6年高考4年导数及其应用 90页

第三章 导数及其应用 ‎2.（2010辽宁文）（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ‎ (A)[0,) (B) （C） (D) ‎ 答案 D 解析：选D.，，‎ 即，‎ ‎4.（2010全国卷2文）（7）若曲线在点处的切线方程是，则 ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ‎∵ ，∴ ，在切线，∴ ‎ ‎6.（2010江苏卷）14、将边长为‎1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。‎ ‎【解析】 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。‎ 设剪成的小正三角形的边长为，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值。‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，递减；当时，递增；‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值。‎ 令，则：‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎7.（2010湖南文）21．（本小题满分13分）‎ 已知函数其中a<0,且a≠-1.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎10.（2010陕西文）21、(本小题满分14分)‎ 已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。‎ （1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；‎ （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；‎ （3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.‎ 解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),‎ 由已知得 =alnx，‎ ‎=， 解德a=,x=e2,‎ 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,‎ 切线的方程为y-e=(x- e2). ‎ ‎（2）由条件知 Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,‎ 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；‎ 当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。‎ 所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。‎ 所以Φ （a）=h()= ‎2a-aln=2‎ Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2‎-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。‎ 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为‎2a(1-ln‎2a) (a>o)‎ ‎（3）由（2）知Φ （a）=‎2a(1-ln‎2a) ‎ 则 Φ 1（a ）=-2ln‎2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2‎ 当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。‎ 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1‎ 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1‎ ‎11.（2010辽宁文）（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：对任意，.‎ 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.‎ 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；‎ 当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；‎ 当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；‎ x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.‎ ‎(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.‎ 所以等价于 ‎≥4x1－4x2,‎ 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.‎ 令g(x)=f(x)+4x,则 ‎+4‎ ‎＝. ‎ 于是≤＝≤0.‎ 从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，‎ 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，‎ ‎.　　‎ ‎13.（2010全国卷2文）（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。‎ ‎（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；‎ ‎（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。‎ ‎【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。‎ ‎（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。‎ ‎（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。‎ ‎15.（2010安徽文）20.（本小题满分12分）‎ 设函数，，求函数的单调区间与极值。‎ ‎【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.‎ ‎【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.‎ ‎【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.‎ ‎16.（2010重庆文）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)‎ 已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.‎ ‎(Ⅰ)求的表达式;‎ ‎(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.‎ ‎17.（2010浙江文）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）0. ‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.‎ ‎（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.‎ ‎（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论：‎ （1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 ‎ 当等价于 ‎ 解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即 解不等式组得或.因此20，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数，‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ ‎【解析】 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ ‎2009年高考题 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ( )‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ 答案 D 解析 ,令,解得,故选D ‎2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( ) ‎ A.1 B. ‎2 C.