2007-2018新课标高考真题汇编之空间向量与立体几何理科 15页

1．（2007 年新课标第 8 题）已知某个几何体的三视图如下，根据图 中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．（2007 年新课标第 12 题）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼 接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧 棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 ， ， ，则 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3 ．（ 2007 年 新 课 标 第 18 题 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 侧 面 与 侧 面 均 为 等 边 三 角 形 ， ， 为 中点． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 4．（2008 年新课标第 12 题）某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线 段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 ．（ 2008 年 新 课 标 第 13 题 ） 已 知 向 量 ， ， 且 ， 则 = __________． 6．（2008 年新课标第 15 题）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _________． 7．（2008 年新课标第 18 题）如图，已知点 P 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，∠PDA=60°． (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小； (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小． 34000 cm3 38000 cm3 32000cm 34000cm 1h 2h h 1 2: :h h h = 3 :1:1 3 : 2: 2 3 : 2: 2 3 : 2: 3 S ABC− SAB SAC 90BAC∠ = ° O BC SO ⊥ ABC A SC B− − 7 6 22 32 52 (0, 1,1)a = − (4,1,0)b = | | 29a bλ + =  0λ > λ 9 8 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 O S B A C B1 C1 D1 A1 CD A B P B1 C1 D1 A1 CD A B P 8．（2009 年新课标第 8 题）如图，正方体 的棱线长为 1，线段 上有两个动点 E，F，且 ，则下列结论中错误的是（　　） （A） （B） （C）三棱锥 的体积为定值 （D）异面直线 所成的角为定值 9．（2009 年新课标第 11 题）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为（　　） （A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24 10．（2009 年新课标第 19 题）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍，P 为 侧棱 SD 上的点． （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若 SD⊥平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E， 使得 BE∥平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值；若不存 在，试说明理由． 11．（2010 年新课标第 10 题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为（　　） 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D 2 2EF = AC BE⊥ / /EF ABCD平面 A BEF− ,AE BF 2m 2 2 2 2 2 a (A) (B) (C) (D) 12．（2010 年新课标第 14 题）正视图为一个三角形的几何体可以是____________________________．（写出三种） 13．（2010 年新课标第 18 题）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点． （1） 证明：PE BC； （2） 若 APB= ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 14．（2011 年新课标第 6 题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（　　） 15．（2011 年新课标第 15 题）已知矩形 的顶点都在半径为 4 的球 的球面上，且 ,则棱 锥 的体积为 ． 16．（2011 年新课标第 18 题）如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD． (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值． 2aπ 27 3 aπ 211 3 aπ 25 aπ  ⊥ ⊥ ∠ ∠ ABCD O 6, 2 3AB BC= = O ABCD− 17．（2012 年新课标第 7 题）如图，网格纸上小正方形的边长为 ， 粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 18．（2012 年新课标第 11 题）已知三棱锥 的所有顶点都 在球 的求面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的 直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ） 19．（2012 年新课标第 19 题）如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点， （1）证明： ； （2）求二面角 的大小． 20．（2013 年新课标 1 第 6 题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器 口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A. B. C. D. 1 ( )A 6 ( )B 9 ( )C 12 ( )D 18 S ABC− O ABC∆ 1 SC O 2SC = ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 2 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AC BC AA= = D 1AA .1 BDDC ⊥ BCDC ⊥1 11 CBDA −− 3500 3 cm π 3866 3 cm π 31372 3 cm π 32048 3 cm π 21．（2013 年新课标 1 第 8 题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 22．（2013 年新课标 1 第 18 题）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°． （Ⅰ）证明 AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值． 23．（2013 年新课标 2 第 4 题）已知 ， 为异面直线， ⊥平面 ， ⊥平面 ，直线 满足 ⊥ ， ⊥ ， ，　 ，则（ ） （A） ∥ 且 ∥ 　　　　　 　（B） ⊥ 且 ⊥ （C） 与 相交，且交线垂直于 （D） 与 相交，且交线平行于 24．（2013 年新课标 2 第 7 题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ， ， ， ，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） (A) (B) (C) (D) 16 8π+ 8 8π+ 16 16π+ 8 16π+ m n m α n β l l m l n l ⊄ α l ⊄ β α β l α α β l β α β l α β l O xyz− (1,0,1) (1,1,0) (0,1,1) (0,0,0) zOx 25．（2013 年新课标 2 第 18 题）如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点。 AB. （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值. 26．（2014 年新课标 1 第 12 题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） A． B．6 C． D．4 27．（2014 年新课标 1 第 19 题）如图三棱柱 中，侧面 为菱形， ． (Ⅰ) 证明： ； （Ⅱ）若 ， ， ，求二面角 的余弦值． 28．（2014 年新课标 2 第 6 题）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面 半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积 与原来毛坯体积的比值为（ ） A. B. C. D. 29．（2014 年新课标 2 第 11 题）直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°， 1 1 1ABC A B C− D E AB 1BB 1 2AA AC CB= = = 2 2 1 / /BC 1 1ACD ECAD −− 1 6 2 4 2 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = AB BC= 1 1 1A A B C− − 17 27 5 9 10 27 1 3 E D B1 C1 A C B A1 M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角 的余弦值为（ ） A. B. C. D. 30．（2014 年新课标 2 第 18 题）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中 点． （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= ， 求三棱锥 E-ACD 的体积． 31．（2015 年新课标 1 第 6 题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依 垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分 之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（　　） A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 32．（2015 年新课标 1 第 11 题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图 中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 =（　　） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 33．