专题达标检测
一、选择题
1.设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有a⊕b∈A,则
称A对运算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都
封闭的是 ( )
A.自然数集 B.整数集
C.有理数集 D.无理数集
解析:A:自然数集对减法,除法运算不封闭,如1-2=-1∉N,1÷2=∉N.
B:整数集对除法运算不封闭,如1÷2=∉Z.
C:有理数集对四则运算是封闭的.
D:无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭.
如(+1)+(1-)=2,
-=0,×=2,
÷=1,其运算结果都不属于无理数集.
答案:C
2.(2010·武汉质检)若x,y∈R,则“x>1或y>2”是“x+y>3”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:本题考查充分必要条件的判断.
据已知若x>1或y>2⇒/ x+y>3,反之研究当x+y>3时是否推出x>1或y>2,
由于命题:x≤1且y≤2⇒x+y≤3为真,其逆否命题即为x+y>3⇒x>1或y>2,由命
题的等价性可知命题为真,因此x>1或y>2是x+y>3成立的一个必要但不充分条件.
答案:B
3.(2010·济南模拟)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos 2x的图象
( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:本题考查函数图象的平移变换.
由y=cos 2x⇒y=sin⇒y=sin⇒y=sin⇒y=sin2,
又y=sin⇒y=sin2,
可见由y=sin2的图象向右移动+==个单位,得到y=sin2[
的图象.
答案:B
4.已知抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F的任一直线与抛物线交于M、N两点,则+
为定值 ( )
A. B. C. D.
解析:取通径MN,则|FN|=|FM|=p,
+=.
答案:B
5.(2009·江西)甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相
等,现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇
的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:甲、乙两队分到同组概率为P1=,不同组概率为P2=,又∵各队取胜概率
均为,
∴甲、乙两队相遇概率为P=+××=.
答案:D
6.(2009·陕西)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,则 ( )
A.f(3)
2>1,故有f(3)0成立,则实数x的取值范围是
________.
解析:考虑命题:“存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立”的否定为
“任取a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2≤0恒成立“.变换主元得到f(a)=a(x2
+x)-2x-2≤0,对任意的a∈[1,3]恒成立,则只要满足f(1)≤0且f(3)≤0即可,所
以-1≤x≤,故x的取值范围是x<-1或x>.
答案:x<-1或x>
10.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少有一个值c,使
f(c)>0,则实数p的取值范围为________.
解析:此题从反面分析,采取补集法则比较简单.如果在[-1,1]内没有点满足
f(c)>0,
则⇒
⇒p≤-3或p≥.
取补集为,即为满足条件的p的取值范围.
答案:-3b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).
(1)求椭圆C的方程:
(2)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于
点M,
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
方法一:(1)解:由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)(i)证明:由题意得F(1,0)、N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),+=1.①
AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0,
n(x-4)+(m-4)y=0.
设M(x0,y0),则有
由②③得x0=,y0=.
由于+=+=
==1.
所以点M恒在椭圆C上.
(ⅱ)解:设AM的方程为x=ty+1,代入+=1,
得(3t2+4)y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1)、M(x2,y2),则有y1+y2=
y1y2=,
|y1-y2|==.
令3t2+4=λ(λ≥4),则
|y1-y2|=
=4
=4 ,
因为λ≥4,0<≤,所以当=,
即λ=4,t=0时,|y1-y2|有最大值3,此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN=|NF|·|y1-y2|有最大值.
方法二:(1)同方法一.
(2)(ⅰ)证明:由题意得F(1,0)、N(4,0),
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),+=1.①
AF与BN的方程分别为n(x-1)-(m-1)y=0,②
n(x-4)+(m-4)y=0.③
由②③得:当x≠时,m=,n=.④
把④代入①,得+=1(y≠0).
当x=时,由②③得
解得与n≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为+=1(y≠0),
即点M恒在椭圆C上.
(ⅱ)同方法一