-1 D.-2‎ 答案 B 解:设切点，则,又 ‎.故答案 选B ‎ ‎3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线 在点处的切线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 A 解析 由得几何，‎ 即，∴∴，∴切线方程，即选A ‎4.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( ) ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 答案 A 解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或，‎ 当时，由与相切可得，‎ 当时，由与相切可得，所以选.‎ ‎5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( )‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案 A 解析 由已知，而，所以故选A 力。‎ ‎6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B 解 ,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，‎ 则函数在区间上的图象可能是 ( )‎ y a b a b a o x o x y b a o x y o x y b A ． B． C． D．‎ 解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.‎ ‎8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )‎ A. B‎.3 C. D.4‎ 答案 C 解析 由题意 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即2‎ ‎ 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)‎ ‎ ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2‎ ‎9.（2009天津卷理）设函数则 ( )‎ A在区间内均有零点。 ‎ B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。 ‎ ‎【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。‎ 解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间 为增函数，在点处有极小值；又 ‎，故选择D。‎ 二、填空题 ‎10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 ‎ 解析 f’(x)＝‎ ‎ f’(1)＝＝‎0 Þ a＝3‎ 答案 3‎ ‎11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .‎ 解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。‎ 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 ‎12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . ‎ 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . ‎ 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ‎ ‎，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）‎ 答案 : ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.‎ ‎14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ 答案 ‎ ‎ 解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，‎ 所以。‎ ‎15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . ‎ 答案 -2‎ ‎16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ‎①设是平面上的线性变换，，则 ‎ ‎②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎③对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。‎ 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）‎ 答案 ①③④‎ 解析 ①：令，则故①是真命题 同理，④：令，则故④是真命题 ‎③：∵，则有 是线性变换，故③是真命题 ‎②：由，则有 ‎∵是单位向量，≠0，故②是假命题 ‎【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，‎ 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。‎ ‎17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。‎ 答案 ‎ 解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 三、解答题 ‎18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数在两个极值点，且 ‎（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；‎ ‎(II)证明：‎ 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是 满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解析 由题意有．．．．．．．．．．．．①‎ 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ 消去可得．‎ 又，且 ‎ ‎19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．‎ ‎ （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；‎ ‎ （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ 解析 （Ⅰ）由题意得 ‎ 又 ，解得，或 ‎ （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 ‎ 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 ‎ 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎ ， 即：‎ ‎ 整理得：，解得 ‎20.（2009北京文）（本小题共14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、‎ 解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎∵曲线在点处与直线相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ ‎21.（2009北京理）（本小题共13分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎ 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ ‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数,其中 ‎ ‎（1）当满足什么条件时,取得极值?