高考数学模拟试题9苏教版 24页

‎2015年高考模拟试卷(9)‎ 南通市数学学科基地命题 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． ‎ ‎1．已知集合，集合，则= ．‎ ‎2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为，则复数的实部 为 ．‎ ‎3．采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号落入区间上的人数为 ．‎ ‎4．运行如图算法语句，则输出的结果为 ．‎ ‎5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的 放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．‎ ‎6．已知是等差数列，满足，则a9 = ．‎ ‎7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．‎ ‎8．若双曲线与直线无交点，则离心率e的取值范围是 ．‎ ‎9．若，则= ．‎ ‎10．是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边 的中点，，向量的终点 在的内部（不含边界），则的取值范围是 ． ‎ ‎11．已知函数，若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎12. 已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为，则直线的方程为 ．‎ ‎13．已知函数，当时，给出以下几个结论：‎ ①；②；‎ ③； ④，‎ 其中正确的命题的序号是 ． ‎ ‎14．对于集合（，定义集合，‎ 若，则集合中各元素之和为 　．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.‎ ‎15．（本小题满分14分）在四边形ABCD中，CA＝CD＝AB＝1， ＝1，‎ ‎∠BCD＝．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求三角形ACD的面积．‎ C A B ‎16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．‎ ‎（1）求证：AE //面DBC；‎ ‎（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．‎ A E D C B ‎17.（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，，单位百米.‎ 已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不 计），交线段于点，交线段于点.现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象.若点到轴距 离记为.‎ ‎(1) 当时，求直路所在的直线方程；‎ O ‎ B ‎ M ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ ‎（第17题） ‎ N ‎ x ‎ y ‎ ‎(2) 当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？‎ ‎18．（本小题满分16分）已知椭圆中心在坐标原点，对称轴为轴，且过点、.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆上的任一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于.试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．‎ ‎19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝＋(a，b，λ为实常数)．‎ ‎（1）若λ＝－1，a＝1．‎ ①当b＝－1时，求函数f(x)的图象在点(，f())处的切线方程；‎ ②当b＜0时，求函数f(x)在[，]上的最大值．‎ ‎ （2）若λ＝1，b＜a，求不等式f(x)≥1的解集构成的区间D的长度．‎ ‎（定义区间，，，的长度均为，其中．）‎ ‎20．（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Mn}满足条件：M1=‎ ‎，当n≥2‎ 时，Mn= －，其中数列{tn}单调递增，且tn∈N*．‎ ‎（1）若an＝n，‎ ‎①试找出一组t1、t2、t3，使得M22＝M‎1M3‎；‎ ‎②证明：对于数列an＝n，一定存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方；‎ ‎（2）若an＝2n－1，是否存在无穷数列{tn}，使得{Mn}为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{tn}；若不存在，说明理由．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ A．（选修4－1：几何证明选讲）‎ 如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点．若，‎ ‎，，求线段的长．‎ B．（选修4－2：矩阵与变换）‎ 变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是．‎ ‎（1）求点在作用下的点的坐标；‎ ‎（2）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程．‎ C．（选修4－4：坐标系与参数方程）‎ 已知直线经过点，倾斜角．‎ ‎（1）写出直线的参数方程；‎ ‎（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．‎ D．（选修4－5：不等式选讲）‎ 对任给的实数a和b，不等式恒成立，求实数x的取值．‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若 为整数，则；若为小于1的分数，则；若为大于1的分数，则．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎（2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎ ‎ ‎23．（本小题满分10分）已知为整数且，，其中，，求证：对一切正整数，均为整数．‎ ‎2015年高考模拟试卷(9)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1．； 2．1； 3．6； 4．7； 5．； 6．3 ；‎ ‎7．； 8． (1,2] ； 9．；10．．【解析】，根据向量分解基本定理，可得，‎ 所以 ‎ ‎ ‎11．．【解析】的解集为，所以 或恒成立，又，所以．‎ ‎12．或．【解析】设直线与和的交点为，，根据题意可得，令，可得，代入可得或，而所求直线的斜率，代入可得或，所以所求直线的方程为或．‎ ‎13． ④.【解析】 ，所以，令，得，所以在内单调递减，而在内是单调递增，可知 ①不正确，令，则，可得在不是单调的，所以②③不正确，令，得是单调递增，所以④正确．‎ ‎14．．【解析】考察中，S中的元素组成项的等差数列，，所以各元素之和为．‎ 二、解答题 ‎15．（1） ‎ 在⊿ABC中由余弦定理知 ‎ ‎ 所以.‎ ‎（2）在⊿ABC中, ,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎16．