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  • 2021-05-13 发布

全国高考理科数学试题及答案北京卷

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‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷(选择题 共40分)‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。‎ ‎ 2.每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 ‎ ‎1.在复平面内,复数对应的点位于 ( )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.‎ ‎ ∵,∴复数所对应的点为,故选B.‎ ‎2.已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么 ( )‎ ‎ A.且c与d同向 B.且c与d反向 ‎ C.且c与d同向 D.且c与d反向 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 取a,b,若,则cab,dab,‎ ‎ 显然,a与b不平行,排除A、B. ‎ ‎ 若,则cab,dab,‎ 即cd且c与d反向,排除C,故选D.‎ ‎3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 ( )‎ ‎ A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 ‎ B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 ‎ C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 ‎ D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. ‎ ‎ A.,‎ B.,‎ C.,‎ D..‎ 故应选C.‎ ‎4.若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则 到底面的距离为 ( )‎ ‎ A. B.1‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意,,如图,‎ ‎,故选D.‎ ‎5.“”是“”的 ( )‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 反之,当时,有,‎ ‎ 或,故应选A.‎ ‎6.若为有理数),则 ( )‎ ‎ A.45 B.‎55 ‎‎ C.70 D.80‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵‎ ‎ , ‎ ‎ 由已知,得,∴.故选C.‎ ‎7.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )‎ ‎ A.324 B.‎328 ‎‎ C.360 D.648‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 首先应考虑“‎0”‎是特殊元素,当0排在末位时,有(个),‎ ‎ 当0不排在末位时,有(个),‎ ‎ 于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有(个).故选B.‎ ‎8.点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且 ‎,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是 ( )‎ ‎ A.直线上的所有点都是“点”‎ ‎ B.直线上仅有有限个点是“点”‎ ‎ C.直线上的所有点都不是“点”‎ ‎ D.直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ ‎ 本题采作数形结合法易于求解,如图,‎ 设,‎ 则,‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ 消去n,整理得关于x的方程 (1)‎ ‎∵恒成立,‎ ‎∴方程(1)恒有实数解,∴应选A.‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 数学(理工农医类)(北京卷)‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 注意事项:‎ ‎1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题号 二 三 总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。‎ ‎9._________.‎ W【答案】‎ ‎【解析】本题主要考极限的基本运算,其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ,故应填.‎ ‎10.若实数满足则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 如图,当时,‎ 为最小值.‎ 故应填.‎ ‎11.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ 取,如图,采用数形结合法,‎ 易得该曲线在处的切线的斜率为.‎ 故应填.‎ ‎12.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_________;的小大为__________. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴,‎ 又由余弦定理,得,‎ ‎∴,故应填. ‎ ‎13.若函数 则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ (1)由.‎ ‎ (2)由.‎ ‎ ∴不等式的解集为,∴应填.‎ ‎14.已知数列满足:则________;‎ ‎=_________.‎ ‎【答案】1,0‎ ‎【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.‎ 依题意,得,.‎ ‎ ∴应填1,0.‎ 三 、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎15.(本小题共13分)‎ ‎ 在中,角的对边分别为,. ‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的面积.‎ ‎【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力.‎ ‎(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ‎ ‎ 又∵,‎ ‎∴在△ABC中,由正弦定理,得 ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积.‎ ‎ 16.(本小题共14分)‎ ‎ 如图,在三棱锥中,底面,‎ 点,分别在棱上,且 ‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;‎ ‎(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又,∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,‎ ‎∴,‎ 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,‎ ‎∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形,∴,‎ ‎∴在Rt△ABC中,,∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中,,‎ ‎∴与平面所成的角的大小为.‎ ‎(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,‎ 又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角,‎ ‎∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴. ‎ ‎∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设,由已知可得 ‎ .‎ ‎ (Ⅰ)∵, ‎ ‎∴,∴BC⊥AP.‎ 又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小为.‎ ‎(Ⅲ)同解法1.‎ ‎17.(本小题共13分)‎ 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; ‎ ‎(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ ‎【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由题意可得,可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min). ‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),‎ ‎∴, ‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎18.(本小题共13分)‎ 设函数 ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间; ‎ ‎(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.‎ ‎ 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.‎ ‎(Ⅰ),‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为 ‎(Ⅱ)由,得,‎ ‎ 若,则当时,,函数单调递减,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 若,则当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减, ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增;‎ 若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增, 综上可知,函数在区间内单调递增时,的取值范围是.‎ ‎19.(本小题共14分)‎ 已知双曲线的离心率为,右准线方程为 ‎(Ⅰ)求双曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值. ‎ ‎【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,‎ 解得,‎ ‎∴,‎ ‎∴所求双曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)点在圆上,‎ 圆在点处的切线方程为,‎ 化简得 由 及得,‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,‎ ‎∴,且,‎ 设A、B两点的坐标分别为,‎ 则,‎ ‎∵,‎ 且,‎ ‎.‎ ‎∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解法2】‎ ‎(Ⅰ)同解法1‎ ‎(Ⅱ)点在圆上,‎ 圆在点处的切线方程为,‎ 化简得.‎ 由 及得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,∴,‎ 设A、B两点的坐标分别为,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴ 的大小为.‎ ‎(∵且,∴,从而当时,方程①和方程②的判别式均大于零).‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 已知数集具有性质:对任意的,与两数中至少有一个属于.‎ ‎(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)证明:,且;‎ ‎(Ⅲ)证明:当时,成等比数列..k.s.5. ‎ ‎【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.‎ ‎(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.‎ 由于都属于数集,‎ ‎∴该数集具有性质P.‎ ‎(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,‎ 由于,∴,故.‎ 从而,∴‎ ‎∵, ∴,故.‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ 从而,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴,‎ 由A具有性质P可知.‎ 由,得,且,∴,‎ ‎∴,‎ 即是首项为1,公比为成等比数列.‎