高考数学理科知识点总结精辟 17页

2018 高考数学（理科）知识点总结 1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元 素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能 构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10.如何求复合函数的定义域？ 义域是 _。 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称； 13. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……） { } { } { }如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C= = = = = =| lg | lg ( , )| lg 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。∅ { } { }如：集合 ，A x x x B x ax= − − = = =| |2 2 3 0 1 若 ，则实数 的值构成的集合为B A a⊂ （答： ， ， ）− 1 0 1 3 { }（ ）集合 ， ，……， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a an n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B   = =， ( )），， ·∴，∵ ·∴，∵（ 2593 51 05 555 03 533 2 2     ∈⇒ ≥− −∉ <− −∈ a a aM a aM 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ，“且” 和( ) ( )∨ ∧ “非”( ).¬ 若 为真，当且仅当 、 均为真p q p q∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若 qpqp ∨ 若 为真，当且仅当 为假¬p p [ ]如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F(x f x f x( ) ) ( ) ( )> − > = + −0 [ ]（答： ， ）a a− [ ] （内层）（外层） ，则，（ )()()( xfyxuufy ϕϕ === u O 1 2 x 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a 的最大值为 3） 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数 与奇函数的乘积是奇函数。 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ 函数，T 是一个周期。） 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ ( )在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x'( ) ( )≥ 0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若 呢？f x'( ) ≤ 0 [ )如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f x x ax a> = − + ∞0 13( ) 由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) [ )1 3 1 3+ ∞ ≤ ≤ 若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( )− = − ⇔ ⇔ 若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( )− = ⇔ ⇔ f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称− f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称− f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称− − f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称− =1 f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2 − = f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称− −2 0 将 图象 左移 个单位 右移 个单位 y f x a a a a y f x a y f x a = > → > = + = −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 上移 个单位 下移 个单位 b b b b y f x a b y f x a b ( ) ( ) ( ) ( ) > → > = + + = + − 0 0 注意如下“翻折”变换： 19.你熟练掌握常用函数的图象和性 质了吗？ 的双曲线。 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 又如：若 f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)， 则，f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形） = -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)] =-f(-x+2b) (恒等变形） = -f[b+(-x+b)] (恒等变形） =-f[b-(-x+b)] [ f(b+x)=f(b-x)] =-f(x) 2a-2b 为半周期 由图象记性质！ （注意底数的限定！） ( )（ ）一次函数：1 0y kx b k= + ≠ ( ) ( )（ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y k x k y b k x a k O a b= ≠ = + − ≠ '( ) ( )（ ）二次函数 图象为抛物线3 0 2 4 4 2 2 2 y ax bx c a a x b a ac b a = + + ≠ = +    + − 如：二次方程 的两根都大于ax bx c k b a k f k 2 0 0 2 0 + + = ⇔ ≥ − > >       ∆ ( ) y y=log2x O 1 x (k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0 log log log log loga a a a n a M N M N M n M= − =， 1 （ ） ， 满足 ，证明 是偶函数。