‎ ‎（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.‎ 解: (1)由已知得,令,得,‎ 要取得极值,方程必须有解,‎ 所以△,即, 此时方程的根为 ‎,,‎ 所以 ‎ 当时,‎ x ‎(-∞,x1)‎ x 1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f’(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f (x)‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 当时, ‎ x ‎(-∞,x2)‎ x 2‎ ‎(x2,x1)‎ x1‎ ‎(x1,+∞)‎ f’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f (x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 综上,当满足时, 取得极值. ‎ ‎(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.‎ 即恒成立, 所以 设,,‎ 令得或(舍去), ‎ 当时,,当时,单调增函数;‎ 当时,单调减函数,‎ 所以当时,取得最大,最大值为.‎ 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时, ; 当时, ‎ ‎【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.‎ ‎22.设函数，其中常数a>1‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。 ‎ 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。‎ 解析 （I） ‎ ‎ 由知，当时，，故在区间是增函数；‎ 当时，，故在区间是减函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是增函数。‎ ‎ 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。‎ ‎ （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。‎ 由假设知 ‎ ‎ 即 解得 11时, ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎ 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。‎ 观察的图象，有如下现象：‎ ‎①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；‎ ‎③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；‎ 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 ‎ 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在 上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。‎ 当时，.‎ 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 ‎ 综上，t的最小值为2.‎ ‎（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）‎ 设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。‎ ‎(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；‎ ‎(1)证明：当 ‎ 解析 （Ⅰ）.有条件知，‎ ‎，故. ………2分 于是.‎ 故当时，＜0； ‎ 当时，＞0.‎ 从而在，单调减少，在单调增加. ………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，‎ 最小值为. ‎ 从而对任意，，有. ………10分 ‎ 而当时，.‎ ‎ 从而 ………12分 ‎37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ 解析 (1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎（i）若即,则 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 则 由于11,证明对任意的c,都有M>2: ‎ ‎ (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。‎ 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）‎ ‎（I）解析 ，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值；‎ 若，则 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。‎ ‎（Ⅱ）证法1：‎ 当时，函数的对称轴位于区间之外。‎ 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，‎ 在上的最值在两端点处取得。‎ 故应是和中较大的一个 假设，则 ‎ ‎ 将上述两式相加得：‎ ‎，导致矛盾，‎ ‎（Ⅲ）解法1：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；‎ ‎（2）当时，函数）的对称轴位于区间内， ‎ 此时 由有 ‎①若则，‎ 于是 ‎②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。 ‎ 解法2：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知； ‎ ‎（2）当时，函数的对称轴位于区间内，‎ 此时 ‎ ‎ ‎，即 下同解法1‎ ‎43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ (1) 设，求函数的极值；‎ (2) 若，且当时，‎12a恒成立，试确定的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 ‎ ‎（21）解析 ‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 ‎ ‎ 令 ‎ 列表讨论的变化情况：‎ ‎（-1，3）‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以，的极大值是，极小值是 ‎（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.‎ 若上是增函数，从而 ‎ 上的最小值是最大值是 由于是有 ‎ 由 所以 ‎ 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 ‎ ‎44.（2009天津卷理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 ‎(1)当时，求曲线处的切线的斜率； ‎ ‎(2)当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解析 ‎ ‎（II） ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎45.（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（II）若 ‎（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解析 （Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00,‎ ‎1036时，V′>0,‎ 所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分 第二部分 四年联考汇编 ‎2010年联考题 题组二（5月份更新）‎ 一、选择题 ‎1.（安徽两地三校国庆联考）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ 答案 B ‎2．（肥城市第二次联考）如下图，已知记则当的大致图象为（ ）.