= 5
13.
∵ 0<∠BAC<π,∴ sin∠BAC=12
13.
∴ sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD)=63
65.
(2) S△BAD=1
2AB·AD·sin∠BAD=252
5
,S△BAC=1
2AB·AC·sin∠BAC=60,S△ACD=24,则
S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△BAD=168
5
,∴ S△ABD
S△BCD
=3
2.
滚动练习(二)
1. {-1,0,1} 解析:M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N={-1,0,1}.
2. 0 解析:f(1)=-f(-1)=-(-3+2+1)=0.
3. 2 解析:cos10°+ 3sin10°
1-cos80°
= 2sin40°
2sin240°
= 2.
4. (-3,2) 解析:6-x-x2>0,∴ x2+x-6<0,∴ -3<x<2.
5. 2 解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),则函数的增区间是(-∞,0)∪(2,+∞),减
区间是(0,2),所以函数在 x=2 处取极小值.
6. 1 解析:a-2b=( 3,3)与 c 共线,则 3· 3=3k,∴ k=1.
7. 6 解析:A*B={0,2,4}.
8. 充要 解析:f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称 -m
2
=1 m=-2.
9. (-∞,2ln2-2] 解析:f′(x)=ex-2,x∈(-∞,ln2),f′(x)<0,x∈(ln2,+∞),
f′(x)>0,x=ln2 时,f(x)取极小值即为最小值 2-2ln2+a≤0,a≤2ln2-2;本题也可转化
为 a=-ex+2x,求函数 g(x)=-ex+2x 值域即可.
10. ②④ 解析:函数为偶函数,在 0,π
2 上单调增,画图即可.
11. 点拨:本题考查函数的概念和性质,对分段函数在讨论其性质时要整体考虑.对二
次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题.
解:(1) 函数 f(x)为奇函数,f(-x)+f(x)=0 对 x∈R 恒成立,m=2;
(2) 由 f(x)=
-x2+2x,x>0
0,x=0,
x2+2x,x<0,
知 f(x)在[-1,1]上单调递增,
∴ a-2>-1,
a-2≤1,
得 1<a≤3,即实数 a 的取值范围是(1,3].
12. 点拨:本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、
转换和求解的能力.
解:(1)∵ f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx,
∴ f(x)=sinωxcosωx+1+cos2ωx
2
=1
2sin2ωx+1
2cos2ωx+1
2
= 2
2 sin 2ωx+π
4 +1
2
,由ω>0 得2π
2ω
=π,∴ ω=1.
(2) 由(1)知 f(x)= 2
2 sin 2x+π
4 +1
2
,
∴ g(x)=f(2x)= 2
2 sin 4x+π
4 +1
2
,当 0≤x≤ π
16
时,π
4
≤4x+π
4
≤π
2
,∴ 2
2
≤sin 4x+π
4 ≤1.
因此 1≤g(x)≤1+ 2
2
,故 x=0 时,g(x)在此区间内取最小值为 1.
13. 点拨:本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用
余弦定理解三角形以及运算求解能力.
解:由 cosA=12
13
,得 sinA= 1-
12
13 2= 5
13.
又 1
2bcsinA=30,∴ bc=156.
(1) AB→ ·AC→ =bccosA=156×12
13
=144.
(2) a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2×156× 1-12
13 =25,∴ a=5.
14. 点拨:应用题是高考必考题型,解决应用题的关键要学会审题,根据条件,选择合
适的变量,建立数学模型,选择适当的方法解题,结论要符合题意.
解:∵ △ABC 是直角三角形,AB=2,BC=1,∴ ∠A=30°.
设∠FEC=α,则α∈ 0,π
2 ,∠EFC=90°-α,∠AFD=180°-60°-(90°-α)=30°+α,
∴ ∠ADF=180°-30°-(30°+α)=120°-α,再设 CF=x,则 AF= 3-x,在△ADF 中有
DF
sin30°
= 3-x
sin120°-α
,由于 x=EF·sinα=DF·sinα,
∴ DF
sin30°
= 3-DF·sinα
sin120°-α
,化简得 DF= 3
2sinα+ 3cosα
≥ 3
7
= 21
7
,
∴ △DEF 边长的最小值为 21
7 .
专题三 数 列
第 10 讲 等差数列与等比数列
1. 13 解析:a3=7,a5=a2+6,∴ 3d=6,∴ a6=a3+3d=13.
2. 1
3
解析:6S5-5S3=5,∴ 6(5a1+10d)-5(3a1+3d)=5,得 a1+3d=1
3.
3. 20 解析:an=41-2n,a20>0,a21<0.
4. 15
2
解析:a2=1,an+2+an+1=6an,∴ q2+q=6(q>0),∴ q=2,则 S4=15
2 .
5. 15 解析:S4
a4
=
a11-q4
1-q
a1q3
= 1-q4
1-qq3
=15.
6. 4 解析:设公差为 d,则
4a1+4×3
2
d≥10,
5a1+5×4
2
d≤15.
即 2a1+3d≥5,
a1+2d≤3.
又 a4=a1+3d,
由线性规划可知 a1=1,d=1 时,a4 取最大值 4.
7. 21
2
解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=33+2(1+2+…+(n-1))
=n2-n+33,an
n
=n+33
n
-1,数列
an
n 在 1≤n≤6,n∈N*时单调减,在 n≥7,n∈N*时单调
增,∴ n=6 时,an
n
取最小值.
8. 4 解析:
kk+4
2
3 k≥k-1k+3
2
3 k-1,
kk+4
2
3 k≥k+1k+5
2
3 k+1,
10≤k≤1+ 10,k∈N*,∴ k=
4.
9. 解:(1) 设公差为 d,则 a1+2da1+5d=55,
2a1+7d=16,
解得 a1=1,
d=2.
或 a1=15,
d=-2.
(舍
去) ∴ an=2n-1(n∈N*).
(2) n=1 时,a1=b1
2
,a1=1,∴ b1=2,
n≥2 时,an-1=b1
2
+b2
22
+…+bn-1
2n-1
,2=an-an-1=bn
2n(n≥2),bn=2n+1(n≥2),
∴ bn= 2n=1,
2n+1n≥2,n∈N*, Sn=2n+2-6(n∈N*).
10. (解法 1)(1)证明:由bn+1
bn
=q,有 an+1an+2
anan+1
= an+2
an
=q,∴ an+2=anq2(n∈N*).
(2)证明:∵ an=an-2q2(n≥3,n∈N*),∴ a2n-1=a2n-3q2=…=a1q2n-2,a2n=a2n-2q2=…
=a2q2n-2,
∴ cn=a2n-1+2a2n=a1q2n-2+2a2q2n-2=(a1+2a2)q2n-2=5q2n-2.
∴ {cn}是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列.