2 x R f x f xy f x f y f x∈ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 又如：求函数 的定义域和值域。y x= − −   1 2 2cos π （∵ ）1 2 2 1 2 0− −    = − ≥cos sin π x x y O x − k k O R 1 弧度 R y T A x α B S O M P 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ （x，y）作图象。 27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一 个 三 角 函数值，再判定角的范围。 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ ∴ ，如图：sin x ≤ 2 2 ( )y x k k k Z= − +    ∈sin 的增区间为 ，2 2 2 2 π π π π ( )减区间为 ，2 2 2 3 2k k k Zπ π π π+ +    ∈ ( ) ( )图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Zπ π π 0 2 = + ∈ [ ] ( )y x k k k Z= + ∈cos 的增区间为 ，2 2π π π [ ] ( )减区间为 ，2 2 2k k k Zπ π π π+ + ∈ ( )图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Zπ π π+    = ∈ 2 0 y x k k k Z= − +    ∈tan 的增区间为 ，π π π π 2 2 ( ) ( )[ ]26. y = Asin x +正弦型函数 的图象和性质要熟记。 或ω ϕ ω ϕy A x= +cos （ ）振幅 ，周期1 2| | | |A T = π ω ( )若 ，则 为对称轴。f x A x x0 0= ± = ( ) ( )若 ，则 ， 为对称点，反之也对。f x x0 00 0= （ ）五点作图：令 依次为 ， ， ， ， ，求出 与 ，依点2 0 2 3 2 2ω ϕ π π π πx x y+ （ ）根据图象求解析式。（求 、 、 值）3 A ω ϕ 解条件组求 、 值ω ϕ ( )∆正切型函数 ，y A x T= + =tan | | ω ϕ π ω y x O− π 2 π 2 π y tgx= 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式： 图象？ 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ “奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。 A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系： 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分 母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法： （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （ ）点 （ ， ） ， 平移至 （ ， ），则1 P x y a h k P x y x x h y y k →= → = + = +    ( ) ' ' ' ' ' （ ）曲线 ， 沿向量 ， 平移后的方程为 ，2 0 0f x y a h k f x h y k( ) ( ) ( )= = − − = → 如：函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的y x y x= −    − =2 2 4 1sin sin π “ · ”化为 的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k π α α 2 ± ( )如： cos tan sin9 4 7 6 21 π π π+ −    + = 又如：函数 ，则 的值为y y= + + sin tan cos cot α α α α ( )（ ）角的变换：如 ， ……1 2 2 2 β α β α α β α β α β= + − + = −    − −    （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 33. 用 反 三 角 函 数 表 示 角 时 要 注 意 角 的 范 围 。 34. 不等式的性质有哪些？ 答案：C 35. 利用均值不等式： 值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论： ( ) ( )如：已知 ， ，求 的值。sin cos cos tan tan α α α α β β α 1 2 1 2 3 2− = − = − − （由已知得： ，∴sin cos sin cos sin tan α α α α α α 2 2 1 1 22 = = = ( ) ( )[ ] ( ) ( )∴ · · ）tan tan tan tan tan tan β α β α α β α α β α α− = − − = − − + − = − + =2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 8 正弦定理： a A b B c C R a R A b R B c R Csin sin sin sin sin sin = = = ⇔ = = =    2 2 2 2 （ ）求角 ；1 C ( )（（ ）由已知式得：1 1 2 1 12− + + − =cos cosA B C （ ）由正弦定理及 得：2 1 2 2 2 2a b c= + [ ]反正弦： ， ， ，arcsin x x∈ −    ∈ −π π 2 2 1 1 [ ] [ ]反余弦： ， ， ，arccosx x∈ ∈ −0 1 1π ( )反正切： ， ，arctan x x R∈ −    ∈π π 2 2 ( )a b ab a b R a b ab ab a b2 2 2 2 2 2 + ≥ ∈ + ≥ ≤ +   +， ； ； 求最值时，你是否注 意到“ ， ”且“等号成立”时的条件，积 或和 其中之一为定a b R ab a b∈ ++ ( ) ( ) 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 （移项通分， 分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 证明： （按不等号方向放缩） 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 43. 