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- 2021-05-13 发布
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2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题 共40分)
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2.每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。
1.在复平面内,复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.
∵,∴复数所对应的点为,故选B.
2.已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么 ( )
A.且c与d同向 B.且c与d反向
C.且c与d同向 D.且c与d反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 ( )
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A.,
B.,
C.,
D..
故应选C.
4.若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则
到底面的距离为 ( )
A. B.1
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)
属于基础知识、基本运算的考查.
依题意,,如图,
,故选D.
5.“”是“”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
当时,,
反之,当时,有,
或,故应选A.
6.若为有理数),则 ( )
A.45 B.55 C.70 D.80
【答案】C
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵
,
由已知,得,∴.故选C.
7.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )
A.324 B.328 C.360 D.648
【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时,有(个),
当0不排在末位时,有(个),
于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有(个).故选B.
8.点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且
,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是 ( )
A.直线上的所有点都是“点”
B.直线上仅有有限个点是“点”
C.直线上的所有点都不是“点”
D.直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
【答案】A
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解,如图,
设,
则,
∵,
∴
消去n,整理得关于x的方程 (1)
∵恒成立,
∴方程(1)恒有实数解,∴应选A.
2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
第Ⅱ卷(共110分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。
9._________.
W【答案】
【解析】本题主要考极限的基本运算,其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查.
,故应填.
10.若实数满足则的最小值为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图,当时,
为最小值.
故应填.
11.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________.
【答案】
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算
的考查.
取,如图,采用数形结合法,
易得该曲线在处的切线的斜率为.
故应填.
12.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_________;的小大为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属
于基础知识、基本运算的考查.
∵,
∴,
∴,
又,
∴,
又由余弦定理,得,
∴,故应填.
13.若函数 则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
(1)由.
(2)由.
∴不等式的解集为,∴应填.
14.已知数列满足:则________;
=_________.
【答案】1,0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意,得,.
∴应填1,0.
三 、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题共13分)
在中,角的对边分别为,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的面积.
【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力.
(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,
∴,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
又∵,
∴在△ABC中,由正弦定理,得
∴.
∴△ABC的面积.
16.(本小题共14分)
如图,在三棱锥中,底面,
点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的大小为.
(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,
故存在点E使得二面角是直二面角.
【解法2】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
设,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,
∴.
∴与平面所成的角的大小为.
(Ⅲ)同解法1.
17.(本小题共13分)
某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.
(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.
(Ⅱ)由题意可得,可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),
∴,
∴即的分布列是
0
2
4
6
8
∴的期望是.
18.(本小题共13分)
设函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.
(Ⅰ),
曲线在点处的切线方程为
(Ⅱ)由,得,
若,则当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
若,则当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增;
若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增, 综上可知,函数在区间内单调递增时,的取值范围是.
19.(本小题共14分)
已知双曲线的离心率为,右准线方程为
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
(Ⅰ)由题意,得,
解得,
∴,
∴所求双曲线的方程为.
(Ⅱ)点在圆上,
圆在点处的切线方程为,
化简得
由 及得,
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,
∴,且,
设A、B两点的坐标分别为,
则,
∵,
且,
.
∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】
(Ⅰ)同解法1
(Ⅱ)点在圆上,
圆在点处的切线方程为,
化简得.
由 及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,∴,
设A、B两点的坐标分别为,
则,
∴,
∴ 的大小为.
(∵且,∴,从而当时,方程①和方程②的判别式均大于零).
20.(本小题共13分)
已知数集具有性质:对任意的,与两数中至少有一个属于.
(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(Ⅱ)证明:,且;
(Ⅲ)证明:当时,成等比数列..k.s.5.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.
(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集,
∴该数集具有性质P.
(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,
由于,∴,故.
从而,∴
∵, ∴,故.
由A具有性质P可知.
又∵,
∴,
从而,
∴.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,
∵,
∴,∴,
由A具有性质P可知.
由,得,且,∴,
∴,
即是首项为1,公比为成等比数列.