(3) 解:由(2)得 1
a2n-1
=1
a1
q2-2n, 1
a2n
=1
a2
q2-2n,于是
1
a1
+1
a2
+…+ 1
a2n
=
1
a1
+1
a3
+…+ 1
a2n-1 +
1
a2
+1
a4
+…+ 1
a2n
=1
a1
1+ 1
q2
+ 1
q4
+…+ 1
q2n-2 +1
a2
1+ 1
q2
+ 1
q4
+…+ 1
q2n-2 =3
2
1+ 1
q2
+ 1
q4
+…+ 1
q2n-2 .
当 q=1 时,1
a1
+1
a2
+…+ 1
a2n
=3
2
1+ 1
q2
+ 1
q4
+…+ 1
q2n-2 =3
2n.
当 q≠1 时,1
a1
+1
a2
+…+ 1
a2n
=3
2
1+ 1
q2
+ 1
q4
+…+ 1
q2n-2 =
3
2
1-q-2n
1-q-2 =3
2
q2n-1
q2n-2q2-1 .
故1
a1
+1
a2
+…+ 1
a2n
=
3
2n,q=1,
3
2
q2n-1
q2n-2q2-1 ,q≠1.
(解法 2)(1) 证明:同解法 1(1).
(2) 证明:cn+1
cn
=a2n+1+2a2n+2
a2n-1+2a2n
=q2a2n-1+2q2a2n
a2n-1+2a2n
=q2(n∈N*),又 c1=a1+2a2=5,∴ {cn}
是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列.
(3) 解:由(2)的类似方法得 a2n-1+a2n=(a1+a2)q2n-2=3q2n-2,
1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
a2n
=a1+a2
a1a2
+a3+a4
a3a4
+…+a2n-1+a2n
a2n-1a2n
,∵ a2k-1+a2k
a2k-1a2k
=3q2k-2
2q4k-4
=3
2q-2k+2,k=
1,2,…,n.∴ 1
a1
+1
a2
+…+ 1
a2k
=3
2(1+q2+…+q-2n+2).下同解法 1.
第 11 讲 数列求和及其综合应用
1. 2n+1-n-2 解析:an=2n-1,1+(1+2)+(1+2+4)+…+(1+2+…+2n-1)=(2+22
+23+…+2n)-n=2(2n-1)-n=2n+1-n-2
2. 2+lnn 解析:累加可得.
3. T8
T4
T12
T8
4. -p-q 解析:由求和公式知 q=pa1+pp-1
2
d,p=qa1+qq-1
2
d,因为 p≠q,两
式相减得到-1=a1+p+q-1
2
d,两边同时乘以 p+q,则
-(p+q)=(p+q)a1+p+qp+q-1
2
d,即 Sp+q=-(p+q).
5. 2n+1 解析:由条件得 bn+1=an+1+2
an+1-1
=
2
an+1
+2
2
an+1
-1
=2an+2
an-1
=2bn 且 b1=4,所以数列{bn}
是首项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn=4·2n-1=2n+1.
6. 11 解析:(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则(a21+a22+…+a250)+2(a1+a2+…
+a50)+50=107,∴ a21+a22+…+a250=39,故 a1,a2,…,a50 中数字 0 的个数为 50-39=
11.
7. [24,36] 解析:an=6n-(9+a),由题知 5.5≤9+a
6
≤7.5,∴ 24≤a≤36.
8. 470 解析:由于 cos2nπ
3
-sin2nπ
3 以 3 为周期,故
S30= -12+22
2
+32
+ -42+52
2
+62
+…+ -282+292
2
+302
=错误!
-3k-22+3k-12
2
+3k2
=错误! 9k-5
2 =9×10×11
2
-25=470,分组求和
是解决本题的关键.
9. 解:(1) 由 Sn=(1+λ)-λan Sn-1=(1+λ)-λan-1(n≥2).
相减得:an=-λan+λan-1,∴ an
an-1
= λ
1+λ
(n≥2),∴ 数列{an}是等比数列.
(2) f(λ)= λ
1+λ
,∴ bn= bn-1
1+bn-1
1
bn
= 1
bn-1
+1,
∴
1
bn 是首项为 1
b1
=2,公差为 1 的等差数列,∴ 1
bn
=2+(n-1)=n+1.
∴ bn= 1
n+1
.(n∈N*)
(3) λ=1 时,an=
1
2 n-1,∴ cn=an
1
bn
-1 =
1
2 n-1n,
∴ Tn=1+2
1
2 +3
1
2 2+…+n
1
2 n-1, ①
1
2Tn=
1
2 +2
1
2 2+3
1
2 3+…+n
1
2 n, ②
①-②得:1
2Tn=1+
1
2 +
1
2 2+
1
2 3+…+
1
2 n-1-n
1
2 n
∴ 1
2Tn=1+
1
2 +
1
2 2+
1
2 3+…+
1
2 n-1-n
1
2 n=
2 1-
1
2 n -n
1
2 n,
所以:Tn=4-
1
2 n-2-2n
1
2 n=4-n+2
2n-1 .
10. 解:(1) n=1 时,由 S2=tS1+a,解得 a2=at,
当 n≥2 时,Sn=tSn-1+a,所以 Sn+1-Sn=t(Sn-Sn-1),即 an+1=ant,
当 n=1 时,由 S2=tS1+a 得 a2=ta1,又因为 a1=a≠0,
综上,有an+1
an
=t(n∈N*),所以{an}是首项为 a,公比为 t 的等比数列,
所以 an=atn-1.
(2) 当 t=1 时,Sn=na,bn=na+1,bn+1-bn=[(n+1)a+1]-[na+1]=a,
此时{bn}为等差数列;
当 a>0 时,{bn}为单调递增数列,且对任意 n∈N*,an>0 恒成立,不合题意;
当 a<0 时,{bn}为单调递减数列,由题意知 b4>0,b6<0,且有 b4≥|b5|,
-b6≥|b5|,
即 |5a+1|≤4a+1,
|5a+1|≤-6a-1,
解得-2
9
≤a≤- 2
11.综上,a 的取值范围是 -2
9
,- 2
11 .
(3) 因为 t≠1,bn=1+ a
1-t
- atn
1-t
,所以 cn=2+ 1+ a
1-t n- a
1-t
(t+t2+…+tn)=2+
1+ a
1-t n-at-tn+1
1-t2
=2- at
1-t2
+1-t+a
1-t
·n+ atn+1
1-t2
,由题设知{cn}是等比数列,所以有
2- at
1-t2
=0,
1-t+a
1-t
=0,
解得 a=1,
t=2,
即满足条件的数对是(1,2).(或通过{cn}的前 3 项成等比
数列先求出数对(a,t),再进行证明)
滚动练习(三)
1. {4,5} 解析:A∪B={1,2,3}.
2. π
4
解析:由正弦定理 a
sinA
= c
sinC
,∴ sinA=cosA,∴ tanA=1,∵ 0<A<π,
∴ A=π
4.
3. 12 解析:由 a1+3a8+a15=60 得 5a1+35d=60,a8=12,2a9-a10=a8=12.
