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  • 2021-05-13 发布

高考第一轮复习数学133函数的极限

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‎13.3 函数的极限 ‎●知识梳理 ‎1.函数极限的概念:(1)如果f(x)=a且f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→∞时,f(x)→a.‎ ‎(2)一般地,当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→x0时,f(x)→a.‎ ‎(3)一般地,如果当x从点x=x0左侧(即x<x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作f(x)=a.如果从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作f(x)=a.‎ ‎2.极限的四则运算法则:‎ 如果f(x)=a,g(x)=b,那么 [f(x)±g(x)]=a±b;[f(x)·g(x)]=a·b;=(b≠0).‎ 特别提示 ‎(1)上述法则对x→∞的情况仍成立;‎ ‎(2)[Cf(x)]=Cf(x)(C为常数);‎ ‎(3)[f(x)]n=[f(x)]n(n∈N *).‎ ‎●点击双基 ‎1.f(x)=f(x)=a是f(x)在x0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C ‎2.f(x)=下列结论正确的是 A.=f(x)‎ B.=2,不存在 C.f (x)=0,不存在 D.f (x)≠f (x)‎ 答案:D ‎3.函数f(x)在x0处连续是f(x)在点x0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A ‎4.(2005年西城区抽样测试)=________________.‎ 解析:===3.‎ 答案:3‎ ‎5.若=2,则a=__________.‎ 解析:=2,‎ ‎∴=2.∴a=4.‎ 答案:4‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】求下列各极限:‎ ‎(1)(;‎ ‎(2)(-x);‎ ‎(3);‎ ‎(4) 剖析:若f (x)在x0处连续,则应有f (x)=f (x0),故求f (x)在连续点x0处的极限时,只需求f (x0)即可;若f (x)在x0处不连续,可通过变形,消去x-x0因式,转化成可直接求f(x0)的式子.‎ 解:(1)原式===-.‎ ‎(2)原式==a+b.‎ ‎(3)因为=1,而==-1,‎ ≠,‎ 所以不存在.‎ ‎(4)原式==(cos+sin)=.‎ 思考讨论 ‎ 数列极限与函数极限的区别与联系是什么?‎ ‎【例2】 (1)设f(x)=;‎ ‎(2)f (x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式.‎ 解:(1) f (x)= (2x+b)=b,f(x)= (1+2x)=2,‎ 当且仅当b=2时,f(x)=f (x),‎ 故b=2时,原极限存在.‎ ‎(2)由于f(x)是多项式,且=1,‎ ‎∴可设f (x)=4x3+x2+ax+b(a、b为待定系数).‎ 又∵=5,‎ 即(4x2+x+a+)=5,‎ ‎∴a=5,b=0,即f (x)=4x3+x2+5x.‎ 评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.‎ ‎(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.‎ ‎【例3】 讨论函数f (x)=·x (0≤x<+∞)的连续性,并作出函数图象.‎ 部析:应先求出f (x)的解析式,再判断连续性.‎ 解:当0≤x<1时,f (x)=x=x;‎ 当x>1时,f (x)=·x=·x=-x;‎ 当x=1时,f (x)=0.‎ ‎∴f (x)= ‎∵f(x)=(-x)=-1,f(x)=x=1,‎ ‎∴f(x)不存在.‎ ‎∴f (x)在x=1处不连续,f (x)在定义域内的其余点都连续.‎ 图象如下图所示.‎ 评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而判断连续性.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.已知函数f (x)是偶函数,且f (x)=a,则下列结论一定正确的是 A.f (x)=-aB.f(x)=a C.f (x)=|a| D.f(x)=|a|‎ 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).