2017高考真题专项训练平面向量理科教师版 7页

‎2017---2018年高考真题专项训练：平面向量（理科）教师版 一、单选题 ‎1．（2017. 新课标3卷）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λ AB+μ AD，则λ+μ的最大值为 A． 3 B． 2‎2‎ C． ‎5‎ D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.‎ 设A‎0,1‎,B‎0,0‎,C‎2,0‎,D‎2,1‎,Px,y,‎ 易得圆的半径r=‎‎2‎‎5‎，即圆C的方程是x-2‎‎2‎‎+y‎2‎=‎‎4‎‎5‎，‎ AP‎=x,y-1‎,AB=‎0,-1‎,AD=‎‎2,0‎‎，若满足AP‎=λAB+μAD，‎ 则x=2μy-1=-λ ，μ=x‎2‎,λ=1-y，所以λ+μ=x‎2‎-y+1‎，‎ 设z=x‎2‎-y+1‎，即x‎2‎‎-y+1-z=0‎，点Px,y在圆x-2‎‎2‎‎+y‎2‎=‎‎4‎‎5‎上，‎ 所以圆心‎(2,0)‎到直线x‎2‎‎-y+1-z=0‎的距离d≤r，即‎2-z‎1‎‎4‎‎+1‎‎≤‎‎2‎‎5‎，解得‎1≤z≤3‎，‎ 所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A.‎ ‎2．（2017. 浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则 A． I１0)‎，则由圆心C为AB中点得C(a+5‎‎2‎,a),‎易得‎⊙C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0‎，与y=2x联立解得点D的横坐标xD‎=1,‎所以D(1,2)‎.所以AB‎=(5-a,-2a),CD=(1-a+5‎‎2‎,2-a)‎，‎ 由AB‎⋅CD=0‎得‎(5-a)(1-a+5‎‎2‎)+(-2a)(2-a)=0,a‎2‎-2a-3=0,a=3‎或a=-1‎，‎ 因为a>0‎，所以a=3.‎ 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.‎ ‎15．（2018. 新课标3卷）已知向量a=‎‎1,2‎，b=‎‎2,-2‎，c=‎‎1,λ．若c∥‎‎2a+b，则λ=‎________．‎ ‎【答案】‎‎1‎‎2‎ 详解：由题可得‎2a+b=(4,2)‎ ‎∵c//(2a+b),‎‎ ‎c‎=(1,λ)‎ ‎∴4λ-2=0‎‎,即λ=‎‎1‎‎2‎ 故答案为‎1‎‎2‎ 三、解答题 ‎16．（2018. 新课标3卷）已知斜率为k的直线l与椭圆C：  x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1‎交于A，B两点，线段AB的中点为M‎1 ，  mm>0‎．‎ ‎（1）证明：k<-‎‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP‎+FA+FB=0‎．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。‎ ‎（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到‎|FP|‎,再由两点间距离公式表示出FA‎,|FB|‎，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。‎ 详解：（1）设A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎，则x‎1‎‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1,x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎‎3‎=1‎.‎ 两式相减，并由y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎=k得 x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎⋅k=0‎‎.‎ 由题设知x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=1,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=m，于是 k=-‎‎3‎‎4m‎.①‎ 由题设得‎0