4. 1
2
解析:周期是 4π,∴ ω=2π
4π
=1
2.
5. [0,4) 解析:mx2+mx+1≠0 对 x∈R 恒成立.当 m=0 时,成立;当 m≠0 时,Δ
=m2-4m<0,∴ 0<m<4.综上,0≤m<4.
6. 6 解析:本题考查线性规划内容.
7.
7π
6
,11π
6 解析:y′=1+2sinx<0,∴ sinx<-1
2
,∴ 7π
6
<x<11π
6 .
8. π
3
解析:∵ m⊥n,∴ (a+c)(a-c)+b(b-a)=0,∴ a2+b2-c2
2ab
=1
2
,
∴ cosC=1
2
,∴ C=π
3.
9. (-∞,-1)∪(2,+∞) 解析:画出符合题意的草图,则 x-2<-3 或 x-2>0.
10. 4 解析:本题其实是关于最小正周期问题.a2=a1-t,a3=t+2-a1+t=2t+2-a1,
a4=a3-t=t+2-a1,a5=t+2-a4=a1,故实数 k 的最小值是 4.
11. 解:(1) f(x)=1
2sin2x+ 3cos2x=1
2sin2x+ 3
2 (1+cos2x)
=sin 2x+π
3 + 3
2
,∴ f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π.
(2) 依题意得 g(x)=f x-π
4 + 3
2
=sin 2 x-π
4 +π
3 + 3
2
+ 3
2
=sin 2x-π
6 + 3,当
x∈ 0,π
4 时,2x-π
6
∈ -π
6
,π
3 ,∴ -1
2
≤sin 2x-π
6 ≤ 3
2
,∴ 2 3-1
2
≤g(x)≤3 3
2
,∴ g(x)
在 0,π
4 的最大值为3 3
2 .
12. 解:(1) 当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列.an=120-10(n
-1)=130-10n;当 n≥7 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为3
4
的等比数列,又 a6=70,所
以 an = 70×
3
4 n - 6 , 因 此 , 第 n 年 初 , M 的 价 值 an 的 表 达 式 为 an =
130-10n,n≤6,n∈N*,
70×
3
4 n-6,n≥7,n∈N*.
(2) 设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得
当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n>80;
当 n≥7 时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70×3
4
×4× 1-
3
4 n-6 =780-210×
3
4 n-
6 , An = 780-210×
3
4 n-6
n
. 因 为 {an} 是 递 减 数 列 , 所 以 {An} 是 递 减 数 列 , 又 A8 =
780-210×
3
4 8-6
8
=8247
64
>80,A9=780-210×
3
4 9-6
9
=7679
96
<80,所以须在第 9 年初对 M
进行更新.
13. 解:(1) f′(x)=3x2+2ax+b.
由题意得 f′
2
3 =3×
2
3 2+2a×2
3
+b=0,
f′1=3×12+2a×1+b=3.
解得 a=2,
b=-4.
设切线 l 的方程为 y=3x+m(m>0),由原点到切线 l 的距离为 10
10
,
有 |m|
32+1
= 10
10
,解得 m=1.∵ 切线 l 不过第四象限,∴ m=1,m=-1(舍),∴ 切线
l 的方程为 y=3x+1,由于切点的横坐标为 x=1,∴ 切点坐标为(1,4),∵ f(1)=1+a+b+
c=4,∴ c=5.
(2) 由(1)知 f(x)=x3+2x2-4x+5,所以 f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2),令 f′(x)
=0,得 x1=-2,x2=2
3.
x -4 (-4,-2) -2 -2,2
3
2
3
2
3
,1 1
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
函数值 -11 13 95
27 4
∴ f(x)在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11.
14. 解:(1) ∵ -1,Sn,an+1 成等差数列,∴ 2Sn=an+1-1, ①
当 n≥2 时,2Sn-1=an-1, ②
①-②得:2(Sn-Sn-1)=an+1-an,∴ 3an=an+1,∵ a1=1≠0,∴ an≠0,
∴ an+1
an
=3.当 n=1 时,由①得∴ 2S1=2a1=a2-1,又 a1=1,∴ a2=3,
∴ a2
a1
=3,∴ {an}是以 3 为公比的等比数列,∴ an=3n-1.
(2) ∵ f(x)=log3x,∴ f(an)=log33n - 1 =n-1,bn= 1
n+3[fan+2]
= 1
n+1n+3
=
1
2
1
n+1
- 1
n+3 ,∴ Tn=1
2
1
2
-1
4
+1
3
-1
5
+1
4
-1
6
+1
5
-1
7
+…+1
n
- 1
n+2
+ 1
n+1
- 1
n+3
=1
2
1
2
+1
3
-
1
n+2
- 1
n+3
= 5
12
- 2n+5
2n+2n+3
,比较 Tn 与 5
12
-2n+5
312
的大小,只需比较 2(n+2)(n+3)与 312
的大小即可.又 2(n+2)(n+3)-312=2(n2+5n+6-156)=2(n2+5n-150)=2(n+15)(n-
10),∵ n∈N*,∴ 当 1≤n≤9 时 n∈N*,2(n+2)(n+3)<312,即 Tn< 5
12
-2n+5
312
;∴ 当 n
=10 时,2(n+2)(n+3)=312,即 Tn= 5
12
-2n+5
312
;当 n>10 且 n∈N*时,2(n+2)(n+3)>312,
即 Tn> 5
12
-2n+5
312
;当 n=10 时,2(n+2)(n+3)=312,即 Tn= 5
12
-2n+5
312
;当 n>10 且 n∈N*
时,2(n+2)(n+3)>312,即 Tn> 5
12
-2n+5
312
.
专题四 平面解析几何
第 12 讲 直线与圆的方程及应用
1. 3x+y- 3+2=0 解析:由点斜式得直线方程为 y+2=tan120°(x-1),
∴ y+2=- 3(x-1),∴ 3x+y+2- 3=0.
2. x-2y-1=0 解析:由已知可得所求直线方程为 y-0=1
2(x-1),∴ x-2y-1=0.
3. (x+5)2+y2=5 解析:设圆心为(a,0),a<0, 5= |a|
12+22
,∴ a=-5,
∴ 圆的方程为(x+5)2+y2=5.
4. 5+1 解析:点(2,3)到圆心的距离是 2-12+3-12= 5,则距离的最大值是 5
+r= 5+1.
5. -1 或-3 解析:本题考查数形结合思想.圆的半径为 2,要满足题意,只需圆心
到直线距离 d= 2
2
,∴ 2
2
=|1+1+a|
2
,∴ a=-1 或 a=-3.
6. ± 3 解析:本题考查数形结合思想.由∠POQ=120°知,圆心到直线距离 d=1
2r,
∴ |- 2|
1+k2
= 2
2
,k= 3或 k=- 3.
