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- 2021-05-13 发布
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2011年上海市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题,每小题4分,满分56分)
1.(4分)(2011•上海)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则∁UA= {x|x<1} .
【考点】补集及其运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】由补集的含义即可写出答案.
【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|x≥1},
∴CUA={x|x<1}.
故答案为:{x|x<1}.
【点评】本题考查补集的含义.
2.(4分)(2011•上海)计算= ﹣2 .
【考点】极限及其运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据题意,对于,变形可得,分析可得,当n→∞时,有的极限为3;进而可得答案.
【解答】解:对于,变形可得,当n→∞时,有→3;
则原式=﹣2;
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查极限的计算,需要牢记常见的极限的化简方法.
3.(4分)(2011•上海)若函数f(x)=2x+1的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(﹣2)= .
【考点】反函数.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】问题可转化为已知f(x0)=﹣2,求x0的值,解方程即可
【解答】解:设f(x0)=﹣2,即2x0+1=﹣2,解得
故答案为
【点评】本题考查反函数的定义,利用对应法则互逆可以避免求解析式,简化运算.
4.(4分)(2011•上海)函数y=2sinx﹣cosx的最大值为 .
【考点】三角函数的最值.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理,利用正弦函数的性质求得其最大值.
【解答】解:y=2sinx﹣cosx=sin(x+φ)≤
故答案为:
【点评】本题主要考查了三角函数的最值.要求能对辅角公式能熟练应用.
5.(4分)(2011•上海)若直线l过点(3,4),且(1,2)是它的一个法向量,则直线l的方程为 x+2y﹣11=0 .
【考点】直线的点斜式方程;向量在几何中的应用.菁优网版权所有
【专题】直线与圆.
【分析】根据直线的法向量求出方向向量,求出直线的斜率,然后利用点斜式方程求出直线方程.
【解答】解:直线的法向量是(1,2),直线的方向向量为:(﹣2,1),所以直线的斜率为:﹣,所以直线的方程为:y﹣4=﹣(x﹣3),
所以直线方程为:x+2y﹣11=0.
故答案为:x+2y﹣11=0.
【点评】本题是基础题,考查直线的法向量,方向向量以及直线的斜率的求法,考查计算能力.
6.(4分)(2011•上海)不等式的解为 {x|x>1或x<0} .
【考点】其他不等式的解法.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】通过移项、通分;利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0;转化为二次不等式,通过解二次不等式求出解集.
【解答】解:
即
即x(x﹣1)>0
解得x>1或x<0
故答案为{x|x>1或x<0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法.注意不等式的解以解集形式写出
7.(4分)(2011•上海)若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形,则该圆锥的侧面积为 3π .
【考点】由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据圆锥的主视图是边长为3,3,2的三角形,得到圆锥的母线长是3,底面直径是2,代入圆锥的侧面积公式,得到结果.
【解答】解:∵圆锥的主视图是边长为3,3,2的三角形,
∴圆锥的母线长是3,底面直径是2,
∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π,
故答案为:3π
【点评】本题考查由三视图求表面积和体积,考查圆锥的三视图,这是比较特殊的一个图形,它的主视图与侧视图相同,本题是一个基础题.
8.(4分)(2011•上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A、C两点之间的距离为 千米.
【考点】解三角形的实际应用.菁优网版权所有
【专题】解三角形.
【分析】先由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=x,利用三角形内角和求得∠ACB,进而表示出AD,进而在Rt△ABD中,表示出AB和AD的关系求得x.
【解答】解:由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=x,
∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°
∴AD=x
∴在Rt△ABD中,AB•sin60°=x
x=(千米)
答:A、C两点之间的距离为千米.
故答案为:
下由正弦定理求解:
∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°
又相距2千米的A、B两点
∴,解得AC=
答:A、C两点之间的距离为千米.
故答案为:
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角,建立方程求得AC.
9.(4分)(2011•上海)若变量x,y 满足条件,则z=x+y得最大值为 .
【考点】简单线性规划.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】先画出满足约束条件的平面区域,然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标,代入目标函数即可求出答案.
【解答】解:满足约束条件的平面区域如下图所示:
由图分析,当x=,y=时,
z=x+y取最大值,
故答案为.
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,其中画出满足约束条件的平面区域,找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键.
10.(4分)(2011•上海)课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市,则丙组中应抽取的城市数为 2 .
