高考第一轮复习数学133函数的极限 9页

‎13.3 函数的极限 ‎●知识梳理 ‎1.函数极限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.‎ ‎（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.‎ ‎（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f（x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.‎ ‎2.极限的四则运算法则：‎ 如果f（x）=a,g（x）=b,那么 [f（x）±g（x）]=a±b;[f（x）·g（x）]=a·b;=（b≠0）.‎ 特别提示 ‎（1）上述法则对x→∞的情况仍成立；‎ ‎（2）[Cf（x）]=Cf（x）（C为常数）;‎ ‎（3）[f（x）]n=[f（x）]n（n∈N *）.‎ ‎●点击双基 ‎1.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C ‎2.f（x）=下列结论正确的是 A.=f（x）‎ B.=2，不存在 C.f （x）=0,不存在 D.f （x）≠f （x）‎ 答案:D ‎3.函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A ‎4.（2005年西城区抽样测试）=________________.‎ 解析:===3.‎ 答案:3‎ ‎5.若=2,则a=__________.‎ 解析:=2,‎ ‎∴=2.∴a=4.‎ 答案:4‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】求下列各极限：‎ ‎（1）（；‎ ‎（2）（－x）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4） 剖析:若f （x）在x0处连续，则应有f （x）=f （x0）,故求f （x）在连续点x0处的极限时，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0处不连续，可通过变形，消去x－x0因式，转化成可直接求f（x0）的式子.‎ 解:（1）原式＝＝=－.‎ ‎（2）原式==a+b.‎ ‎（3）因为=1,而==－1，‎ ≠,‎ 所以不存在．‎ ‎（4）原式=＝（cos+sin）＝.‎ 思考讨论 ‎ 数列极限与函数极限的区别与联系是什么？‎ ‎【例2】 （1）设f（x）=;‎ ‎（2）f （x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式.‎ 解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,‎ 当且仅当b=2时,f（x）=f （x）,‎ 故b=2时,原极限存在.‎ ‎（2）由于f（x）是多项式,且=1,‎ ‎∴可设f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）.‎ 又∵=5,‎ 即（4x2+x+a+）=5,‎ ‎∴a=5,b=0,即f （x）=4x3+x2+5x.‎ 评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.‎ ‎（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.‎ ‎【例3】 讨论函数f （x）=·x （0≤x＜+∞）的连续性，并作出函数图象.‎ 部析:应先求出f （x）的解析式，再判断连续性.‎ 解:当0≤x＜1时，f （x）=x=x;‎ 当x＞1时，f （x）=·x=·x=－x;‎ 当x=1时，f （x）=0.‎ ‎∴f （x）= ‎∵f（x）=（－x）=－1,f（x）=x=1,‎ ‎∴f（x）不存在.‎ ‎∴f （x）在x=1处不连续，f （x）在定义域内的其余点都连续.‎ 图象如下图所示.‎ 评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.已知函数f （x）是偶函数,且f （x）=a,则下列结论一定正确的是 A.f (x)=－aB.f（x）=a C.f (x)=|a| D.f（x）=|a|‎ 解析：∵f（x）是偶函数,∴f（－x）=f（x）.‎ 又f（x）=a,‎ f（－x）=a,f（x）=f（－x）,‎ ‎∴f（－x）=f（x）=a.‎ 答案：B ‎2.（2004年全国Ⅱ，理2）等于 A. B‎.1 C. D. 解析:∵=.‎ 答案:A ‎3.已知函数y=f（x）在点x=x0处存在极限,且f（x）=a2－2,f（x）=‎2a+1,则函数y=f（x）在点x=x0处的极限是____________.‎ 解析:∵y=f（x）在x=x0处存在极限,‎ ‎∴f（x）=f（x）,即a2－2=‎2a+1.∴a=－1或a=3.‎ ‎∴f（x）=‎2a+1=－1或7.‎ 答案:－1或7‎ ‎4.若f（x）=在点x=0处连续，则f（0）=__________________.‎ 解析:∵f（x）在点x=0处连续，‎ ‎∴f（0）=f（x）,‎ f（x）= ‎ ==.‎ 答案: ‎5.已知函数f（x）=，试求:‎ ‎（1）f（x）的定义域，并画出图象；‎ ‎（2）求f（x）、f（x）,并指出f（x）是否存在.‎ 解:（1）当|x|＞2时，‎ ==－1;‎ 当|x|＜2时，==1;‎ 当x=2时，=0;‎ 当x=－2时，不存在.‎ ‎∴f（x）= ‎∴f（x）的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}.‎ 如下图:‎ ‎（2）∵f（x）=－1,f（x）=1.∴f（x）不存在.‎ ‎6.设函数f（x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f（x）=0,f（x）=－3,求出这一函数最大值.‎ 解:∵f（x）=ax2+bx+c是一偶函数,‎ ‎∴f（－x）=f（x）,‎ 即ax2+bx+c=ax2－bx+c.‎ ‎∴b=0.∴f（x）=ax2+c.‎ 又f（x）=ax2+c=a+c=0,f（x）=ax2+c=4a+c=－3,‎ ‎∴a=－1,c=1.‎ ‎∴f（x）=－x2+1.‎ ‎∴f（x）max=f（0）=1.‎ ‎∴f（x）的最大值为1.‎ 培养能力 ‎7.在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求.‎ 解：设所在圆圆心为O,则C、D、O都在AB的中垂线上,‎ ‎∴∠AOD=∠BOD=.设OA=r.‎ S△ABC=S四边形AOBC－S△AOB=r2sin－r2sinx=r2sin（1－cos）,‎ S△ABD=S四边形AOBD－S△AOB=r2tan－r2sinx=r2.‎ ‎∴===.‎ ‎8.当a＞0时,求.‎ 解:原式= ‎ = ‎== ‎= 探究创新 ‎9.设f（x）是x的三次多项式，已知 ===1.‎ 试求的值（a为非零常数）.‎ 解:由于=1,可知f（2a）=0. ①‎ 同理f（4a）=0. ②‎ 由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）.‎ 这里A、C均为待定的常数.‎ 由=1,即 ‎=A（x－4a）（x－C）=1,‎ 得A（2a－4a）（2a－C）=1,‎ 即4a2A－2aCA=－1. ③‎ 同理，由于=1,‎ 得A（4a－2a）（4a－C）=1,‎ 即8a2A－2aCA=1. ④‎ 由③④得C=3a,A=,‎ 因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.‎ ‎∴=（x－2a）（x－4a）‎ ‎=·a·（－a）=－.‎ ‎●思悟小结 ‎1.f（x）=Af（x）=f（x）=A,‎ f（x）=Af（x）=f（x）=A.‎ ‎2.函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：‎ ‎（1）函数f（x）在x=x0处及其附近有定义；‎ ‎（2）f（x）存在；‎ ‎（3）f（x）=f（x0）.‎ ‎3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.‎ ‎2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.‎ ‎3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于与的区别.‎ 拓展题例 ‎【例1】 设f（x）=问k为何值时，有f（x）存在？‎ 解:f（x）=2k,f（x）=1,‎ ‎∴要使f（x）存在，应有2k=1.∴k=.‎ ‎【例2】 a为常数，若（－ax）=0,求a的值.‎ 解:∵（－ax）===0,‎ ‎∴1－a2=0.‎ ‎∴a=±1.但a=－1时，分母→0,‎ ‎∴a=1.‎