等差数列的定义与性质 当且仅当 时等号成立。a b= 如：若 ， 的最大值为x x x > − −0 2 3 4 当且仅当 ，又 ，∴ 时， ）3 4 0 2 3 3 2 4 3x x x x y= > = = −max （∵ ，∴最小值为 ）2 2 2 2 2 2 2 22 2 1x y x y+ ≥ =+ ）…… 2121 1 1 3 1 2 1 2 111 <−=−−++−+−+= nnn ( )37 0. ( ) ( ) 解分式不等式 的一般步骤是什么？f x g x a a> ≠ 例如：解不等式| |x x− − + <3 1 1 （解集为 ）x x| >  1 2 41. | | | | | | | | | |会用不等式 证明较简单的不等问题a b a b a b− ≤ ± ≤ + 如：设 ，实数 满足f x x x a x a( ) | |= − + − <2 13 1 1|||||1||1|||)1||(|)1)((| ++≤−+<−+−=<−−+−= axaxaxaxaxaxax  如： 恒成立 的最小值a f x a f x< ⇔ <( ) ( ) a f x a f x> ⇔ >( ) ( )恒成立 的最大值 a f x a f x> ⇔ >( ) ( )能成立 的最小值 例如：对于一切实数 ，若 恒成立，则 的取值范围是x x x a a− + + >3 2 （设 ，它表示数轴上到两定点 和 距离之和u x x= − + + −3 2 2 3 ( )定义： 为常数 ，a a d d a a n dn n n+ − = = + −1 1 1( ) 等差中项： ， ， 成等差数列x A y A x y⇔ = +2 ( ) ( ) 前 项和n S a a n na n n dn n= + = + −1 12 1 2 { }性质： 是等差数列a n { } { } { }（ ）数列 ， ， 仍为等差数列；2 2 1 2a a ka bn n n− + 0 的二次函数） 项，即： 44. 等比数列的定义与性质 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法 解： ［练习］ （2）叠乘法 解： （3）等差型递推公式 （ ）若三个数成等差数列，可设为 ， ， ；3 a d a a d− + （ ）若 ， 是等差数列 ， 为前 项和，则 ；4 2 1 2 1 a b S T n a b S Tn n n n m m m m = − − { }（ ） 为等差数列 （ ， 为常数，是关于 的常数项为5 2a S an bn a b nn n⇔ = + { }S S an bn an n n的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界= +2 当 ， ，解不等式组 可得 达到最大值时的 值。a d a a S nn n n1 1 0 0 0 0 > < ≥ ≤    + 当 ， ，由 可得 达到最小值时的 值。a d a a S nn n n1 1 0 0 0 0 < > ≤ ≥    + { }如：等差数列 ， ， ， ，则a S a a a S nn n n n n= + + = = =− −18 3 11 2 3 等比中项： 、 、 成等比数列 ，或x G y G xy G xy⇒ = = ±2 ( )前 项和： （要注意 ）n S na q a q q qn n= = − − ≠    1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ! { }性质： 是等比数列a n （ ） ， ， ……仍为等比数列2 2 3 2S S S S Sn n n n n− − 45. 由 求 时应注意什么？S an n （ 时， ， 时， ）n a S n a S Sn n n= = ≥ = − −1 21 1 1 { }如： 满足 ……a a a a nn n n 1 2 1 2 1 2 2 5 11 2 2+ + + = + < > n a a a nn n≥ + + + = − + < >− −2 1 2 1 2 1 2 2 1 5 21 2 2 1 1时， …… { }数列 满足 ， ，求a S S a a an n n n n+ = =+ +1 1 1 5 3 4 （注意到 代入得：a S S S Sn n n n n + + += − =1 1 1 4 { }又 ，∴ 是等比数列，S S Sn n n 1 4 4= = n a S Sn n n n≥ = − = =− −2 3 41 1时， …… · { }例如：数列 中， ， ，求a a a a n n an n n n1 13 1 = = + + 由 ， ，求 ，用迭加法a a f n a a an n n− = =−1 1 0( ) ［练习］ （4）等比型递推公式 ［练习］ （5）倒数法 47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 解： ［练习］ （2）错位相减法： （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 n a a f a a f a a f nn n ≥ − = − = − =       − 2 2 3 2 1 3 2 1 时， …… …… 两边相加，得： ( ) ( ) ( ) { } ( )数列 ， ， ，求a a a a n an n n n n1 1 11 3 2= = + ≥− − ( )a ca d c d c c dn n= + ≠ ≠ ≠−1 0 1 0、 为常数， ， ， ( )可转化为等比数列，设a x c a xn n+ = +−1 ∴ 是首项为 ， 为公比的等比数列a d c a d c cn + −   + −1 11 { }数列 满足 ， ，求a a a a an n n n1 19 3 4= + =+ （ ）a n n = −    + − 8 4 3 1 1 例如： ， ，求a a a a an n n n1 11 2 2 = = ++ 由已知得： 1 2 2 1 2 1 1a a a an n n n+ = + = + ∴      =1 1 1 1 21a an 为等差数列， ，公差为 { }如： 是公差为 的等差数列，求a d a an k kk n 1 11 += ∑ 求和： …… ……1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 + + + + + + + + + + + n { } { } { }若 为等差数列， 为等比数列，求数列 （差比数列）前 项a b a b nn n n n { }和，可由 求 ，其中 为 的公比。