【考点】分层抽样方法.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目,做出全市共有组的数目,因为要抽取6个城市作为样本,得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目,得到结果.
【解答】解:∵某城市有甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4,12,8.
本市共有城市数24,
∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本
∴每个个体被抽到的概率是 ,
∵丙组中对应的城市数8,
∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2,
故答案为2.
【点评】本题考查分层抽样,是一个基础题,解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,做出一种情况的概率,问题可以解决.
11.(4分)(2011•上海)行列式(a,b,c,d∈{﹣1,1,2})所有可能的值中,最大的是 6 .
【考点】二阶行列式的定义.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】先按照行列式的运算法则,直接展开化简得ad﹣bc,再根据条件a,b,c,d∈{﹣1,1,2}进行分析计算,比较可得其最大值.
【解答】解:,
∵a,b,c,d∈{﹣1,1,2}
∴ad的最大值是:2×2=4,bc的最小值是:﹣1×2=﹣2,
∴ad﹣bc的最大值是:6.
故答案为:6.
【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则,是基础题.
12.(4分)(2011•上海)在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则= .
【考点】向量在几何中的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题;数形结合;转化思想.
【分析】根据AB=3,BD=1,确定点D在正三角形ABC中的位置,根据向量加法满足三角形法则,把用表示出来,利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值.
【解答】解:∵AB=3,BD=1,
∴D是BC上的三等分点,
∴,
∴=
==9﹣=,
故答案为.
【点评】此题是个中档题.考查向量的加法和数量积的运算法则和定义,体现了数形结合和转化的思想.
13.(4分)(2011•上海)随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为 0.985 (默认每个月的天数相同,结果精确到0.001)
【考点】古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
【专题】概率与统计.
【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数129,至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月,共有A129种结果,根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果.
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
试验发生包含的事件数129,
至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月,共有A129种结果,
∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985,
故答案为:0.985
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式,考查对立事件的概率,是一个基础题,也是一个易错题,注意本题的运算不要出错.
14.(4分)(2011•上海)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[﹣2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 [﹣2,7] .
【考点】函数的值域;函数的周期性.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】先根据g(x) 是定义在R 上,以1为周期的函数,令x+1=t进而可求函数在[1,2]时的值域,再令x+2=t可求函数在[2,3]时的值域,最后求出它们的并集即得(x) 在区间[0,3]上的值域.
【解答】解:g(x)为R上周期为1的函数,则g(x)=g(x+1)
函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1](正好是一个周期区间长度)的值域是[﹣2,5]…(1)
令x+1=t,
当x∈[0,1]时,t=x+1∈[1,2]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+1)+g(x+1)=(x+1)+g(x)=[x+g(x)]+1
所以,在t∈[1,2]时,f(t)∈[﹣1,6]…(2)
同理,令x+2=t,
在当x∈[0,1]时,t=x+2∈[2,3]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+2)+g(x+2)=(x+2)+g(x)=[x+g(x)]+2
所以,当t∈[2,3]时,f(t)∈[0,7]…(3)
由已知条件及(1)(2)(3)得到,f(x)在区间[0,3]上的值域为[﹣2,7]
故答案为:[﹣2,7].
【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性.考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
二、选择题(共4小题,每小题5分,满分20分)
15.(5分)(2011•上海)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞) 上单调递减的函数是( )
A.y=x﹣2 B.y=x﹣1 C.y=x2 D.
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系,我们逐一分析四个答案中幂函数的性质,即可得到答案.
【解答】解:函数y=x﹣2,既是偶函数,在区间(0,+∞) 上单调递减,故A正确;
函数y=x﹣1,是奇函数,在区间(0,+∞) 上单调递减,故B错误;
函数y=x2,是偶函数,但在区间(0,+∞) 上单调递增,故C错误;
函数,是奇函数,在区间(0,+∞) 上单调递增,故D错误;
故选A.
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键.
16.(5分)(2011•上海)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab B. C. D.
【考点】基本不等式.菁优网版权所有
【专题】综合题.
【分析】利用基本不等式需注意:各数必须是正数.不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a,b∈R.
【解答】解:对于A;a2+b2≥2ab所以A错
对于B,C,虽然ab>0,只能说明a,b同号,若a,b都小于0时,所以B,C错
∵ab>0
∴
故选:D
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时,必须注意满足的条件:已知、二定、三相等.
