高考数学试题分类数列极限 13页

‎4.(广东) 的值为 ( A)‎ ‎ A. –1 B.0 C. D.1 ‎ ‎17. (广东) (12分)已知成公比为2的等比数列(也成等比数列. 求的值.‎ ‎14．（辽宁）= . ‎8. （天津）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的B A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎21. （天津）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：‎ ‎ ，‎ ，其中a为常数，k为非零常数。‎ ‎（1）令，证明数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）当时，求。‎ ‎21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。‎ ‎ （1）证明：由，可得 ‎ 。‎ ‎ 由数学归纳法可证。‎ ‎ 由题设条件，当时 ‎ 因此，数列是一个公比为k的等比数列。‎ ‎（2）解：由（1）知， 当时， 当时， 。‎ 而 所以，当时 。‎ 上式对也成立。所以，数列的通项公式为 当时 。‎ 上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ，‎ ‎（2）解：当时 ‎ (3) （浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=‎ ‎ (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 ‎ ‎（22）（浙江）（本题满分14分）‎ ‎ 如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), ‎（Ⅰ）求及;‎ ‎（Ⅱ）证明 ‎ (Ⅲ)若记证明是等比数列.‎ ‎（22）（满分14分）‎ 解：(Ⅰ)因为，‎ 所以，又由题意可知 ‎∴ ‎ = ‎ = ‎ ∴为常数列。‎ ‎∴ ‎(Ⅱ)将等式两边除以2，得 又∵ ‎∴ ‎ ‎（Ⅲ）∵ ‎ = ‎ = ‎ 又∵ ‎∴是公比为的等比数列。‎ ‎ （14）（北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。‎ ‎ 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________ 3 当n为偶数时，；当n为奇数时， ‎（18）（北京）（本小题满分14分）‎ ‎ 函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。‎ ‎ （I）求及，的值，并归纳出的表达式 ‎ （II）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值 ‎ （18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎ 解：（I）由，得 ‎ 由及，得 ‎ 同理， ‎ 归纳得 ‎ （II）当时 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以是首项为，公比为的等比数列 ‎ 所以 ‎ 的定义域为1，当时取得最小值 ‎9．（福建）若(1-2x)9展开式的第3项为288，则的值是 （ ）‎ ‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎20．（福建）（本小题满分12分）‎ 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.‎ ‎（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；‎ ‎（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？‎ ‎20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；‎ Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.‎ ‎（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)‎ ‎=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].‎ 因为函数y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上为增函数，‎ 当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；‎ 当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.‎ ‎∴仅当n≥4时，Bn>An.‎ 答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.‎ ‎8．（湖北）已知数列{}的前n项和其中a、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得 （ C ）‎ ‎ A．为等差数列，{}为等比数列 ‎ B．和{}都为等差数列 ‎ C．为等差数列，{}都为等比数列 ‎ D．和{}都为等比数列 ‎22．（湖北）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知 ‎（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；‎ ‎（II）设 ‎（III）若都成立，求a的取值范围.‎ ‎22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.‎ ‎ 解：（I）由 ‎ ‎ （II） ‎ ‎ （III） ‎ ‎ （i）当n=1时结论成立（已验证）.‎ ‎ （ii）假设当 ‎ ‎ 故只须证明 ‎ ‎ 即n=k+1时结论成立.‎ ‎ 根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.‎ ‎ 故 ‎8．（湖南）数列 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎11．（湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 （ C ）‎ ‎ A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 ‎ C．4600元~4800元 D．4800元~5000元 ‎22．（湖南）（本小题满分14分）‎ 如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列 ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）比较的大小.‎ ‎22．（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得 点Qn、Pn+1的坐标分别是：‎ 由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 ‎（Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ，‎ 所以数列 是首项为公比为的等比数列.‎ 从而 ‎（Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）.‎ 所以 ‎ ‎（i）当时，>1+9=10.‎ 而此时 ‎（ii）当时，<1+9=10.‎ 而此时 ‎15.（江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________.2‎ ‎20. （江苏）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；‎ ‎(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.‎ ‎20、解：（1） ‎（2）或或 ‎4、（上海）设等比数列{an}(n∈N)的公比q=－,且(a1+a3+a5+…+a2n-1)=,则a1= .2‎ ‎12、（上海）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 ①、④组.(写出所有符合要求的组号)‎ ‎ ①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.‎ ‎ 其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.‎ ‎22、（上海）(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分 ‎ 设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.‎ (1) 若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标；‎ ‎ (只需写出一个)‎ ‎(2)若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；‎ ‎. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.‎ ‎22、【解】(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70.‎ 由,得 ‎ ∴点P3的坐标可以为(2, ).‎ ‎ (2) 【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.‎ ‎ ∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2,‎ ‎ ∴≤d<0. ∵n≥3,>0‎ ‎ ∴Sn=na2+d在[,0)上递增,‎ ‎ 故Sn的最小值为na2+·=.‎ ‎ 【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),‎ ‎ 由 ,解得y= ‎ ∵0< y≤b2,得≤d<0‎ ‎ ∴≤d<0‎ ‎ 以下与解法一相同.‎ ‎ (3) 【解法一】若双曲线C:－=1,点P1(a,0),‎ ‎ 则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.‎ ‎ ∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[,+∞),且=a2,‎ ‎ ∴点P1, P2,…Pn存在当且仅当2>2,即d>0.‎ ‎ 【解法二】若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0),‎ ‎ 则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.理由同上 ‎ 【解法三】若圆C:(x－a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),‎ ‎ 则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是00且2=(n－1)d≤4a2.即0