7. k=-1 x2+(y-1)2=1
点拨:第一问直接利用两直线的斜率存在,那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-
1.第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。
解析:设 PQ 的垂直平分线的斜率为 k,则 k·3-a-b
3-b-a
=-1,∴ k=-1.而且 PQ 的中点
坐标是
3+a-b
2
,3-a+b
2 ,∴ l 的方程为:y-3-a+b
2
=-1· x-3+a-b
2 ,∴ y=-x+3,
而圆心(2,3)关于直线 y=-x+3 对称的点的坐标为(0,1),∴ 对称图形的方程为:x2+(y-1)2
=1.
8. x-7
5 2 + (y - 1)2 = 64
25
解 析 : 设 圆 C2 的 方 程 为 (x - a)2 + (y - 1)2 = r2 , 则
a+12+1-1=r,
3-a=r,
∴
a=7
5
,
r=8
5.
9. 解:(1)设(x-t)2+ y-2
t 2=t2+4
t2
,所以 x2-2tx+y2-4
ty=0,
因为 A(2t,0),B 0,4
t ,所以 S△OAB=4.
(2) 因为 OM=ON,所以 OC⊥MN,
所以
2
t
-0
t-0
×(-2)=-1,所以 t2=4,
因为圆与直线相交,所以 t=2,即 x2-4x+y2-2y=0.
10. (1) 解:由题意设直线 l 的方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0,
∴ d=|2k-3+1|
k2+1
<1,∴ 3k2-8k+3<0,∴ 4- 7
3
<k<4+ 7
3
.
(2) 证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),
联立 y=kx+1,
x-22+y-32=1,
得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0,
∴
x1+x2=4k+1
k2+1
,
x1x2= 7
k2+1
.
∵ AM→ =(x1,y1-1),AN→ =(x2,y2-1),∴ AM→ ·AN→ =x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+k2x1x2
=(1+k2)x1x2=(1+k2) 7
1+k2
=7.∴ AM→ ·AN→ 为定值 7.
(3) 解:由(2)可知
OM→ ·ON→ =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=7+k·4k+4
k2+1
+1=12,解得 k=1,符合(1)中所得范围,因此 k=1.
第 13 讲 圆锥曲线(含轨迹问题)
1.
1
16
,0 解析:将抛物线写成标准形式 y2=1
4x 再计算.
2. x2
5
+9y2
20
=1 解析:设椭圆方程为x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0),
则
c
a
= 5
3
,
a2
c
=3,
a2=b2+c2,
∴
a= 5,
b=2 5
3 .
3. 4 解析:抛物线焦点是
p
2
,0 ,双曲线右焦点是(2,0),∴ p=4.
4. x2
3
-y2
3
=1 解析:设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0),代入点(2,1)求解.
5. x2
16
+y2
12
=1(y≠0) 解析:由题可得 AC+BC=8>4,由椭圆的定义,点 C 的轨迹是
以 A、B 为焦点的椭圆(除去与 x 轴的交点).
6. 2 解析:直线 mx+ny=2 经过圆心(1,2),则 m+2n=2,
1
m
+2
n
=
1
m
+2
n m+2n
2
=5
2
+n
m
+m
n
≥5
2
+2 n
m·m
n
=9
2
,当且仅当 m=n=2
3
时取等号. 因此,
双曲线离心率为 2.
7. ( 2-1,1) 解析:∵ PQ∥AF,PQ=AF,AF=a+c,PQ=a2
c
+xp,-a<xp<a,∴
a2
c
-a<a+c,∴ c2+2ac-a2>0,∴
c
a 2+2c
a
-1>0,又 0<c
a
<1,∴ 2-1<c
a
<1.
8. -1
2
解析:(解法 1)由正弦定理得sinA-sinB
sinC
=CB-CA
AB
=-2a
2c
=-a
c
,
又c
a
=2,∴ -a
c
=-1
2.
(解法 2,特殊位置法)假设在△ABC 中,∠ABC=90°,设 AC=n,BC=m,则由题意
可得 m2+16=n2,
n-m=2,
解之得 m=3,n=5,所以sinA-sinB
sinC
=m-n
AB
=3-5
4
=-1
2.
9. 解:(1) ∵ 2a=10,c
a
=4
5
,a2=b2+c2,∴ a=5,c=4,b=3,∴ 椭圆方程是x2
25
+y2
9
=1.
(2) 设点 P(x,y),∵ F(4,0),R=3,B(0,3),|PT|=|PB|,∴ PF2-9=PB2
∴ (x-4)2+y2-9=x2+(y-3)2,整理得到 4x-3y+1=0.
10. 解:(1) 由已知,A(-4,0)、B(4,0)、F(2,0),直线 l 的方程为 x=8.
设 N(8,t)(t>0),因为 AM=MN,所以 M 2,t
2 .
由 M 在椭圆上,得 t=6.故所求的点 M 的坐标为 M(2,3).
所以MA→ =(-6,-3),MB→ =(2,-3),MA→ ·MB→ =-12+9=-3.
cos∠AMB= MA→ ·MB→
|MA→ ||MB→ |
= -3
36+9· 4+9
=- 65
65
,即∠AMB 的余弦值为- 65
65 .(用余弦
定理也可求得)
(2) (解法 1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 A、F、N 三点坐标代入,得
16-4D+F=0,
4+2D+F=0,
64+t2+8D+Et+F=0
D=2,
E=-t-72
t
,
F=-8.
因此圆的方程为 x2+y2+2x- t+72
t y-8=0,
令 x=0,得 y2- t+72
t y-8=0.
设 P(0,y1),Q(0,y2),则 y1、2=
t+72
t ± t+72
t 2+32
2
.
由线段 PQ 的中点坐标为(0,9),得 y1+y2=18,t+72
t
=18.
此时所求圆的方程为 x2+y2+2x-18y-8=0.(本题用韦达定理也可解)
(解法 2)由圆过点 A、F 得圆心横坐标为-1,由圆与 y 轴交点的纵坐标为(0,9),得圆心
的纵坐标为 9,故圆心坐标为(-1,9).
易求得圆的半径为 3 10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y-9)2=90.
滚动练习(四)
1. {1,2}
2. 充分不必要
3. (-1,0)∪(1,+∞) 解析:x-1
x
>0
x2-1>0,
x>0,
或 x2-1<0,
x<0
x>1 或-1
<x<0.
4. 4 解析:f′(1)=3,f(1)=3-2=1.
5. 0,3
2 解析:f(x)=cos2x+ 3sinxcosx=1+cos2x
2
+ 3
2 sin2x=sin 2x+π
6 +1
2.∵ -
π
6
≤x≤π
3
,∴ -π
6
≤2x+π
6
≤5π
6
,∴ -1
2
≤sin 2x+π
6 ≤1,∴ 0≤f(x)≤3
2.
6. -4 解析:f(-3)=f(3),f(2+1)=-f(2-1)=-f(1)=-f(-1),
∴ f(-3)=-4.
7. 3+2 2 解析:直线过圆心(2,1),∴ a+b=1,1
a
+2
b
=(a+b)
1
a
+2
b
=3+b
a
+2a
b
≥3+2 2.