S qS S q bn n n n− ［练习］ 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？ △零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为： △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类） 若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去， 第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还 x 元，满足 p——贷款数，r——利率，n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （ 2 ） 排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 （ 3 ） 组 合 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 并 组 成 一 组 ， 叫 做 从 n 个 不 50. 解排列与组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可 采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类： （2）中间两个分数相等 相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种，∴有 10 种。 ∴共有 5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理 S a a a a S a a a a n n n n n n = + + + + = + + + +    − − 1 2 1 1 2 1 …… …… 相加 （由f x f x x x x x x x x( ) +     = + +     +     = + + + =1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ∴原式 = + +        + +        + +       f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 （ 为各类办法中的方法数）mi 分步计数原理： · ……N m m mn= 1 2 （ 为各步骤中的方法数）mi 列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n m . 规定：Cn 0 1= （ ）组合数性质：4 （ ）中间两个分数不相等，1 Cn r 为二项式系数（区别于该项的系数） 性质： （3）最值：n 为偶数时，n＋1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 表示） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？ 的 和 （并）。 （5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。 （6）对立事件（互逆事件）： （7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 （5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。 ( )（ ）对称性： ， ， ，……，1 0 1 2C C r nn r n n r= =− （ ）系数和： …2 C C Cn n n n n0 1 2+ + + = n C n nn n 2 1 12+    +项，二项式系数为 ； 为奇数时， 为偶数，中间两项的二项式( ) 系数最大即第 项及第 项，其二项式系数为n n C Cn n n n+ + + = − +1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( )如：在二项式 的展开式中，系数最小的项系数为 （用数字x −1 11 ∴共有 项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 或第 项12 12 2 6 7= 由 ，∴取 即第 项系数为负值为最小：C x rr r r 11 11 1 5 6− − =( ) ( ) ( )又如： …… ，则1 2 2004 0 1 2 2 2004 2004− = + + + + ∈x a a x a x a x x R ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a0 1 0 2 0 3 0 2004+ + + + + + + + =…… （用数字作答） 令 ，得： ……x a a a= + + + =1 10 2 2004 ( )∴原式 …… ）= + + + + = × + =2003 2003 1 1 20040 0 1 2004a a a a （ ）必然事件 ， ，不可能事件 ，1 1 0Ω ΩP P( = =) ( )φ φ （ ）包含关系： ，“ 发生必导致 发生”称 包含 。2 A B A B B A⊂ （ ）事件的和（并）： 或 “ 与 至少有一个发生”叫做 与3 A B A B A B A B+  （ ）事件的积（交）： · 或 “ 与 同时发生”叫做 与 的积。4 A B A B A B A B “ 不发生”叫做 发生的对立（逆）事件，A A A A A A A = =Ω， φ A B A B A B A B与 独立， 与 ， 与 ， 与 也相互独立。 P A A m n( ) = =包含的等可能结果 一次试验的等可能结果的总数 ( )（ ）若 、 互斥，则2 A B P A B P A P B+ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( )（ ）若 、 相互独立，则 · ·3 A B P A B P A P B= （ ）4 1P A P A( ) ( )= − A B （1）从中任取 2 件都是次品； （2）从中任取 5 件恰有 2 件次品； （3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品； 解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴n＝103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品” （4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序） 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。 