‎ 答案A y o x D y o x y o x C y o x B C 解析：，由可知选C。‎ ‎3. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确结论的序号是（　 ）‎ A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)‎ 答案C ‎ 二、填空题 ‎4.（岳野两校联考）曲线上一点到直线的距离的最小值为 . ‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎5.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）已知函数． ‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）当时，若，均有，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，，且，‎ 试比较与的大小．‎ 解：由题意， ………………………………………2分 ‎（1）当时，‎ 由得，解得，函数的单调增区间是；‎ 由得，解得，函数的单调增区间是 ‎∴当时，函数有极小值为．………6分 ‎（2）当时，由于，均有，‎ 即，恒成立，‎ ‎∴，， ……………………………………………………8分 由（1），函数极小值即为最小值，‎ ‎∴，解得．………………………………10分 ‎（3），‎ ‎∵且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，……………………………………………12分 又，∴，‎ ‎∴，即．…………14分 ‎6. （安徽两地三校国庆联考）（本小题满分14分）．‎ 已知奇函数是定义在上的增函数 ‎（1）求b的取值范围；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数t的取值范围。‎ 解：（1）是奇函数，所以，‎ ‎∴‎ 又在上是增函数，所以，在上横为正值，‎ ‎∴。‎ ‎（2）要使对恒成立，由于在上是增函数，‎ 在上的最大值为，所以，只需，‎ 对任意恒成立，因此只要 ‎7.（岳野两校联考）（本小题满分12分） 对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。‎ ‎（1）己知， 求函数的“拐点”的坐标；‎ ‎（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;‎ ‎（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。‎ 解：（1）依题意，得： ，。……………2分 ‎ 由 ，即。∴，又 ，‎ ‎ ∴的“拐点”坐标是。 ……………………4分 ‎ ‎ （2）由(1)知“拐点”坐标是。 而 ‎=‎ ‎ ==，‎ 由定义(2)知：关于点对称。 ……………………9分 ‎（3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。 ……………12分 或者：任何一个三次函数都有拐点； ‎ ‎ 任何一个三次函数都有对称中心；‎ 任何一个三次函数平移后可以是奇函数 ………都可以给分 ‎8.（安徽两地三校国庆联考）（本小题满分14分）‎ 函数 ‎（1）若是增函数，求a的取值范围;‎ ‎（2）求上的最大值.‎ 解：（1）‎ 综上，a的取值范围是 ‎（2）①‎ ‎②当 ‎20090423‎ ‎9．（池州市七校元旦调研）（本题满分14分）已知函数，，‎ 其中． ‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ ‎.解：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 ‎ ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以； ‎ ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=，（ⅰ）当时，在上，‎ 单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．‎ 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）函数在上是（ ）. ‎ A．单调增函数 B．单调减函数 C．在上单调递增，在上单调递减；‎ D．在上单调递减，在上单调递增.‎ 答案 D ‎ ‎2.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎ ‎3.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）已知函数（a为常数），在区间上有最大值20，那么此函数在区间上的最小值为（ ）‎ A． 　 B． 　 C． 　 　D． ‎ 答案 B ‎4.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）设，若函数，‎ 有大于零的极值点，则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案 B ‎5.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）设的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ 答案 D ‎ 二、填空题 ‎6.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是________. ‎ 答案 ‎ ‎7.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）给出下列命题：①函数的图象与函数的图象一定不会重合；‎ ‎②函数的单调区间为；‎ ‎③；‎ ‎④双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是．‎ 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．‎ 答案 ③ ‎ ‎8.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）已知函数则=_______________.‎ 答案 1-cos1 ‎ ‎9.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣）由曲线围成图形的面积为 。‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎1.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）已知函数 ‎，若的单调减区间恰为（0，4）。‎ ‎（I）求的值：‎ ‎ （Ⅱ）若对任意的，关于的方程总有实数解，求实数的取值范围。‎ 解：（1）‎ ‎ 又 ‎ （Ⅱ）时时 ‎ 且 8分 ‎ 解得 ‎2.（2009天津六校联考）已知函数 ‎（1）若 时，函数 在其定义域内是增函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的结论下，设函数 ，求函数的最 ‎3.（2009汉沽一中第六次月考）已知，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：在上是减函数；‎ ‎（Ⅱ）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当时， ‎ ‎∵ ‎ ‎ ‎ ‎∴在上是减函数 ‎ ‎（Ⅱ）∵不等式恒成立 即不等式恒成立 ‎∴不等式恒成立 ‎ 当时， 不恒成立 ‎ 当时，不等式恒成立 ‎ 即 ‎∴ ‎ 当时，不等式不恒成立 综上所述，的取值范围是 ‎ ‎4.（2009和平区一模）已知函数 ‎(Ⅰ)求的值域；‎ ‎(Ⅱ)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎ 令，得或． ‎ ‎ 当时，在上单调递增；‎ ‎ 当时，在上单调递减，‎ ‎ 而，‎ ‎ 当时，的值域是． ‎ ‎(Ⅱ)设函数在上的值域是A，‎ 若对任意．总存在1,使，‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎①当时，，‎ ‎ 函数在上单调递减．‎ ‎ ，‎ · 当时，不满足； ‎ ‎②当时，，‎ 令，得或(舍去) ‎ ‎（i）时，的变化如下表：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎．‎ ‎，解得． ‎ ‎(ii)当时，‎ ‎ 函数在上单调递减．‎ ‎ ，当时，不满．‎ 综上可知，实数的取值范围是． ‎ ‎5.