1987年(高考数学试题文理科) 12页

一九八七年（理科）‎ 一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。‎ ‎（1）设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X=ST，那么SX等于 （ D ）‎ ‎（A）X （B）T （C） （D）S ‎（2）设椭圆方程为，令，那么它的准线方程为 （ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设a,b是满足ab<0的实数，那么 （ B ）‎ ‎（A）|a+b|>|a-b| （B）|a+b|<|a-b|‎ ‎（C）|a-b|<||a|-|b|| （D）|a-b|<|a|+|b|‎ ‎（4）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设 命题甲：点E，F，G，H不共面，‎ 命题乙：直线EF和GH不相交 那么 （ A ）‎ ‎（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 ‎（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 ‎（C）甲是乙的充要条件 ‎（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件 ‎（5）在区间上为增函数的是 （ B ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）要得到函数的图象，只需将函数的图象（图略） （ D ）‎ ‎（A）向左平行移动 （B）向右平行移动 ‎（C）向左平行移动 （D）向右平行移动 ‎（7）极坐标方程所表示的曲线是 （ B ）‎ ‎（A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线 ‎（8）函数的图象是 （ A ）‎ ‎（A） （B） Y （C） Y （D） ‎ ‎ Y 1 Y 1 ‎ ‎ O - O - O - O ‎ ‎ -1 ‎ 二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分。只要求写出结果 ‎（1）求函数的周期。‎ ‎[答]‎ ‎（2）已知方程表示双曲线，求λ的范围。‎ ‎[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：写出一半给2分。）‎ ‎（3）若（1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n.‎ ‎[答]8 （注：若给出8同时给出-5得2分）‎ ‎（4）求极限 ‎[答]2‎ ‎（5）在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短。‎ ‎[答]‎ ‎（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数。求这种五位数的个数。‎ ‎[答]72‎ ‎（7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高。‎ ‎[答]‎ 三．（本题满分10分）‎ 求的值。‎ 解：原式=‎ ‎（注：本题有多种解答）‎ 四．（本题满分12分）‎ ‎ ‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ C ‎ ‎ A ‎ ‎ D ‎ ‎ B ‎ 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h。求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h.‎ 证：连结AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，‎ PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD ‎∵ED⊥PA，‎ ‎∴S△ABC=PA·ED=Lh VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD 同理，VC-PAD=Lh·CD ‎∴三棱锥P-ABC的体积 V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h.‎ 若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立 ‎（此话不说，也不扣分）‎ 五．（本题满分12分）‎ 设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。‎ 解：由题意得：‎ 令则（3）式变为 化简为解得 （4）‎ ‎（2）式变为即 （5）‎ 综合（4），（5）得 由此， （6）解（1），（6）得a取值范围：‎ 六．（本题满分12分，共2个小题）‎ 设复数满足关系式其中A为不等于0的复数。证明：‎ ‎（1）（2）‎ 证：（1）‎ ‎（2）‎ 七．（本题满分12分，共3个小题）‎ 设数列的前n项的和Sn与的关系是 其中b是与n无关的常数，且b≠-1。‎ ‎（1）求的关系式;‎ ‎（2）写出用n和b表示的表达式;‎ ‎（3）当时，求极限.‎ 注：(2)也可用数学归纳法证明。‎ 所以当 八．（本题满分10分）‎ 定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。‎ 解：设A（x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3，‎ 那么x1=y12,x2=y22,（1）‎ ‎32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1]（2）‎ 线段AB的中点M（x,y）到y轴的距离为 下证x能达到最小值，根据题意不妨设y1>y2 ,由（3）得 九．（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计 入总分）‎ ‎（1）求极限 ‎（2）设 解：‎ 一九八七年（文科）‎ 考生注意：这份试卷共八道大题，满分120分 一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。 ‎ ‎（1）设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X=ST，那么SX等于 （ D ）‎ ‎（A）X （B）T （C） （D）S ‎（2）设椭圆方程为，令，那么它的准线方程为 （ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设等于 （ B ）‎ ‎（A） （B）9 （C）18 （D）27‎ ‎（4）复数的辐角为 （ D ）‎ ‎（A）400 （B）1400 （C）2200 （D）3100‎ ‎（5）二次函数y=f(x)的图象如图所示，那么此函数为 （ C ） ‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎ Y ‎ ‎ （0，3） ‎ ‎ ‎ ‎ O X ‎ ‎ （-2，0） （2，0） ‎ ‎（6）在区间上为增函数的是 （ B ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m,0），那么新坐标系的原点O＇在原坐标系中的坐标为 （ A ）‎ ‎（A）（-m,m） （B）（m,-m） （C）（m,m） （D）（-m,-m）‎ ‎（8）要得到函数的图象，只需将函数的图象（图略） （ D ）‎ ‎（A）向左平行移动 （B）向右平行移动 ‎（C）向左平行移动 （D）向右平行移动 二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分。只要求写出结果 ‎（1）求函数的周期。‎ ‎[答]‎ ‎（2）已知方程表示双曲线，求λ的范围。‎ ‎[答]λ>-1或λ<-2.（注：写出一半给2分。）‎ ‎（3）若（1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n.‎ ‎[答]8 （注：若给出8同时给出-5得2分）‎ ‎（4）求极限 ‎[答]2‎ ‎（5）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数。求这种五位数的个数。‎ ‎[答]72‎ ‎（6）求函数的定义域 ‎[答]‎ ‎（7）圆锥底面积为3π，母线与底面所的成角为600，求它的体积。‎ ‎[答] 3π 三．（本题满分10分）‎ 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：‎ 求的值。‎ 解：‎ 四．（本题满分12分）‎ 在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数。‎ 解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z-2和 的模相等，辐角差为，因而 ‎（列方程组解亦可）‎ 五．（本题满分12分）‎ ‎ ‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ C ‎ ‎ A ‎ ‎ D ‎ ‎ B 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h。求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h.‎ 证：连结AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，‎ PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD∵ED⊥PA，‎ ‎∴S△ABC=PA·ED=Lh VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD 同理，VC-PAD=Lh·CD ‎∴三棱锥P-ABC的体积 V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h.‎ 若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立 ‎（此话不说，也不扣分）‎ 六．（本题满分12分）‎ 设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。‎ 解：由题意得：‎ 令则（3）式变为 化简为解得 （4）‎ ‎（2）式变为即 （5）‎ 综合（4），（5）得 由此， （6）‎ 解（1），（6）得a取值范围：‎ 七．（本题满分12分）‎ 设数列的前n项的和Sn与的关系是 ‎（其中k是与n无关的常数，且k≠1)。‎ ‎（1）试写出用n，k表示的的表达式;‎ ‎（2）若求k的取值范围。‎ 解：（1）‎ 若则由题设知，由（1）式易知 所以故该数列是公比为的等比数列，‎ 其首项为 当时，由（1）式知上式当时对也成立。‎ ‎（2）若即 ‎（注：第（1）题解的过程中，不考虑的情况，不扣分。）‎ 八．（本题满分12分）‎ 正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线 y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积。‎ 解：设CD的直线方程为y=x+b 由方程组 解得C（），D（）两点坐标为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Y A1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ B１ D１ ‎ ‎ ‎ ‎ Ｏ X ‎ ‎ C１ ‎ 经检验b1,b2均为方程（３）的根。‎ ‎（注：不检验不扣分）‎ 解二：∵C，D两点在抛物线上，‎ ‎∴可设C（s2,s），D（t2,,t),‎ 又∵A，B在直线y=x+4上，∴AB与y轴成450角，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴对角线AC与边AB也成450角，‎ ‎∴AC∥y轴，同理BD∥x轴，‎ ‎∴可设A（s2,s2+4),B(t-4,t)‎ ‎∵AB∥CD,对角线AC,BD互相垂直平分，所以有 ‎∴面积S1=|C1D1|2=[（-1）2-22]2+[（-1）-2]2=18，‎ S2=|C2D2|2=[（-1）2-32]2+[（-1）-3]2=50。‎ 答：这样的正方形有两个，其面积分别为18，50。‎