2014年版高考数学理40椭圆二轮考点专练 7页

考点40 椭圆 一、选择题 ‎1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将用半焦距c表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c的关系，从而得离心率.‎ ‎【解析】选D. 因为,‎ 所以。‎ 又，所以，‎ 即椭圆的离心率为，选D.‎ ‎2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:的左、右顶点分别为,,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是　(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解题指南】将代入到中,得到与之间的关系,利用为定值求解的取值范围.‎ ‎【解析】选B.设，则，，‎ ‎，故.因为,所以 ‎3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A,B两点,且=3,则C的方程为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】由过椭圆的焦点且垂直轴的通径为求解.‎ ‎【解析】选C.设椭圆得方程为，由题意知，又，解得或（舍去），而，故椭圆得方程为.‎ ‎4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是与轴垂直，二是 ‎【解析】选C，根据题意可知点P，代入椭圆的方程可得，根据，可知，即，解得，即，解得，故选C.‎ ‎5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 ‎，离心率等于，则C的方程是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好的关系即可.‎ ‎【解析】选D.设C的方程为，则，C的方程是.‎ ‎6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得 ‎【解析】选B.在三角形中，由余弦定理得 ‎,又 解得在三角形中，，故三角形为直角三角形.设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，‎ 则其对角线且，即焦距 又据椭圆的定义，得，所以.故离心率 二、填空题 ‎7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为 ‎，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ‎ ‎【解题指南】利用构建参数a,b,c的关系式.‎ ‎【解析】由原点到直线的距离为得，因到的距离为故，又所以又解得 ‎【答案】.‎ ‎8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .‎ ‎【解析】 如图所示，以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.‎ ‎【答案】 .‎ ‎9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同 椭圆Γ: 的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于　　　　　　　.‎ ‎【解题指南】,而2c是焦距,2a是定义中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: .‎ ‎【解析】∠MF1F2是直线的倾斜角,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以.‎ ‎【答案】 .‎ ‎10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接若，则的离心率 ‎【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A到右焦点的距离，进而求得.‎ ‎【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，，故三角形为直角三角形。‎ 设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，则其对角线且，即焦距 又据椭圆的定义，得，所以.‎ 故离心率 ‎【答案】.‎ 三、解答题 ‎11. （2013·陕西高考文科·Ｔ20）‎ 已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. ‎ ‎ (1) 求动点M的轨迹C的方程; ‎ ‎ (2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. ‎ ‎【解题指南】设出动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与的关系式，利用中点坐标即可得斜率.‎ ‎【解析】(1) 点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，则.‎ 所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为.‎ ‎(2) P(0, 3), 设，‎ 椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：‎ 所以，直线m的斜率.‎ ‎12. （2013·四川高考理科·Ｔ20） ‎ 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．‎ ‎【解题指南】（1）关注椭圆的定义，利用定义求出，再求出离心率；（2）‎ 首先确定椭圆的方程，设出点的坐标，结合已知，找到点的坐标满足的关系.‎ ‎【解析】(1)由椭圆定义知,‎2a=|PF1|+|PF2|=+=2,‎ 所以a=,又由已知,c=1,‎ 所以椭圆的离心率e===. ‎ ‎(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1, 设点Q的坐标为(x,y).‎ ‎(ⅰ) 当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,,此时点Q的坐标为(0,2−).‎ ‎(ⅱ) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分别为则 ‎|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2,‎ 由=+,得=+,‎ 即=+=, ①‎ 将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ②‎ 由D=(8k)2−4(2k2+1)´6>0,得k2>.‎ 由②可知,x1+x2=,x1x2=, 代入①并化简得x2=. ③‎ 因为点Q在直线y=kx+2上, 所以k=, 代入③并化简,得10(y−2)2−3x2=18.‎ 由③及k2>,可知0