2014年版高考数学理55不等式选讲二轮考点专练 8页

考点55 不等式选讲 一、选择题 ‎1.（2013·安徽高考理科·Ｔ4）“a≤0”“是函数在区间内单调递增”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解题指南】 画出函数的简图，数形结合判断。‎ ‎【解析】选C.由函数在区间内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项C正确。‎ 二、填空题 ‎2. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 . ‎ ‎【解题指南】利用柯西不等式求解.‎ ‎【解析】,且仅当 时取最小值 2.‎ ‎【答案】 2.‎ ‎3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .‎ ‎【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识表示数轴上某点到a，b的距离之和即可得解.‎ ‎【解析】函数的值域为： .‎ 所以，不等式的解集为R。‎ ‎【答案】 R. ‎ ‎4.（2013·江西高考理科·Ｔ15）在实数范围内，不等式的解集为___________.‎ ‎【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.‎ ‎【解析】由绝对值的意义，等价于，即 ‎，即.‎ ‎【答案】.‎ ‎5. （2013·重庆高考理科·Ｔ16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 ‎ ‎【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.‎ ‎【解析】不等式无解，即 因为,所以 ‎【答案】 .‎ ‎6. （2013·湖北高考理科·Ｔ13）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z= ‎ ‎【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x，y，z的值。‎ ‎【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），当且仅当时取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，，，x+y+z=‎ ‎【答案】 .‎ ‎7. （2013·湖南高考理科·Ｔ10）已知a,b,c∈R,a+2b+‎3c=6,则a2+4b2+‎9c2的最小值为　　　　.‎ ‎【解题指南】本题是利用柯西不等式求最值 ‎ ‎【解析】因为，所以 ‎【答案】 12.‎ 三、解答题 ‎8.（2013·辽宁高考文科·Ｔ24）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ24）相同 已知函数 当时，求不等式的解集；‎ 已知关于的不等式的解集为，求的值。‎ ‎【解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.‎ ‎【解析】当时，‎ 当时，由；‎ 当时，由，不成立；‎ 当时，由；‎ 综上，‎ 所以，当时，不等式的解集为 记 则 由得，‎ 即 由已知不等式的解集为 亦即的解集为 所以解得24. ‎ ‎9.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ24）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ24）相同 已知函数,‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设,且当)时，,求的取值范围.‎ ‎【解析】当时，不等式化为.‎ 设函数，则 其图象如图所示，‎ 从图象可知，当且仅当时，.所以原不等式的解集是.‎ ‎（Ⅱ）当时，.‎ 不等式化为.‎ 所以对都成立，故，即.‎ 从而的取值范围为 ‎10. （2013·湖南高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).‎ ‎(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.‎ ‎【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.‎ ‎(2)先写出点P到三个居民区的“L路径”,则点P到三个居民区的“L路径”长度值和的最小值为三个“L路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理. ‎ ‎【解析】设点P的坐标为(x,y),‎ ‎(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).‎ ‎(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.‎ ‎①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,‎ 因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,　(*)‎ 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,‎ 又因为|x+10|+|x-14|≥24.　(**)‎ 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.‎ 所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立,‎ d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.‎ ‎②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.‎ 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,‎ d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.‎ 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.‎ 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ ‎11.（2013·安徽高考理科·Ｔ20）‎ 设函数，证明：‎ ‎（1）对每个，存在唯一的，满足；‎ ‎（2）对任意，由（1）中构成的数列满足。‎ ‎【解题指南】 （1）利用导数证明在内单调递增，证明在内有零点；（2）利用（1）得的递减函数，联立与得的关系式，适当放缩证明。‎ ‎【解析】（1）对每个，当x>0时，内单调递增，由于，当，‎ 又 ‎=，所以存在唯一的满足。‎ （2） 当x>0时，，故 由内单调递增知，‎ 为单调递减数列，从而对任意，，对任意，由于 ①‎ ‎ ②‎ ①式减去②式并移项，利用得 ‎，‎ 因此，对任意，都有。‎ ‎12.（2013·福建高考理科·Ｔ21）设不等式的解集为A,且 ‎（Ⅰ）求的值 （Ⅱ）求函数的最小值 ‎【解析】（Ⅰ）因为，且，所以，且 解得，又因为，所以 ‎（Ⅱ）因为 当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.‎ ‎13.. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ24）与（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ24）相同 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.‎ ‎(2) 证，也即证 可分别证然后相加即得.‎ ‎【解析】（1）由得 由题设得即 所以，即当且仅当“ ”时等号成立。‎ ‎（2）因为 当且仅当“”时等号成立.‎ 故，即 所以.‎