8. 7
13
解析:由正弦定理 BC∶AC=8∶5,设 BC=8k,AC=5k,由余弦定理
AB2=64k2+25k2-2·8k·5kcosC=49k2,∴ AB=7k,
由椭圆定义 2a=AC+BC=13k,2c=AB=7k,∴ e=c
a
= 7
13.
9. {1} 解析:MP→ =OP→-OM→ =(x-1)a+ye2,
MN→ =ON→ -OM→ =e2-e1,MP⊥MN,∴ MP→ ·MN→ =0.
即(x-1)×1
2
-(x-1)+y-y×1
2
=0,∴ x-y=1.
10. 5
11. 解:(1)a=0 时,适合.
(2)当 a≠0 时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则 a<0;若方程有两个负
的实根,则
1
a
>0,
-2
a
<0,
Δ=4-4a≥0,
解得 0<a≤1.
综上知,方程至少有一个负实根,则 a≤1.反之,若 a≤1,则方程至少有一个负实根.因
此,关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是 a≤1.
12. 解:(1)∵ sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,即 sin(B+C)=3sinAcosB,
又 sinA≠0,∴ cosB=1
3
,0<B<π,∴ sinB= 1-
1
3 2=2 2
3 .
(2) 由BA→ ·BC→ =2 可得 a·c·cosB=2,又 cosB=1
3
,故 ac=6,
由 b2=a2+c2-2accosB 可得 a2+c2=12,所以 a=c,∴ a=c= 6.
13. 解:(1) 设椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 的焦距为 2c(c>0),
则其右准线方程为 x=a2
c
,且 F1(-c, 0),F2(c, 0).
设 M
a2
c
,y1 ,N
a2
c
,y2 ,
则F1M→ =
a2
c
+c,y1 ,F2N→ =
a2
c
-c,y2 ,
OM→ =
a2
c
,y1 ,ON→ =
a2
c
,y2 .
∵ F1M→ ·F2N→ =0,
∴
a2
c
+c a2
c
-c +y1y2=0,
即
a2
c 2+y1y2=c2.
于是OM→ ·ON→ =
a2
c 2+y1y2=c2>0,故∠MON 为锐角.
所以原点 O 在以 MN 为直径的圆的外部.
(2) 因为椭圆的离心率为1
2
,所以 a=2c,
于是 M(4c,y1),N(4c,y2),且 y1y2=c2-
a2
c 2=-15c2.
MN2=(y1-y2)2=y21+y22-2y1y2=|y1|2+|y2|2+2|y1y2|≥4|y1y2|=60c2.
当且仅当 y1=-y2= 15c 或 y2=-y1= 15c 时取“=”号,
所以(MN)min=2 15c=2 15,于是 c=1, 从而 a=2,b= 3,
故所求的椭圆方程是x2
4
+y2
3
=1.
14. 解:∵ f′(x)=3
a2·x2,
∴ 由3
a2·x2=3 有 x=±a,即切点坐标为(a,a),(-a,-a),
∴ 切线方程为 y-a=3(x-a)或 y+a=3(x+a),
整理得 3x-y-2a=0 或 3x-y+2a=0,
∴ |-2a-2a|
32+-12
=2 10
5
,解得 a=±1,
∴ f(x)=x3,∴ g(x)=x3-3bx+3.
(1) ∵ g′(x)=3x2-3b,g(x)在 x=1 处有极值,∴ g′(1)=0,
即 3×12-3b=0,解得 b=1,∴ g(x)=x3-3x+3.
(2) ∵ 函数 g(x)在区间[-1,1]上为增函数,∴ g′(x)=3x2-3b≥0 在区间[-1,1]上恒成
立,∴ b≤0,又∵ b2-mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上恒成立,∴ b2-mb+4≥g(1),即 b2-
mb+4≥4-3b,
∴ mb≤b2+3b 在 b∈(-∞,0]上恒成立,
∴ m≥3.
综上,m 的取值范围是[3,+∞).
专题五 空间立体几何
第 14 讲 空间几何体的表面积与体积
1. π∶6 解析:正方体的棱长与球的直径相等.
2. 16π 解析:形成的几何体是母线长为 5,高为 3,底面半径为 4 的圆锥.
3. 3 3 解析:如图,作 PN⊥底面 ABC,N 为垂足,连结 CN 并且延长交 AB 于点 M.
4. 1 000π
3 cm3 解析:设圆锥的底面半径为 R,则1
2
×10 2×2πR=100 2π,解得 R=
10,∴ 圆锥的高 h= 10 22-102=10 cm,圆锥的体积 V=1
3
×(π×102)×10=1 000π
3 cm3.
5. 2 3 解析:侧面展开图如图所示,即求 BB′的长度,在等腰三角形 SBB′中,易
得 BB′=2 3.
6. 29 29
6 π cm3 解析:三棱锥的三条侧棱长分别为 2 cm,3 cm,4 cm,外接球的半径为
1
2 22+32+42= 29
2
,V=4
3πr3=29 29π
6 .
7. 2
4
解析:A1A=A1B=A1C=AB=AC=BC.∴ A1—ABC 为正四棱锥,∴ A1 在
△ABC 上的射影为△ABC 的中心.∴ 3
2 A1O=1× 2
2 A1O= 6
3
,∴ V=S△ABC·A1O= 2
4 .
8. 100 解析:纸的厚度为 0.1 mm,可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆,然
后分别计算各圆的周长,再算总和.
由内向外各圈的半径分别为 20.05, 20.15,……,59.95.
因此,各圈的周长分别为 40.1π,40.3π,……,119.9π.
因此各圈半径组成首项为 20.05,公差为 0.1 的等差数列,设圈数为 n,
则 59.95=20.05+0.1(n-1),解得 n=400,
显然各圈的周长组成一个首项为 40.1π,公差为 0.2π,项数为 400 的等差数列.根据等
差数列的求和公式,得
S=400×40.1π+400×400-1
2
×0.2π=32 000π mm≈100 m.
9. 解:(1) 因翻折后 B、C、D 重合(如图),
所以 MN 应是△ABF 的一条中位线,
则
MN∥AF
MN 平面 AEF
AF 平面 AEF
MN∥平面 AEF.
(2) 因为 AB⊥BE
AB⊥BF
AB⊥平面 BEF,
且 AB=6,BE=BF=3,所以 VA—BEF=9.
又VE—AFMN
VE—ABF
=SAFMN
S△ABF
=3
4
,所以 VE—AFMN=27
4 cm3.
10. 解:圆锥及内接圆柱的轴截面,如图所示,
设所求圆柱的底面半径为 r,它的侧面积 S 圆柱侧=2πrx,
∵ r
R
=H-x
H
,∴ r=R-R
Hx,
∴ S 圆柱侧=2πRx-2πR
H x2(0<x<H),
∴ x=- 2πR
-2×2πR
H
=H
2
时,圆柱侧面积有最大值.