（2009河北区一模）已知函数 ‎（I）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；‎ ‎（Ⅱ）若上是增函数，求实数的取值范围。‎ 解：（I）‎ ‎ 有极大值点，极小值点。‎ ‎ 此时在上是减函数，在上是增函数。‎ 在上的最小值是-18，最大值是-6‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ 当时，是增函数，其最小值为 ‎ ‎ ‎ 时也符合题意，‎ ‎ ‎ ‎6.（2009河东区一模）设函数 ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若对时恒成立，求实数的取值范围 解：（1）‎ 时，取得最小值，‎ 即 ‎（2）令 由，得或（舍去）‎ ‎（0,1）‎ ‎1‎ ‎（1,2）‎ ‎0‎ 增 极大值 减 在内有最大值，‎ 对时恒成立等价于恒成立。‎ 即 ‎7.（2009厦门二中）已知函数f(x)=ln(x+)-x2-x在x = 0处取得极值．‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若关于x的方程，f(x)= 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎(3)证明：对任意的正整数n，不等式ln 都成立．‎ 解：(1) = …………………………………………………(2分)‎ ‎∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，……………………………………(3分)‎ 故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意. ………………(4分)‎ ‎ (2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)= ,‎ 得ln(x+1)-x2+ x-b=0，‎ 令φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，‎ 则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]‎ 恰有两个不同实数根．………………………………………………………(5分)‎ ‎ ，………………………………(7分)‎ 当x∈(0，1)时， >O，于是φ(x)在(0，1)上单调递增；‎ 当x∈(1，2)时， <0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．…………(8分)‎ ‎ 依题意有 ‎ ∴ln3 -1≤b -1}，………………………………(10分)‎ ‎ 由(Ⅰ)知，……………………………………………(11分)‎ ‎ 令=0得，x=0或x= -(舍去)，‎ ‎ ∴当-10，f(x)单调递增；‎ ‎ 当x>0时，<0，f(x)单调递减.‎ ‎∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值. …………………………………(12分)‎ ‎∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).…(13分)‎ 对任意正整数n，取x=>0得，ln(+1)< +，故ln()<.………(14分)‎ ‎8.（2009河西区一模）已知函数，其中实数，‎ ‎ （I）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围。‎ 解：（I）‘ ‎ 又令，得 ‎①若，则当或时。当时，‎ 在和内是增函数，在内是减函数，‎ ‎②若则当或时，当时，‎ 在和内是增函数，在内是减函数 ‎（Ⅱ）当时，在和内是增函数，故 在内是增函数。‎ 由题意得 解得 当时，在和内是增函数，在内是增函数。‎ 由题意得 解得 综上知实数的取值范围为 ‎9.（2009杭州二中第六次月考）设，记的最大值为M．‎ ‎（Ⅰ）当时,求M的值；‎ ‎（Ⅱ）当取遍所有实数时，求M的最小值．‎ ‎（以下结论可供参考：对于，有，当且仅当同号时取等号）‎ 解：(1)求导可得,‎ ‎,当时取等号 ‎ (2)，‎ 因此， 。‎ 由（1）可知，当时，。‎ ‎。‎ ‎10.（2009厦门华侨中学）设函数在及时取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，． ………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 所以，当时，取得极大值，又，．‎ 则当时，的最大值为．‎ 因为对于任意的，有恒成立，‎ 所以　，解得　或，‎ 因此的取值范围为．………………………12分 ‎11.（2009杭州高中第六次月考）已知函数f(x)= 其中a为实常数．‎ ‎ （1）设当x∈(0，1)时，函数y=f(x)的图象上任一点P处的切线的斜率为k，若,‎ ‎ 求a的取值范围；‎ ‎ （2）当x∈时，求函数y=f(x) 的最大值．‎ 解：(1) ∵k==3-2ax,x∈(0,1) -------------1分 ‎ k≥1，得3-2ax+1≥0，即a≤恒成立．-------------3分 ‎ ∴ ‎ ‎ 当且仅当x=等时取等号∴的取值范围是(-∞，) -----6分 ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 得 ‎ ∴g(x)在[-1,- ],[,1]上是增函数，在[-,]上是减函数。‎ ‎ ∴g(x)的极大值为g(-)=2,‎ ‎ ‎ ‎ 3>当a≤0时，g’(x)≥0,从而g(x)在[-1，1]上是增函数，‎ ‎ ∴‎ ‎ 综上所述， （13分）‎ ‎12.（2009杭州学军中学第七次月考）已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程 ‎（2）当时，求函数的单调区间 ‎（3）当时，若不等式恒成立，求的取值范围。‎ ‎（1）‎ 所以切线方程为 ‎（2）‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎（3）当时，‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎13.（2009嘉兴一中一模）已知函数，其中为实数．‎ ‎ (1)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．‎ ‎（1）时，，‎ ‎，，………………………2分 又 所以切线方程为………………………2分 ‎（2）1°当时，，则 令，，‎ 再令，‎ 当时，∴在上递减，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，所以在上递增，，‎ 所以……………………5分 ‎2°时，，则 由1°知当时，在上递增 当时，，‎ 所以在上递增，∴‎ ‎∴；………………………5分 由1°及2°得：………………………1分 ‎14.（2009厦门集美中学）设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。‎ 解：依题意有而 故 得 ‎ 从而。‎ 令，得或。‎ 由于在处取得极值，故，即。‎ （1） 若，即，则当时，；‎ 当时，；当时，；‎ 从而的单调增区间为；单调减区间为 （2） 若，即，同上可得，‎ 的单调增区间为；单调减区间为 ‎15.（2009金华十校3月模拟）已知，直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程及的值；‎ ‎（Ⅱ）若的导函数），求函数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较：与的大小，‎ 解：（I）依题意知：直线是函数在点（1，0）处的切线，故其斜率所以直线的方程为 又因为直线与的图像相切 所以由 得 ‎ （Ⅱ）因为所以 当时， 当时， ‎ 因此，在上单调递增，在上单调递减。‎ 因此，当时，取得最大值 ‎（Ⅲ）当时，，由（Ⅱ）知：当时，，即因此，有即 ‎16.（2009金华一中2月月考）知实数，函数．‎ ‎(Ⅰ)若函数有极大值32，求实数的值；‎ ‎(Ⅱ)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）f(x)=ax34ax2+4ax ‎ f/(x)=3ax28ax+‎4a=a(3x2)(x2)=0x=或2‎ ‎∵f(x)有极大值32，而f(2)=0 ∴f()=32=7,a=27‎ ‎（2）f/(x)=a(3x2)(x2)‎ 当a>0时，f(x)=[ 2,]上递增在[]上递减，‎ ‎ ∴0f(1)=a ∴ ∴‎ 综上 ‎17.