54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取； 系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按 比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法： （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。 如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6 ）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量 与任意向量平行。 （7）向量的加、减法如图： （ 8 ） 平 面 向 量 基 本 定 理 （ 向 量 的 分 解 定 理 ） 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 表示。 ∴ · ·P C 3 3 2 2 3 3 4 6 4 10 44 125 = + = 其中，频率 小长方形的面积 组距× 频率 组距 = = ( )样本平均值： ……x n x x x n= + + +1 1 2 ( ) ( ) ( )[ ]样本方差： ……S n x x x x x xn 2 1 2 2 2 21= − + − + + − （ ）向量的模——有向线段的长度，2 | |a → （ ）单位向量 ，3 10 0| | | | a a a a → → → →= = （ ）零向量 ，4 0 0 0 → → =| | （ ）相等的向量 长度相等 方向相同5 ⇔    = → → a b b a b b a → → → → → → ≠ ⇔ =∥ 存在唯一实数 ，使( )0 λ λ i j x y → → ， 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 ， ，使得 ( )a x i y j x y a a x y → → → → → = + =，称 ， 为向量 的坐标，记作： ， ，即为向量的坐标( ) 57. 平面向量的数量积 数量积的几何意义： （ 2 ） 数 量 积 的 运 算 法 则 ［练习］ 答案： 答案：2 答案： 58. 线段的定比分点 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线 面 平 行 的 判 定 ： 线面平行的性质： 三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： （ ） · · 叫做向量 与 的数量积（或内积）。1 a b a b a b → → → → → → =| | | |cosθ a b a b a b → → → → → · 等于 与 在 的方向上的射影 的乘积。| | | |cosθ 注意：数量积不满足结合律 · · · ·( ) ( )a b c a b c → → → → → → ≠ ( ) ( )（ ）重要性质：设 ， ， ，3 1 1 2 2a x y b x y → → = = ② ∥ · · 或 · ·a b a b a b a b a b → → → → → → → → → → ⇔ = = −| | | | | | | | ⇔ = ≠ → → → a b bλ λ（ ， 惟一确定）0 （ ）已知正方形 ，边长为 ， ， ， ，则1 1ABCD AB a BC b AC c → = → = → = → → → ( ) ( )（ ）若向量 ， ， ， ，当 时 与 共线且方向相同2 1 4a x b x x a b → → → → = = = （ ）已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么3 60 3a b a bo → → → → + =| | ( ) ( ) ( )设 ， ， ， ，分点 ， ，设 、 是直线 上两点， 点在P x y P x y P x y P P P1 1 1 2 2 2 1 2 l l 上且不同于 、 ，若存在一实数 ，使 ，则 叫做 分有向线段P P P P PP P1 2 1 2λ λ λ → = → P P P P P P P P1 2 1 2 1 20 0 → > <所成的比（ ， 在线段 内， ， 在 外），且λ λ ( ) ( ) ( )如： ， ， ， ， ， ，∆ABC A x y B x y C x y1 1 2 2 3 3 则 重心 的坐标是 ，∆ABC G x x x y y y1 2 3 1 2 3 3 3 + + + +    线∥线 线∥面 面∥面 判定 线⊥线 线⊥面 面⊥面 性质 线∥线 线⊥面 面∥面 ← → ← →  → ← → ← → ←  ← → ← → a b b a a∥ ， 面 ， ∥面⊂ ⊄ ⇒α α α PA AO PO⊥面 ， 为 在 内射影， 面 ，则α α αa ⊂ B b O θ D A a a b α α a P O 面面垂直： 60. 三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° （三垂 线定理法：A∈α作或证 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱 于 O，连 AO，则 AO⊥棱 l，∴∠AOB 为所求。） 三类 角的求法： ①找出 或作出有关的角。 ②证明 其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］ （1）如图，OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影，OC 为α内过 O 点任一直线。 （2）如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1＝8，BD1 与侧面 B1BCC1 所成 的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角的正弦； ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角； ③求二面角 C1—BD1—B1 的正弦。 （3）如图 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面 ABCD，且 PD＝AD，求面 PAB 与 面 PCD 所成的锐二面角的大小。 （∵AB∥DC，P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点，作 PF∥AB，则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线……） 61. 空间有几种距离？如何求距离？ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三 垂线定理法，或者用等积转化法）。 如：正方形 ABCD—A1B1C1D1 中，棱长为 a，则： （1）点 C 到面 AB1C1 的距离为___________； a a⊥面 ， 面 ⊥α β β α⊂ ⇒ 面 ⊥面 ， ， ， ⊥ ⊥α β α β α β = ⊂ ⇒l la a a a b a b⊥面 ， ⊥面 ∥α α ⇒ 面 ⊥ ，面 ⊥ ∥α β α βa a ⇒ （ ）二面角：二面角 的平面角 ，3 0 180α β θ θ− − < ≤l o o （ 为线面成角，∠ ，∠ ）θ γ βAOC = BOC = ）；③；②（① 3 6604 3 o α a l β a O α b c A O B γ C D α θ β D1 C1 A1 B1 H G D C A B P F D C A E B （2）点 B 到面 ACB1 的距离为____________； （3）直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________； （4）面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________； （5）点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： 它们各包含哪 些元素？ 63. 球有哪些性质？ （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R：r＝3：1。 积为（ ） 答案：A 64. 熟 记 下 列 公 式 了 吗 ？ （ 2 ） 直 线 方 程 ： 65. 如何判断两直线平行、垂直？ 66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎 样 判 断 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 ？ 68. 分清圆锥曲线的定义 Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE∆ ∆ ∆ ∆， ， 和 S C h C h正棱锥侧 · （ ——底面周长， 为斜高）= 1 2 ' ' V锥 底面积×高= 1 3 （ ）球心和截面圆心的连线垂直于截面1 2 2r R d= − （ ） ，球 球4 4 4 3 2 3S R V R= =π π 如：一正四面体的棱长均为 ，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2 A B C D. . . .3 4 3 3 6π π π π [ )（ ） 直线的倾斜角 ， ， ，1 0 2 2 1 2 1 1 2l α π α α π∈ = = − − ≠ ≠   k y y x x x xtan ( ) ( ) ( )P x y P x y a k1 1 1 2 2 2 1， ， ， 是 上两点，直线 的方向向量 ，l l → = ( )点斜式： （ 存在）y y k x x k− = −0 0 斜截式：y kx b= + 截距式： x a y b + = 1 一般式： （ 、 不同时为零）Ax By C A B+ + = 0 ( )（ ）点 ， 到直线 ： 的距离3 00 0 0 0 2 2 P x y Ax By C d Ax By C A B l + + = = + + + （ ） 到 的到角公式：4 11 2 2 1 1 2 l l tanθ = − − k k k k l l1 2 2 1 1 21 与 的夹角公式： tanθ = − − k k k k A B A B A C A C 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 = ≠    ⇔ l l∥ k k l1 2 1 2= ⇒ l ∥ （反之不一定成立） A A B B1 2 1 2 1 20+ = ⇔ l l⊥ 联立方程组 关于 （或 ）的一元二次方程 “ ” 相交； 相切； 相离 ⇒ ⇒ > ⇔ = ⇔ < ⇔ x y ∆ ∆ ∆ ∆0 0 0 第一定义 椭圆 ， 双曲线 ， 抛物线 ⇔ + = > = ⇔ − = < = ⇔ =      PF PF a a c F F PF PF a a c F F PF PK 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 第二定义：e PF PK c a = = D C A B D1 C1 A1 B1 y b O F1 F2 a x x a c = 2 F k e>1 e=1 0 ⇔ = ⇔e e e椭圆； 双曲线； 抛物线 ( )69 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2. 与双曲线 有相同焦点的双曲线系为x a y b x a y b − = − = ≠λ λ ( ) ( )[ ]弦长公式 P P k x x x x1 2 2 1 2 2 1 21 4= + + − ( )[ ]= +    + −1 1 42 1 2 2 1 2k y y y y 如：椭圆 与直线 交于 、 两点，原点与 中点连mx ny y x M N MN2 2 1 1+ = = − 线的斜率为 ，则 的值为2 2 m n （由 ， ， ）a x x b y y x a x y b y= + = + ⇒ = − = −' ' ' '2 2 2 2 ( )只要证明 ， 也在曲线 上，即A a x b y C f x y' ( ') '2 2− − = （ ）点 、 关于直线 对称 ⊥ 中点在 上2 A A AA AA ' ' ' l l l ⇔    ⇔ = −   k k AA AA' ' · 中点坐标满足 方程 l l 1 74 2 2 2. cos sin 圆 的参数方程为 （ 为参数）x y r x r y r + = = =    θ θ θ 椭圆 的参数方程为 （ 为参数）x a y b x a y b 2 2 2 2 1+ = = =    cos sin θ θ θ y P(x0,y0) K F1 O F2 x l y A P2 O F x P1 B