第 15 讲 点、直线、平面之间的位置关系
1. 平行 相交 在平面内 平行 相交 平行 相交
2. 6
3. ② 解析:由 l1⊥l2,l2∥l3,根据异面直线所成角知 l1 与 l3 所成角为 90°.
4. ②④ 解析:对①,若 l 垂直于α内两条平行直线,则推不出 l⊥α,∴ ①错误;对③,
m∥β,mα ,nβ m∥n 或 m,n 异面,∴ ③错误.
5. 90°
6. 3π
2
解析:如图所示,P、A、B、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点,则三棱
锥 P—ABC 的外接球就是该正方体的外接球,易得正方体的边长 a= 2
2
,球的半径 R=
1
2 a2+a2+a2= 6
4
,∴ S 球=4πR2=3π
2 .
7. ②④ 解析:②:
l⊥m
α∩γ=m
α⊥γ
lγ
l⊥α,④: l⊥α
lβ
α ⊥β.
8. ①②
9. 证明:(1) 连 DA、DB1、DO,
∵ AB=A1A,D 为 C1C 的中点,
而 DB1= DC21+C1B21,DA= DC2+CA2,
∴ DB1=DA.
又 O 是正方形 A1ABB1 对角线的交点,
∴ DO⊥AB1.
又 A1B⊥AB1,A1B∩DO=O,
∴ AB1⊥平面 A1BD.
(2) 取 A1O 的中点 F,在△A1OA 中,
∵ E 是 OA 中点,∴ EF 1
2AA1.
又 D 为 C1C 的中点,
∴ CD=1
2AA1,CD∥AA1.
∴ EF CD,故四边形 CDFE 是平行四边形.∴ CE∥DF.
又 DF 平面 A1BD,CE 平面 A1BD,
∴ EC∥平面 A1BD.
10. (1) 证明:∵ BB1=BC,所以侧面 BCC1B1 是菱形,∴ B1C⊥BC1.
又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B,
∴ BC1⊥平面 A1BC1.
又 B1C 平面 AB1C,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1.
(2) 解:设 B1D 交 BC1 于点 F,连结 EF,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF.
∵ A1B∥平面 B1DE,A1B 平面 A1BC1,
∴ A1B∥EF.∴ A1E
EC1
= BF
FC1
.
又 BF
FC1
= BD
B1C1
=1
2
,∴ A1E
EC1
=1
2.
滚动练习(五)
1. x∈R,sinx≤0
2. [3,+∞) 解析:函数定义域为(3,+∞),y=x-3 在(3,+∞)上单调增,
∴ a>1 且(a,+∞) (3,+∞),∴ a≥3.
3. 1
2
解析: tan22.5°
1-tan222.5°
=1
2· 2tan22.5°
1-tan222.5°
=1
2tan45°=1
2.
4. π 解析:设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,则πrl=2πr2,圆锥的侧面展开图扇形的
圆心角θ=2πr
l
=π.
5. 8 解析:由线性规划得,当 x=2,y=3 时,z=35,∴ ab=16,∴ a+b≥2 ab=8,
当且仅当 a=b=4 时取等号.
6. ④ 7. ①②④
8.
-6
5
,0 解析:到原点距离等于 1 的点的轨迹是单位圆 x2+y2=1,则两圆 x2+y2
=1 和(x-2a)2+(y-a-3)2=4 相交时满足题意,
因此 1< 4a2+a+32<3,∴ -6
5
<a<0.
9. 0, 1
10 ∪(10,+∞) 解析:函数 f(x)在(-∞,0]上是减函数,在(0,+∞)上是增
函数,则|lgx|>1,∴ x>10 或 0<x< 1
10.
10.
π
6
,5π
6 解析:S=|a|·|b|sinθ=|b|sinθ=2,∵ |b|≤1,∴ sinθ≥1
2
,又θ∈[0,π],∴
π
6
≤θ≤5π
6 .
11. 证明:(1)∵ O、H 分别为 AE、AB 的中点,
∴ OH∥BE,又 OH 不在面 BDE 内,∴ 直线 OH∥面 BDE.
(2) O 为 AE 的中点,AD=DE,∴ DO⊥AE,∵ DO= 2,DB=2 3,
BO2=10,∴ DB2=DO2+BO2,∴ DO⊥OB,又∵ AE 和 BO 是相交直线,
∴ DO⊥面 ABCE,又 OD 在面 ADE 内,∴ 面 ADE⊥面 ABCE.
12. (1) 证明:∵ BC=AC,M 为 AB 中点,∴ CM⊥AB.
又平面 ABC⊥平面 ABDE,平面 ABC∩平面 ABDE=AB,CM 平面 ABC,
∴ CM⊥平面 ABDE.又 DE 平面 ABDE,∴ CM⊥DE.
(2) 解:当AN
AC
=1
3
时,CD∥平面 BEN.
连结 AD 交 BE 于点 K,连结 KN,因梯形 ABDE 中 BD∥AE,BD=2AE,
∴ AK
KD
=AE
BD
=1
2
,则AK
AD
=1
3.又AN
AC
=1
3
,∴ KN∥CD.
KN 平面 BEN,CD 平面 BEN,∴ CD∥平面 BEN.
13. 解:(1) 由题意可知,直线 x+my+4=0 经过圆心(-1,3),则-1+3m+4=0,∴ m
=-1.
(2) kPQ=-1,设直线 PQ 的方程 y=-x+b,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立 y=-x+b,
x2+y2+2x-6y+1=0,
消 y 得,2x2+(8-2b)x+b2-6b+1=0,
x1+x2=b-4,x1x2=b2-6b+1
2
,
∵ OP⊥OQ,∴ x1x2+y1y2=0,
∴ x1x2+y1y2=x1x2+(x1-b)(x2-b)=2x1x2-b(x1+x2)+b2=b2-2b+1=0,∴ b=1.
因此,直线 PQ 的方程是 x+y-1=0.
14. 解:(1) 点 n,Sn
n 在直线 y=1
2x+11
2
上,∴ Sn
n
=1
2n+11
2
,即 Sn=1
2n2+11
2 n,an=n
+5.
∵ bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),∴ bn+2-bn+1=bn+1-bn=…=b2-b1.
∴ 数列{bn}是等差数列,∵ b3=11,它的前 9 项和为 153,设公差为 d,
则 b1+2d=11,9b1+9×8
2
×d=153,解得 b1=5,d=3.∴ bn=3n+2.
(2) 由(1)得,cn= 3
2an-112bn-1
= 1
2n-12n+1
=1
2
1
2n-1
- 1
2n+1 ,
∴ Tn=b1+b2+b3+…+bn=1
2
1-1
3 +1
2
1
3
-1
5 +1
2
1
5
-1
7 +…+1
2
1
2n-1
- 1
2n+1 =
1
2
1- 1
2n+1 .