（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．‎ 因为面DBC⊥ 面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO Ì面DBC， ‎ 所以DO⊥ 面ABC．又AE⊥ 面ABC，则AE//DO．‎ 又AE 面DBC，DO Ì面DBC，故AE // 面DBC． ‎ ‎（2）由（1）知DO⊥ 面ABC，ABÌ面ABC，所以DO⊥AB．‎ 又AB⊥ BC，且DO∩BC＝O，DO，BCÌ平面DBC，则AB⊥ 面DBC．‎ 因为DC Ì面DBC，所以AB⊥ DC．又BD⊥ CD，AB∩DB＝B，AB，DBÌ面ABD，则DC⊥ 面ABD．‎ 又ADÌ 面ABD，故可得AD⊥ DC． ‎ ‎17．(1) 由题意得，又因为，所以直线的斜率，‎ 故直线的方程为，即. ‎ ‎(2) 由(1)易知，即.‎ 令得，令得. ‎ 由题意解得. ‎ ‎. ‎ 令，‎ 则. ‎ 当时，;当时，;‎ 当时，‎ 当时，‎ 所求面积的最小值为.‎ ‎18．(1)依题意，设此椭圆方程为，‎ 过点、，可得，‎ 解之得，‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎(2)(i)当直线的斜率均存在时,不妨设直线,‎ 依题意,化简得 ，‎ 同理.‎ 所以是方程的两个不相等的实数根，‎ ‎.‎ 因，所以.‎ 所以,‎ 设,则,所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以， ， ‎ 所以． ‎ ‎(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有 综上，． ‎ ‎19． (1)①当b＝－1时，f(x)＝－＝，则f ′(x)＝，可得f ′()＝－4，又f()＝2，‎ 故所求切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－10＝0． ‎ ‎ ②当λ＝－1时，f(x)＝－，‎ ‎ 则f ′(x)＝－＋＝＝． ‎ ‎ 因为b＜0，则b－1＜0 ，且b＜＜ ‎ 故当b＜x＜时，f ′(x)＞0，f(x)在(b，)上单调递增；‎ ‎ 当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)在(，)单调递减． ‎ ‎ (Ⅰ)当≤，即b≤－时，f(x)在[，]单调递减，所以[f(x)]max＝f()＝；‎ ‎ (Ⅱ)当＜＜，即－＜b＜0时，[f(x)]max＝f()＝．‎ ‎ 综上所述，[f(x)]max＝ , ‎ ‎ (2) f(x)≥1即＋≥1． (*)‎ ‎①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集． ‎ ‎②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为 (x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，‎ 展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，‎ 设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，‎ 因为△＝(a－b)＋4＞0，所以g (x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，‎ 又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，‎ 因此b＜x1＜a＜x2，‎ 所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x≤x1． ‎ ③当x＞a时，不等式(*)可化为 (x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，‎ 展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，‎ 由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2 , ‎ 综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，‎ 其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2． ‎ ‎20．（1）若an＝n，则Sn＝ ，‎ ‎ ①取M1＝S1＝1，M2＝S4－S1＝9，M3＝S13－S4＝81，满足条件M22＝M‎1M3‎，‎ ‎ 此时t1＝1，t2＝4，t3＝13． ‎ ‎ ②由①知t1＝1，t2＝1＋3，t3＝1＋3＋32，则M1＝1，M2＝32，M3＝92，‎ 一般的取tn＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝，‎ 此时＝，＝，‎ 则＝－＝－＝(3n－1)2，‎ 所以为一整数平方．‎ 因此存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方． ‎ ‎（2）假设存在数列{tn}，使得{Mn}为等比数列，设公比为q．‎ ‎ 因为Sn＝n2，所以＝tn2，则M1＝t12，当n≥2时，Mn＝tn2－tn－12＝qn－1 t12，‎ 因为q为正有理数，所以设q＝(r，s为正整数，且r，s既约)． ‎ 因为tn2－tn－12必为正整数，则t12∈N*，由于r，s既约，所以必为正整数．‎ 若s≥2，且{tn}为无穷数列，则当n＞logst12＋1时，＜1，这与为正整数相矛盾．于是s＝1，即q为正整数． ‎ 注意到t32＝M3＋M2＋M1＝M1(1＋q＋q2)＝t12 (1＋q＋q2)，于是＝1＋q＋q2．‎ 因为1＋q＋q2∈N*，所以∈N*． ‎ 又为有理数，从而必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．‎ 但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．‎ 因此不存在满足条件的数列{tn}． ‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．A．因为BE切⊙O于点B，所以，‎ 因为，，所以，则． ‎ 又因为，所以，‎ 所以． ‎ B．（1），‎ 所以点在作用下的点的坐标是.‎ ‎（2），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，‎ 所以所求曲线的方程是. ‎ C．（1）直线的参数方程为，即． ‎ ‎（2）把直线代入，‎ 得，，‎ 则点到两点的距离之积为． ‎ D．由题知，恒成立，‎ 故不大于的最小值， ‎ ‎∵，当且仅当时取等号,‎ ‎∴的最小值等于2. ‎ ‎∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得． ‎ ‎22．（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：‎ ‎（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以； ‎ ‎（2）随机变量的所有取值为，，‎ ‎，‎ 有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），‎ 故；‎ 有以下2种：（3，2），（4，3），故；‎ ‎0‎ ‎1‎ 所以的分布列为：‎ ‎，‎ 答：的数学期望为． ‎ ‎23．构造的对偶式，下面用数学归纳法证明更强的结论：，都是整数．‎ 当时，由知，则，，于是，都是整数； ‎ 假设当时，、都是整数，则当时，‎ ‎．‎ 同理可得，．由（1）、（2）知、都是整数．‎