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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数学(理科)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.设复数满足,则
A. B. C. D.
3.等比数列的前项和为,已知,,则
A. B. C. D.
4.已知为异面直线,平面,平面.直线满足,,,,则
A.且 B.且
C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于
5.已知的展开式中的系数为5,则
A. B. C. D.
6.执行右面的程序框图,如果输入的,那么输出的
A. B.
C. D.
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,,,,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投
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影面,则得到正视图可以为
A
B
C
B
8.设,,,则
A. B. C. D.
9.已知,满足约束条件若的最小值为1,则
A. B. C.1 D.2
10.已知函数,下列结论中错误的是
A.
B.函数的图像是中心对称图形
C.若是的极小值点,则f(x)在区间单调递减
D.若是的极值点,则
11.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为
A.或 B.或
C.或 D.或
12.已知点,,,直线将分割为面积相等的两部分,则的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
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二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知正方形的边长为2,为的中点,则_______.
14.从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则________.
15.设为第二象限角,若,则_________.
16.等差数列的前项和为,已知,,则的最小值为________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在内角、、的对边分别为,,,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,,分别是,的中点,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
150
120
频率/组距
销售量
140
130
100
110
经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出该产品获利润500元,未售出的产品,每亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.
以(单位:,)表示下一个销售季度内
经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将表示为的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值
代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该
区间中点值的概率(例如:若则取,且的概率等于需求量落入的概率,求利润的数学期望.
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20.(本小题满分12分)
平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,证明.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4-1;几何证明选讲
如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,、分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.
(Ⅰ)证明:是外接圆的直径;
(Ⅱ)若,求过、、、四点的圆
的面积与外接圆面积的比值.
23.(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知动点,都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.
24.(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
设均为正数,且,证明:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
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