∵ Tn=1
2
1- 1
2n+1 在 n∈N*上是单调递增的,∴ Tn<1
2
,
∵ 不等式 Tn< k
57
对一切 n∈N*都成立. k
57
≥1
2
,则 k≥57
2
,
又 k∈N*,∴ k≥29.∴ 最小的正整数 k 的值为 29.
(3) n∈N*,f(n)= an,n 为奇数,
bn,n 为偶数
= n+5,n 为奇数,
3n+2,n 为偶数.
当 m 为奇数时,m+15 为偶数;当 m 为偶数时,m+15 为奇数.
若 f(m+15)=5f(m)成立,则有 3(m+15)+2=5(m+5)(m 为奇数)
或 m+15+5=5(3m+2)(m 为偶数).
解得 m=11.所以当 m=11 时,f(m+15)=5f(m)成立.
专题六 概率与统计、算法、复数
第 16 讲 概率与统计
1. 150 解析:支出在[50,60]元的同学在分布表中的频率为 0.3,所以人数为 500×0.3
=150.
2. 2 解析:平均数为 9,代入方差公式得.
3. 26
27
解析:这是一道古典概率题,n=27,四个面上都未涂有红漆的只有 1 块,用对
立事件来解决,∴ p=1- 1
27
=26
27.
4. 80 解析:n=16
2
10
=80.
5. 1
2
解析:由表可知, x
18
= y
54
= 2
18
,∴ x=1,y=3,设高一抽的学生为 A,高三的三
个学生为 B、C、D ,则选取两个人有:AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种,其中两人
都来自于高三有 BC,BD,CD 共 3 种,故所求概率为1
2.
6. 1
5
解析:这是一道几何概率,D 的测度为 5,d 的测度为 1,故概率 p=1
5.
7. 5.25 解析:本题考查:线性回归直线必过均值点.
8. 85 1.6 解析:根据茎叶图可得这 7 个数据分别为:79,84,84,86,84,87,93,则去掉一
个最高分和一个最低分后的平均分为 x-=1
5
×(84×3+86+87)=85,方差为 s2=1
5
×[(84-
85)2×3+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.
9. 点拨:本小题主要考查概率、统计等基础知识,数据处理能力、运算求解能力、应
用意识,考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想.
解:(1) 由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=0.35,因为抽取的 20 件
日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 3
20
=0.15,等级系数为 5 的恰有 2 件,所以
c= 2
20
=0.1,从而 a=0.35-b-c=0.1,所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1.
(2) 从日用品 x1,x2,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,
y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2},设事件 A 表
示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的基本事件为:
{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共 4 个,又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P(A)
= 4
10
=0.4.
10. 解:(1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80 mg/100 mL(含 80)以上者,
共有 0.05×60=3 人.
(2) 由图知 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值=25×0.25+35×0.15+45×0.2+
55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47(mg/100 mL)
(3) 第五组和第七组的人分别有:60×0.1=6 人,60×0.05=3 人.
|x-y|≤10 即选的两人只能在同一组中,
设第五组中六人为 a,b,c,d,e,f,第七组中三人为 A,B,C.
则从 9 人中抽出 2 人的一切可能的结果组成的基本事件如下:
ab;ac;ad;ae;af;aA;aB;aC;
bc;bd;be;bf;bA;bB;bC;
cd;ce;cf;cA;cB;cC;
de;df;dA;dB;dC;
ef;eA;eB;eC;
fA;fB;fC;
AB;AC;BC,共 36 种.
其中两人只能在同一组中的事件有 18 种,用 M 表示|x-y|≤10 这一事件,则概率 P(M)
=18
36
=1
2.
第 17 讲 算法、复数
1. -8i 解析: i-1
i 3=(2i)3=-8i.
2. ±1 解析: b2-1=0
b≠0
b=±1.
3. 1 解析:z= 2i
1+i
=2i1-i
2
=1+i.
4. 96
5. -9
6. 2 5 解析:|(-3+i)-(1-i)|=|-4+2i|= -42+22=2 5.
7. 24
8. 1 解析:满足|z+i|+|z-i|=2 的复数 z 在复平面内对应的点到(0,1)、(0,-1)两点距
离之和等于 2,因此复数 z 在复平面内对应点的轨迹是连结(0,1)、(0,-1)的线段,|z+i+
1|表示复数 z 对应的点到点(-1,-1)的距离,结合图形可知,最小值是 1.
9. 5 049
10. 10
滚动练习(六)
1. i 解析: i-2
1+2i
=i+2i2
1+2i
=i.
2. 1
3
解析:这是一道古典概率题,P=m
n
=2
6
=1
3.
3. 2 解析:集合 A 表示由圆 x2+y2=1 上的所有点组成的集合,集合 B 表示直线 y=x
上的所有点组成的集合,由于直线经过圆内的点 O(0,0),则直线与圆有两个交点.
4. 24 23
5. 5 解析:0+log2
2
1
+log2
3
2
+log2
4
3
+log2
5
4
=log25>2.
∴ 在第 4 个循环时 T>2.此时 i=1+4=5.
6. n+2
n+1
解析:f(1)=2(1-a1)=3
2
=1+2
1+1
,
f(2)=2(1-a1)(1-a2)=2 1-1
4 1-1
9 =4
3
=2+2
2+1
,
f(3)=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2 1-1
4 1-1
9 1- 1
16 =5
4
=3+2
3+1
,可猜测 f(n)=n+2
n+1
.
7.
1
2
,15
4 解析:由 2-x-x2+b=0 得 b=x2-2-x,函数 y=x2-2-x 在
[1,2]上单调增,故 b∈
1
2
,15
4 .
8. 5 3
2
解析:在△ABC 中 OA=2,OB=5,cos〈OA→ ,OB→ 〉= -5
2×5
=-1
2
,
∴ S△OAB=1
2
×2×5×sin120°=5 3
2 .
9. [-1,+∞) 解析:运用函数与方程、不等式的思想.
∵ x2-ax≤4x-a-3,∴ a(x-1)≥x2-4x+3.显然当 x=1 时,不等式恒成立;
当 x∈(1,2]时,a≥x-3.
函数 y=x-3 在 x∈(1,2]上单调增,y≤-1,∴ a≥-1.
10. 1
c
-1
b
解析:(解法 1,类比法)E 在 AC 上,OE 的方程为
1
b
-1
c x+
1
p
-1
a y=0.
F 在 AB 上,它们的区别在于 B、C 互换.
因而 OF 的方程应为
1
c
-1
b x+
1
p
-1
a y=0.
∴ 括号内应填:1
c
-1
b.
(解法 2)画草图如右,由对称性可猜想填1
c
-1
b.
事实上,由截距式可得直线
AB:x
b
+y
a
=1,直线 CP:x
c
+y
p
=1,两式相减得
1
c
-1
b x+
1
p
-1
a y=0,显然直线 AB
与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的方程.
11. 解:(1) 设区域 A 中任意一点 P(x,y)∈B 为事件 M.
因为区域 A 的面积为 S1=36,区域 B 在区域 A 中的面积为 S2=18.