（2009宁波十校联考）设实数，且满足 ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）设（‎ 解：（1）代入得 ‎ 设 1分 ‎ ‎ ‎ 3分 ‎ 令解得 ‎ 在上单调递减，在上单调递增。 5分 ‎ 即原式的最小值为-1 7分 ‎（2）要证即证 ‎ 即证 ‎ 即证 9分 ‎ 由已知 设 10分 ‎ 11分 ‎ ‎ ‎ 13分 ‎ 所以在上单调递减， ‎ ‎ 原不等式得证。 14分 ‎18.（2009台州市第一次调研）已知函数，点.‎ ‎（Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.‎ 解：（Ⅰ）当时 (2分)‎ 在上递增，在上递减 所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有 且，因而的取值范围是. (4分)‎ ‎（Ⅱ）当时，即 可化为，记 则 (7分)‎ 记则，‎ 在上递减，在上递增.‎ 从而上递增 因此故 (10分)‎ ‎（Ⅲ）假设⊥，即=‎ 故，‎ ‎ （12分）‎ 由，为(x)=0的两根可得，‎ 从而有 即 ≥2，这与<2矛盾.‎ 故直线与直线不可能垂直. (15分)‎ ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案 C ‎2.（2009天津重点学校二模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当 时不等式成立， 若， ‎ ‎，则的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 C ‎3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数 的导数 的图像，则 （ ）‎ A. B. C. D.或 答案 B ‎－2‎ ‎4‎ ‎4.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是 ( )‎ A.16 B.18 ‎ ‎ C.20 D.22‎ 答案 B 二、填空题 ‎－2‎ x y O ‎5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围是　 　．‎ 答案 ‎ ‎6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数 ‎(c＜0)单调递增区间是 .‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数，其中为实数.‎ ‎(Ⅰ) 若在处取得的极值为，求的值;‎ ‎（Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.‎ 解 (Ⅰ)由题设可知:‎ 且， ……………… 2分 即，解得 ……………… 4分 ‎（Ⅱ）， ……………… 5分 又在上为减函数， ‎ 对恒成立， ……………… 6分 即对恒成立.‎ 且， ……………… 10分 即，‎ 的取值范围是 ……………… 12分 ‎8.（2009厦门大同中学）设函数 ‎（1）求函数的极大值；‎ ‎（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），‎ 试确定实数a的取值范围．‎ 解 （1）∵，且，………………………………1分 当时，得；当时，得；‎ ‎∴的单调递增区间为；‎ 的单调递减区间为和．…………………………………3分 故当时，有极大值，其极大值为． …………………4分 ‎（2）∵，‎ 当时，，‎ ‎∴在区间内是单调递减．…………………………………………6分 ‎∴．‎ ‎∵，∴‎ 此时，．…………………………………………………………………………9分 当时，．‎ ‎∵，∴即 ……11分 此时，．……………………………………………………………13分 综上可知，实数的取值范围为．………………………………… 14分 ‎ 2007—2008年联考题 一、选择题 ‎1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是 （ ）w.‎ A. 5,-15 B. 5,‎-4 ‎ C. -4,-15 D. 5,-16 ‎ 答案 A ‎2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若存在，则不可 能为 （ ）‎ A．；　　　　　 Ｂ．；　　　　 Ｃ．；　　　　 　Ｄ．；‎ 答案 B ‎3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数 的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案 C ‎4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知 ( )‎ A．－4 B．‎8 ‎ C．0 D．不存在 答案 B x y x4‎ O oO ‎5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则 （ ）‎ ‎ A．函数有1个极大值点，1个极小值点 ‎ B．函数有2个极大值点，2个极小值点 C．函数有3个极大值点，1个极小值点 D．函数有1个极大值点，3个极小值点 答案 A 二、填空题 ‎6.（2008年高考数学各校月考）定积分的值是 .‎ 答案 3 ‎ ‎7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数在 x＝－1时有极值0，则m＝_________；n＝_________；‎ 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0‎ 答案 m＝2，n＝9.‎ 解析 ＝3x2＋6mx＋n 由题意，＝3－‎6m＋n＝‎0 ‎f(－1)＝－1＋‎3m－n＋m2＝0 解得或 但m＝1，n＝3时，＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立 即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去 ‎8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数的图象，‎ 为函数的导函数，则不等式的解集为______ ______．‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎9.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）‎ ‎（1）写出此函数F(x)在R上的单调区间；‎ ‎（2）若方程F(x)－m=0恰有两解，求实数m的值。‎ 解 （1）∴ ‎ 由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立 ‎∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数 在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数 ‎ （2）由（1）可知 i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，‎ 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，‎ 此时m=－1－t或m=3－t ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，‎ 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，‎ 此时m=或m=3－t ‎10.(2008年四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴 的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。‎ ‎（Ⅰ）求f(0)、f(-1)的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中 解 (1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0 ‎ ‎∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………3分 ∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 …………………3分 (2)‎ 又当时，其导函数恒成立，∴在区间上为单调递增函数 ‎∴‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，，∴；‎ ‎③当时，，∴‎ 综上所述：当时，；当时，；‎ 当时，。‎