17.(5分)(2011•上海)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E,F,则( )
A.E⊊F B.E⊋F C.E=F D.E∩F=∅
【考点】正弦函数的定义域和值域;集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键,注意整体思想的运用,结合集合的包含关系进行判断验证.
【解答】解:由题意E={x|x=kπ,k∈Z},由2x=kπ,得出x=,k∈Z.故F={x|x=,k∈Z},∀x∈E,可以得出x∈F,反之不成立,故E是F的真子集,A符合.
故选A.
【点评】本题考查正弦函数零点的确定,考查集合包含关系的判定,考查学生的整体思想和转化与化归思想,考查学生的推理能力,属于三角方程的基本题型.
18.(5分)(2011•上海)设A1,A2,A3,A4 是平面上给定的4个不同点,则使成立的点M的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【考点】向量的加法及其几何意义.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据所给的四个固定的点,和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量,根据向量加法法则,知这样的点是一个唯一确定的点.
【解答】解:根据所给的四个向量的和是一个零向量
,
则,
即,
所以.
当A1,A2,A3,A4 是平面上给定的4个不同点确定以后,则也是确定的,
所以满足条件的M只有一个,
故选B.
【点评】本题考查向量的加法及其几何意义,考查向量的和的意义,本题是一个基础题,没有具体的运算,是一个概念题目.
三、解答题(共5小题,满分74分)
19.(12分)(2011•上海)已知复数z1满足(z1﹣2)(1+i)=1﹣i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1•z2是实数,求z2.
【考点】复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用复数的除法运算法则求出z1,设出复数z2;利用复数的乘法运算法则求出z1•z2;利用当虚部为0时复数为实数,求出z2.
【解答】解:
∴z1=2﹣i
设z2=a+2i(a∈R)
∴z1•z2=(2﹣i)(a+2i)=(2a+2)+(4﹣a)i
∵z1•z2是实数
∴4﹣a=0解得a=4
所以z2=4+2i
【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0.
20.(14分)(2011•上海)已知ABCD﹣A1B1C1D1 是底面边长为1的正四棱柱,高AA1=2,求
(1)异面直线BD与AB1所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)四面体AB1D1C的体积.
【考点】异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
【专题】计算题;数形结合;分类讨论.
【分析】(1)根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1 所成角,解三角形即可求得结果.
(2)VA﹣B1D1C=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB1﹣ABC﹣VD1﹣ACD﹣VDA1C1D1﹣VB﹣A1B1C1,
而VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB1﹣ABC﹣VD1﹣ACD﹣VDA1C1D1﹣VB﹣A1B1C1易求,即可求得四面体AB1D1C 的体积.
【解答】解:(1)连接DC1,BC1,
易知DC1∥AB1,
∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1 所成角,
在△BDC1中,DC1=BC1=,BD=,
∴cos∠BDC1=,
∴∠BDC1=arccos.
(2)VA﹣B1D1C=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB1﹣ABC﹣VD1﹣ACD﹣VDA1C1D1﹣VB﹣A1B1C1而VABCD﹣A1B1C1D1=SABCD•AA1=1×2=2,
VB1﹣ABC=VD1﹣ACD=VDA1C1D1=VB﹣A1B1C1=
∴VA﹣B1D1C=2﹣4×=.
【点评】此题是个基础题.考查异面直线所成角和棱锥的体积问题,求解方法一般是平移法,转化为平面角问题来解决,和利用割补法求棱锥的体积问题,体现了数形结合和转化的思想.
21.(14分)(2011•上海)已知函数f(x)=a•2x+b•3x,其中常数a,b满足a•b≠0
(1)若a•b>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若a•b<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.
【考点】指数函数单调性的应用;指数函数的单调性与特殊点.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】(1)先把a•b>0分为a>0,b>0与a<0,b<0两种情况;然后根据指数函数的单调性即可作出判断.
(2)把a•b<0分为a>0,b<0与a<0,b>0两种情况;然后由f(x+1)>f(x)化简得a•2x>﹣2b•3x,再根据a的正负性得>或<;最后由指数函数的单调性求出x的取值范围.
【解答】解:(1)①若a>0,b>0,则y=a•2x与y=b•3x均为增函数,所以f(x)=a•2x+b•3x在R上为增函数;
②若a<0,b<0,则y=a•2x与y=b•3x均为减函数,所以f(x)=a•2x+b•3x在R上为减函数.