故 P(M)=18
36
=1
2.
(2) 设点 P(x,y)落在区域 B 中为事件 N.甲、乙两人各掷一次骰子所得的点 P(x,y)的个
数为 36,其中在区域 B 中的点 P(x,y)有 21 个.
故 P(N)=21
36
= 7
12.
12. 解:(1) ∵ m=2sinB
2
cosB
2
,sinB
2 ,n=2(1,0),
∴ m·n=4sinB
2cosB
2
,|m|=2sinB
2
,|n|=2,
∴ cosθ= m·n
|m|·|n|
=cosB
2.
由 cosB
2
=1
2
,0<B<π,得B
2
=π
3
,即 B=2π
3 .
(2) ∵ B=2π
3
,∴ A+C=π
3.
∴ sinA+sinC=sinA+sin
π
3
-A
=sinA+sinπ
3cosA-cosπ
3sinA
=1
2sinA+ 3
2 cosA=sin
π
3
+A .
又 0<A<π
3
,∴ π
3
<π
3
+A<2π
3
,
∴ 3
2
<sin
π
3
+A ≤1,∴ sinA+sinC∈
3
2
,1 .
又 a+c=2RsinA+2RsinC=2(sinA+sinC),∴ a+c∈( 3,2].
13. (1) 证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有 a22=a1a3,
即
2
3λ-3 2=λ
4
9λ-4 4
9λ2-4λ+9=4
9λ2-4λ 9=0,矛盾.
所以{an}不是等比数列.
(2) 解:因为 bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]
=(-1)n+1
2
3an-2n+14
=-2
3(-1)n·(an-3n+21)=-2
3bn,
又 b1=-(λ+18),
所以当λ=-18 时,bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;
当λ≠-18 时,b1=-(λ+18)≠0,由 bn+1=-2
3bn,可知 bn≠0,所以bn+1
bn
=-2
3(n∈N*).
故当λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-2
3
为公比的等比数列;
综上知,当λ=-18 时,数列{bn}构不成等比数列;
当λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-2
3
为公比的等比数列.
14. 解:(1) (解法 1)连结 OC.
设 BC=x,矩形 ABCD 的面积为 S.
则 AB=2 900-x2,其中 0<x<30.
所以 S=2x 900-x2=2 x2900-x2
≤x2+(900-x2)=900.
当且仅当 x2=900-x2,即 x=15 2时,S 取最大值为 900 cm2.
答:取 BC 为 15 2 cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900 cm2.
(解法 2)连结 OC.设∠BOC=θ,矩形 ABCD 的面积为 S.
则 BC=30sinθ,OB=30cosθ,其中 0<θ<π
2.
所以 S=AB·BC=2OB·BC=900sin2θ.
所以当 sin2θ=1,即θ=π
4
时,S 取最大值为 900 cm2,此时 BC=15 2.
答:取 BC 为 15 2 cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900 cm2.
(2) (解法 1)设圆柱底面半径为 r,高为 x,体积为 V.
由 AB=2 900-x2=2πr,得 r= 900-x2
π
,
所以 V=πr2h=1
π(900x-x3),其中 0<x<30.
由 V′=1
π(900-3x2)=0,得 x=10 3.
因此 V=1
π(900x-x3)在(0,10 3)上是增函数,在(10 3,30)上是减函数.
所以当 x=10 3时,V 的最大值为6 000 3
π .
答:取 BC 为 10 3 cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为6 000 3
π cm3.
(解法 2)连结 OC,设∠BOC=θ,圆柱底面半径为 r,高为 h,体积为 V,
则圆柱的底面半径为 r=30cosθ
π
,高 h=30sinθ,其中 0<θ<π
2.
所以 V=πr2h=27 000
π sinθcos2θ=27 000
π (sinθ-sin3θ).
设 t=sinθ,则 V=27 000
π (t-t3).
由 V′=27 000
π ·(1-3t2)=0,得 t= 3
3 .
因此 V=27 000
π (t-t3)在 0, 3
3 上是增函数,在
3
3
,1 上是减函数.
所以当 t= 3
3
时,即 sinθ= 3
3
,此时 BC=10 3时,V 的最大值为6 000 3
π .
答:取 BC 为 10 3 cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为 6 000 3
π cm3.
专题七 数学思想方法
第 18 讲 分类讨论思想
1. -1,0,1 解析:分 m=0,m≠0 两种情况写出集合 B.
2. 2 解析:分别讨论,令 f(x)=0,得 x=-3 和 x=e2.
3. 0<a<2
3
或 a>1 解析:分 0<a<1 和 a>1 两种情况讨论.
4. Sn=
n,x=1,
1-xn
1-x
,x≠1, 解析:分 x=1 和 x≠1 两种情况讨论,利用等比数列求和
公式.
5. 3 或1
3
解析:分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况.
6. (-∞,1] 解析:m=0 符合题意;由于 f(0)=1,m<0 也符合题意;
m>0 时,则
-m-3
2m
>0,
m-32-4m≥0,
∴ 0<m≤1.综上 m≤1.
7.
3
4
,1 解析:当 0<a<1 时,函数 y=x3-ax 在 -1
2
,0 上单调减,
∴ y′(x)=3x2-a≤0 对 x∈ -1
2
,0 恒成立,从而3
4
≤a<1;
当 a>1 时,函数 y=x3-ax 在 -1
2
,0 上单调增;而 y′(x)=3x2-a≥0 对 x∈ -1
2
,0
不恒成立,故 a 的取值范围是
3
4
,1 .
8. (-1, 2-1) 解析:分 x<-1,-1≤x<0,0≤x≤1,x>1 四种情况.
9. 证明:若 q=1,则{an}的每项 an=a,此时 am+k、an+k、al+k 显然成等差数列.
若 q≠1,由 Sm、Sn、Sl 成等差数列可得 Sm+Sl=2Sn,即aqm-1
q-1
+aql-1
q-1
=2aqn-1
q-1
.
整理得 qm+ql=2qn.
因此,am+k+al+k=aqk-1(qm+ql)=2aqn+k-1=2an+k.
所以,am+k、an+k、al+k 也成等差数列.
10. 解:f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=1
a.
以下分两种情况讨论:
(1) 若 0<a≤2,则1
a
≥1
2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1
2
,0 0 0,1
2
f′(x) + 0 -
f(x) 极大值
当 x∈ -1
2
,1
2 时,f(x)>0 等价于
f
-1
2 >0,
f
1
2 >0,
即
5-a
8
>0,
5+a
8
>0.
解不等式组得-52,则 0<1
a
<1
2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1
2
,0 0 0,1
a
1
a
1
a
,1
2
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
当 x∈ -1
2
,1
2 时,f(x)>0 等价于
f
-1
2 >0,
f
1
a >0,
即
5-a
8
>0,
1- 1
2a2
>0.
解不等式组得 2
2
<a<5 或 a<- 2
2 .因此 2