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- 2021-05-13 发布
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么·如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A) P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh. ·圆锥的体积公式.
其中S表示棱柱的底面面积, 其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.
h表示棱柱的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】
(2)设
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】,则,
,则,
据此可知:“”是“”的必要二不充分条件.
本题选择B选项.
(3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(4)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为
(A)0 (B)1(C)2(D)3
【答案】
【解析】阅读流程图可得,程序执行过程如下:
首先初始化数值为,
第一次循环:,不满足;
第二次循环:,不满足;
第三次循环:,满足;
此时跳出循环体,输出.
本题选择C选项.
(5)已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(6)已知奇函数在上是增函数.若,则的大小关系为
(A)(B)(C)(D)
【答案】
【解析】由题意:,
且:,
据此:,
结合函数的单调性有:,
即.
本题选择C选项.
(7)设函数,其中.若且的最小正周期大于,则
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(8)已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)zx xk
【答案】
【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方,
当时,函数图象如图所示,排除C,D选项;
当时,函数图象如图所示,排除B选项,
本题选择A选项.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .
【答案】
【解析】为实数,
则.
(10)已知,设函数的图象在点(1,)处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
【答案】
【解析】,切点为,,则切线的斜率为,切线方程为:,令得出,在轴的截距为.
(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【答案】
【解析】设正方体边长为,则 ,
外接球直径为.
(12)设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 .
【答案】
(13)若a,,,则的最小值为 .
【答案】
【解析】 ,当且仅当时取等号.
(14)在△ABC中,,AB=3,AC=2.若,(),且,则的值为 .
【答案】
【解析】 ,则
.
三. 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(I)求的值;
(II)求的值.
【答案】(1) (2)
.
(16)(本小题满分13分)
某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(I)用,列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
【答案】(1)见解析(2)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
【解析】(Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(I)求异面直线与所成角的余弦值;
(II)求证:平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1) (2)
(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
(18)(本小题满分13分)
已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,
.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】(1)..(2).
由此可得.所以,的通项公式为,的通项公式为.
(Ⅱ)设数列的前项和为,由,有
,
,
上述两式相减,得
.
得.
所以,数列的前项和为.
(19)(本小题满分14分)设,.已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:在处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.
【答案】(1)递增区间为,,递减区间为.(2)(ⅰ)在处的导数等于0.(ⅱ)的取值范围是.
【解析】(I)由,可得
(ii)因为,,由,可得.
又因为,,故为的极大值点,由(I)知.
另一方面,由于,故,
由(I)知在内单调递增,在内单调递减,
故当时,在上恒成立,从而在上恒成立.
由,得,。
令,,所以,
令,解得(舍去),或.
因为,,,故的值域为.
所以,的取值范围是.
(20)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为,的面积为.
(I)求椭圆的离心率;
(II)设点在线段上,,延长线段与椭圆交于点,点,在轴上,,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.
(i)求直线的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ)
得,即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=,有,整理得,所以
,即直线FP的斜率为.
这两条平行直线间的距离,故直线和都垂直于直线.
因为,所以,所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得.
所以,椭圆的方程为.
绝密★启用前
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么·如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A) P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh. ·圆锥的体积公式.
其中S表示棱柱的底面面积, 其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.
h表示棱柱的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,则
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】,则,
,则,
据此可知:“”是“”的必要二不充分条件.
本题选择B选项.
(3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(4)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为
(A)0 (B)1(C)2(D)3
【答案】
【解析】阅读流程图可得,程序执行过程如下:
首先初始化数值为,
第一次循环:,不满足;
第二次循环:,不满足;
第三次循环:,满足;
此时跳出循环体,输出.
本题选择C选项.
(5)已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(6)已知奇函数在上是增函数.若,则的大小关系为
(A)(B)(C)(D)
【答案】
【解析】由题意:,
且:,
据此:,
结合函数的单调性有:,
即.
本题选择C选项.
(7)设函数,其中.若且的最小正周期大于,则
(A)(B)(C)(D)
【答案】
(8)已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)zx xk
【答案】
【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方,
当时,函数图象如图所示,排除C,D选项;
当时,函数图象如图所示,排除B选项,
本题选择A选项.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .
【答案】
【解析】为实数,
则.
(10)已知,设函数的图象在点(1,)处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
【答案】
【解析】,切点为,,则切线的斜率为,切线方程为:,令得出,在轴的截距为.
(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【答案】
【解析】设正方体边长为,则 ,
外接球直径为.
(12)设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 .
【答案】
(13)若a,,,则的最小值为 .
【答案】
【解析】 ,当且仅当时取等号.
(14)在△ABC中,,AB=3,AC=2.若,(),且,则的值为 .
【答案】
【解析】 ,则
.
三. 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(I)求的值;
(II)求的值.
【答案】(1) (2)
.
(16)(本小题满分13分)
某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(I)用,列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
【答案】(1)见解析(2)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
【解析】(Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(I)求异面直线与所成角的余弦值;
(II)求证:平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1) (2)
(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
(18)(本小题满分13分)
已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,
.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】(1)..(2).
由此可得.所以,的通项公式为,的通项公式为.
(Ⅱ)设数列的前项和为,由,有
,
,
上述两式相减,得
.
得.
所以,数列的前项和为.
(19)(本小题满分14分)设,.已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:在处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.
【答案】(1)递增区间为,,递减区间为.(2)(ⅰ)在处的导数等于0.(ⅱ)的取值范围是.
【解析】(I)由,可得
(ii)因为,,由,可得.
又因为,,故为的极大值点,由(I)知.
另一方面,由于,故,
由(I)知在内单调递增,在内单调递减,
故当时,在上恒成立,从而在上恒成立.
由,得,。
令,,所以,
令,解得(舍去),或.
因为,,,故的值域为.
所以,的取值范围是.
(20)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为,的面积为.
(I)求椭圆的离心率;
(II)设点在线段上,,延长线段与椭圆交于点,点,在轴上,,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.
(i)求直线的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ)
得,即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=,有,整理得,所以
,即直线FP的斜率为.
这两条平行直线间的距离,故直线和都垂直于直线.
因为,所以,所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得.
所以,椭圆的方程为.