(2)①若a>0,b<0,
由f(x+1)>f(x)得a•2x+1+b•3x+1>a•2x+b•3x,
化简得a•2x>﹣2b•3x,即>,
解得x<;
②若a<0,b>0,
由f(x+1)>f(x)可得<,
解得x>.
【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法.
22.(16分)(2011•上海)已知椭圆C:=1 (常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C上的右顶点,定点A的坐标为(2,0)
(1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标;
(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;
(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有
【专题】综合题;压轴题;转化思想.
【分析】(1)根据题意,若M与A重合,即椭圆的右顶点的坐标,可得参数a的值,已知b=1,进而可得答案;
(2)根据题意,可得椭圆的方程,变形可得y2=1﹣;而|PA|2=(x﹣2)2+y2,将y2=1﹣代入可得,|PA|2=﹣4x+5,根据二次函数的性质,又由x的范围,分析可得,|PA|2的最大与最小值;进而可得答案;
(3)设动点P(x,y),类似与(2)的方法,化简可得|PA|2=(x﹣)2++5,且﹣m≤x≤m;根据题意,|PA|的最小值为|MA|,即当x=m时,|PA|取得最小值,根据二次函数的性质,分析可得,≥m,且m>1;解可得答案.
【解答】解:(1)根据题意,若M与A重合,即椭圆的右顶点的坐标为(2,0);
则m=2;椭圆的焦点在x轴上;
则c=;
则椭圆焦点的坐标为(,0),(﹣,0);
(2)若m=3,则椭圆的方程为+y2=1;
变形可得y2=1﹣,
|PA|2=(x﹣2)2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5;
又由﹣3≤x≤3,
根据二次函数的性质,分析可得,
x=﹣3时,|PA|2=﹣4x+5取得最大值,且最大值为25;
x=时,|PA|2=﹣4x+5取得最小值,且最小值为;
则|PA|的最大值为5,|PA|的最小值为;
(3)设动点P(x,y),
则|PA|2=(x﹣2)2+y2=x2﹣4x+4+y2=(x﹣)2﹣+5,且﹣m≤x≤m;
当x=m时,|PA|取得最小值,且>0,
则≥m,且m>1;
解得1<m≤1+.
【点评】本题考查椭圆的基本性质,解题时要结合二次函数的性质进行分析,注意换元法的运用即可.
23.(18分)(2011•上海)已知数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7 (n∈N*).将集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,cn,…
(1)求三个最小的数,使它们既是数列{an} 中的项,又是数列{bn}中的项;
(2)数列c1,c2,c3,…,c40 中有多少项不是数列{bn}中的项?请说明理由;
(3)求数列{cn}的前4n 项和S4n(n∈N*).
【考点】等差数列的性质.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】(1)分别由数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an和bn列举出各项,即可找出既是数列{an} 中的项,又是数列{bn}中的项的三个最小的数;
(2)根据题意列举出数列{cn}的40项,找出不是数列{bn}中的项即可;
(3)表示出数列{bn}中的第3k﹣2,3k﹣1及3k项,表示出数列{an} 中的第2k﹣1,及2k项,把各项按从小到大的顺序排列,即可得到数列{cn}的通项公式,并求出数列{cn}的第4k﹣3,4k﹣2,4k﹣1及4k项的和,把数列{cn}的前4n项和每四项结合,利用等差数列的前n项和的公式即可求出数列{cn}的前4n项和S4n.
【解答】解:(1)因为数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7,
所以数列{an}的项为:9,12,15,18,21,24,…;数列{bn} 的项为:9,11,13,15,17,19,21,23,…,
则既是数列{an} 中的项,又是数列{bn}中的项的三个最小的数为:9,15,21;
(2)数列c1,c2,c3,…,c40的项分别为:
9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37,
39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67,
则不是数列{bn}中的项有12,18,24,30,36,42,48,54,60,66共10项;
(3)b3k﹣2=2(3k﹣2)+7=6k+3=a2k﹣1,b3k﹣1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7,
∵6k+3<6k+5<6k+6<6k+7,
∴cn=,k∈N+,c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+ck=24k+21,
则S4n=(c1+c2+c3+c4)+…+(c4n﹣3+c4n﹣2+c4n﹣1+c4n)=24×+21n=12n2+33n.
【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值,是一道中档题.