（2015 年新课标 1 第 18 题）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥ 平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC． （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC； （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值． 1 10 2 5 30 10 2 2 3 r π r 34．（2015 年新课标 2 第 6 题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为（　　） （A） （B） （C） （D） 35．（2015 年新课标 2 第 9 题）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（　　） A．36π B.64π C.144π D.256π 36．（2015 年新课标 2 第 19 题）如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E = D1F = 4，过点 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值． 37．（2016 新课标 1 第 6 题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几 何体的体积是 ,则它的表面积是（　　） （A） （B） （C） （D） 8 1 7 1 6 1 5 1 28 3 π 17π 18π 20π 28π 38．（2016 新课标 1 第 11 题）平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, //平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为（　　） (A) (B) (C) (D) 39 ．（ 2016 年 新 课 标 1 第 18 题 ） 如 图 , 在 以 A,B,C,D,E,F 为 顶 点 的 五 面 体 中 , 面 ABEF 为 正 方 形 ,AF=2FD, ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ． （I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值． 40．（2016 年新课标 2 第 6 题）右图是由圆柱与圆锥组合而 成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 41．（2016 年新课标 2 第 14 题） α、β 是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β. （2）如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. （3）如果 α∥β，m α，那么 m∥β. （4）如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 42．（2016 年新课标 2 第 19 题）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ 的位置， ． α α α  α  3 2 2 2 3 3 1 3 90AFD∠ =  60 ⊥ C Α Β D Ε F ⊂ 5 4 D EF′ 10OD′ = （I）证明： 平面 ABCD； （II）求二面角 的正弦值． 43．（2016 年新课标 3 第 9 题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的表面积为（ ） （A） （B） （C）90 （D）81 44．（2016 年新课标 3 第 10 题）在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ， ， ， ，则 的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 45 ．（ 2016 年 新 课 标 3 第 19 题 ） 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 地 面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点． （I）证明 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值． D H′ ⊥ B D A C′− − 18 36 5+ 54 18 5+ 1 1 1ABC A B C− V AB BC⊥ 6AB = 8BC = 1 3AA = V 9 2 π 32 3 π P ABC− PA ⊥ ABCD AD BC 3AB AD AC= = = 4PA BC= = M AD 2AM MD= N PC MN  PAB AN PMN 46．（2017 年新课标 1 第 7 题）某多面体的三视图如图所示，学*科网其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之 和为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 47．（2017 年新课标 1 第 16 题）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开 后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的 边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ． 48．（2017 年新课标 1 第 18 题）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 ． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A−PB−C 的余弦值． 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  49．（2017 年新课标 2 第 4 题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的 体积为（　　） A． B． C． D． 50．（2017 年新课标 2 第 10 题）已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 51．（2017 年新课标 2 第 19 题）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的余弦值． 52．（2017 年新课标 3 第 8 题）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为（　　） A． B． C． D． 53．（2017 年新课标 3 第 16 题）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线 与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 90π 63π 42π 36π 1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = ° 2AB = 1 1BC CC= = 1AB 1BC 3 2 15 5 10 5 3 3 o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ = CE∥ o45 M AB D− − π 3π 4 π 2 π 4 54．（2017 年新课标 3 第 19 题）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠ CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D–AE–C 的余弦 值． 55．（2018 年新课标 1 第 7 题）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视 图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度 为（ ）21·cn·jy·com A． B． C． D．2 56．（2018 年新课标 1 第 12 题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方 体所得截面面积的最大值为（ ）21·世纪*教育网 A． B． C． D． 57．（2018 年新课标 1 第 18 题）如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕 把 折起，使点 到达点 的位置，且 ．21*cnjy*com （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值． 58．（2018 年新课标 2 第 9 题）在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余 弦值为 A． B． C． D． 59．（2018 年新课标 2 第 16 题）已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成 角为 45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________． 60．（2018 年新课标 2 第 20 题）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 M A N B M N 2 17 2 5 3 α α 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 ABCD E F AD BC DF DFC△ C P PF BF⊥ PEF ⊥ ABFD DP ABFD 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 S SA SB 7 8 SA SAB△ 5 15 P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 61．（2018 年新课标 3 第 3 题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼， 图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的 木构件的俯视图可以是（ ） 62．（2018 年新课标 3 第 10 题）设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其 面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）21cnjy.com A． B． C． D． 63．（2018 年新课标 3 第 19 题）如图，边长为 2 的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． ⑴证明：平面 平面 ； ⑵当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． P A O C B M PO ⊥ ABC M BC M PA C− − 30° PC PAM A B C D， ， ， ABC∆ 9 3 D ABC− 12 3 18 3 24 3 54 3 ABCD CD M CD C D AMD⊥ BMC M ABC− MAB MCD