‎ 又f(x)=a,‎ f(-x)=a,f(x)=f(-x),‎ ‎∴f(-x)=f(x)=a.‎ 答案:B ‎2.(2004年全国Ⅱ,理2)等于 A. B‎.1 C. D. 解析:∵=.‎ 答案:A ‎3.已知函数y=f(x)在点x=x0处存在极限,且f(x)=a2-2,f(x)=‎2a+1,则函数y=f(x)在点x=x0处的极限是____________.‎ 解析:∵y=f(x)在x=x0处存在极限,‎ ‎∴f(x)=f(x),即a2-2=‎2a+1.∴a=-1或a=3.‎ ‎∴f(x)=‎2a+1=-1或7.‎ 答案:-1或7‎ ‎4.若f(x)=在点x=0处连续,则f(0)=__________________.‎ 解析:∵f(x)在点x=0处连续,‎ ‎∴f(0)=f(x),‎ f(x)= ‎ ==.‎ 答案: ‎5.已知函数f(x)=,试求:‎ ‎(1)f(x)的定义域,并画出图象;‎ ‎(2)求f(x)、f(x),并指出f(x)是否存在.‎ 解:(1)当|x|>2时,‎ ==-1;‎ 当|x|<2时,==1;‎ 当x=2时,=0;‎ 当x=-2时,不存在.‎ ‎∴f(x)= ‎∴f(x)的定义域为{x|x<-2或x=2或x>2}.‎ 如下图:‎ ‎(2)∵f(x)=-1,f(x)=1.∴f(x)不存在.‎ ‎6.设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f(x)=0,f(x)=-3,求出这一函数最大值.‎ 解:∵f(x)=ax2+bx+c是一偶函数,‎ ‎∴f(-x)=f(x),‎ 即ax2+bx+c=ax2-bx+c.‎ ‎∴b=0.∴f(x)=ax2+c.‎ 又f(x)=ax2+c=a+c=0,f(x)=ax2+c=4a+c=-3,‎ ‎∴a=-1,c=1.‎ ‎∴f(x)=-x2+1.‎ ‎∴f(x)max=f(0)=1.‎ ‎∴f(x)的最大值为1.‎ 培养能力 ‎7.在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求.‎ 解:设所在圆圆心为O,则C、D、O都在AB的中垂线上,‎ ‎∴∠AOD=∠BOD=.设OA=r.‎ S△ABC=S四边形AOBC-S△AOB=r2sin-r2sinx=r2sin(1-cos),‎ S△ABD=S四边形AOBD-S△AOB=r2tan-r2sinx=r2.‎ ‎∴===.‎ ‎8.当a>0时,求.‎ 解:原式= ‎ = ‎== ‎= 探究创新 ‎9.设f(x)是x的三次多项式,已知 ===1.‎ 试求的值(a为非零常数).‎ 解:由于=1,可知f(2a)=0. ①‎ 同理f(4a)=0. ②‎ 由①②,可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式,由于f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C).‎ 这里A、C均为待定的常数.‎ 由=1,即 ‎=A(x-4a)(x-C)=1,‎ 得A(2a-4a)(2a-C)=1,‎ 即4a2A-2aCA=-1. ③‎ 同理,由于=1,‎ 得A(4a-2a)(4a-C)=1,‎ 即8a2A-2aCA=1. ④‎ 由③④得C=3a,A=,‎ 因而f(x)=(x-2a)(x-4a)(x-3a).‎ ‎∴=(x-2a)(x-4a)‎ ‎=·a·(-a)=-.‎ ‎●思悟小结 ‎1.f(x)=Af(x)=f(x)=A,‎ f(x)=Af(x)=f(x)=A.‎ ‎2.函数f(x)在x0处连续当且仅当满足三个条件:‎ ‎(1)函数f(x)在x=x0处及其附近有定义;‎ ‎(2)f(x)存在;‎ ‎(3)f(x)=f(x0).‎ ‎3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.在讲解过程中,要讲清函数极限与数列极限的联系与区别,借助于函数图象讲清连续性的意义.‎ ‎2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限,并有趋近于无穷大和趋近于常数两类,需给予关注.‎ ‎3.在求函数极限时,需观察,对不能直接求的可以化简后求,但提醒学生要注意类似于与的区别.‎ 拓展题例 ‎【例1】 设f(x)=问k为何值时,有f(x)存在?‎ 解:f(x)=2k,f(x)=1,‎ ‎∴要使f(x)存在,应有2k=1.∴k=.‎ ‎【例2】 a为常数,若(-ax)=0,求a的值.‎ 解:∵(-ax)===0,‎ ‎∴1-a2=0.‎ ‎∴a=±1.但a=-1时,分母→0,‎ ‎∴a=1.‎