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- 2021-05-13 发布
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2015湖北高考文科数学详解
一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.为虚数单位,
A. B. C. D.1
【答案】.
【解析】
试题分析:因为,所以应选.
考点:1、复数的四则运算;
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
【答案】.
考点:1、简单的随机抽样;
3.命题“,”的否定是
A., B.,
C., D.,
【答案】.
【解析】
试题分析:由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为,,故应选.
考点:1、特称命题;2、全称命题;
4.已知变量和满足关系,变量与正相关. 下列结论中正确的是
A.与负相关,与负相关 B.与正相关,与正相关
C.与正相关,与负相关 D.与负相关,与正相关
【答案】.
【解析】
试题分析:因为变量和满足关系,其中,所以与成负相关;又因为变量与正相关,不妨设,则将代入即可得到:,所以,所以与负相关,综上可知,应选.
考点:1、线性回归方程;
5.表示空间中的两条直线,若p:是异面直线;q:不相交,则
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】.
考点:1、充分条件;2、必要条件;
6.函数的定义域为
A. B.
C. D.
【答案】.
【解析】
试题分析:由函数的表达式可知,函数的定义域应满足条件:,解之得,即函数的定义域为,故应选.
考点:1、函数的定义域求法;
7.设,定义符号函数 则
A. B.
C. D.
【答案】.
考点:1、新定义;2、函数及其函数表示;
8.在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”
的概率,则
A. B.
C. D.
【答案】.
【解析】
试题分析:由题意知,事件“”的概率为,事件“”的概率,其中,,所以,故应选.
考点:1、几何概型;2、微积分基本定理;
9.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位
长度,得到离心率为的双曲线,则
A.对任意的, B.当时,;当时,
C.对任意的, D.当时,;当时,
【答案】.
考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的简单几何性质;
10.已知集合,,定义集合
,则中元素的个数为
A.77 B.49 C.45 D.30
【答案】.
【解析】
试题分析:由题意知,,,所以由新定义集合可知,或.当时,,,所以此时
中元素的个数有:个;当时,,,这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同,即此时有,由分类计数原理知,中元素的个数为个,故应选.
考点:1、分类计数原理;2、新定义;
第Ⅱ卷(共110分)(非选择题共110分)
二、填空题(每题7分,满分36分,将答案填在答题纸上)
11.已知向量,,则_________.
【答案】.
考点:1、平面向量的数量积的应用;
12.若变量满足约束条件 则的最大值是_________.
【答案】.
【解析】
试题分析:首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示,然后根据图像可得: 目标函数过点取得最大值,即,故应填.
考点:1、简单的线性规划问题;
13.函数的零点个数为_________.
【答案】.
【解析】
试题分析:函数的零点个数等价于方程的根的个数,即函数与的图像交点个数.于是,分别画出其函数图像如下图所示,由图可知,函数与的图像有2个交点.
考点:1、函数与方程;2、函数图像;
14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额
(单位:万元)都在区间内,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)直方图中的_________;
(Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间内的购物者的人数为_________.
【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000.
考点:1、频率分布直方图;
15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度
_________m.
【答案】.
考点:1、正弦定理;2、解三角形的实际应用举例;
16.如图,已知圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且.
(Ⅰ)圆的标准方程为_________;
(Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:设点的坐标为,则由圆与轴相切于点知,点的横坐标为,即,半
径.又因为,所以,即,所以圆的标准方程为
,
令得:.设圆在点处的切线方程为,则圆心到其距离为:
,解之得.即圆在点处的切线方程为,于是令可得
,即圆在点处的切线在轴上的截距为,故应填和.
考点:1、直线与圆的位置关系;2、直线的方程;
17.a为实数,函数在区间上的最大值记为. 当_________时,的值最小.
【答案】.
②::,
③::
④::,
综上,当时,取到最小值
考点:1、分段函数的最值问题;2、函数在区间上的最值问题;
三、解答题 (本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.(本小题满分12分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象
时,列表并填入了部分数据,如下表:
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解
析式;
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到图象,求
的图象离原点最近的对称中心.
【答案】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得.数据补全如下表:
且函数表达式为;(Ⅱ)离原点最近的对称中心为.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据已知表格中的数据可得方程组,解之可得函数
的表达式,进而可补全其表格即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)并结合函数图像平移的性质可得,函数的表达式,进而求出其图像的对称中心坐标,取出其距离原点最近的对称中心即可.
试题解析:(Ⅰ)根据表中已知数据可得:,,,解得. 数据补全如下表:
且函数表达式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,因此 .因为的对称中心为,. 令,解得,.即图象的对称中心为,,其中离原点最近的对称中心为.
考点:1、函数的图像及其性质;2、三角函数的图像及其性质;
19.(本小题满分12分)
设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q.已知,,,
.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)当时,记,求数列的前n项和.
【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由已知可列出方程组,解之得即可得出所求的结果;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,于是,易发现:的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.
试题解析:(Ⅰ)由题意有, 即,解得 或
故或.
(Ⅱ)由,知,,故,于是
, ①
. ②
①-②可得
,
故.
考点:1、等差数列;2、等比数列;3、错位相减法;
20.(本小题满分13分)
《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马中,侧棱底面,且,点是的
中点,连接.
(Ⅰ)证明:平面. 试判断四面体是
否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需
写出结论);若不是,请说明理由;
(Ⅱ)记阳马的体积为,四面体的
体积为,求的值.
【答案】(Ⅰ)因为底面,所以. 由底面为长方形,有,而,所以平面. 平面,所以. 又因为,点是的中点,所以. 而,所以平面.四面体是一个鳖臑;(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由侧棱底面易知,;而底面为长方形,有,由线面垂直的判定定理知平面,进而由线面垂直的性质定理可得;在中,易得,再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面,平面,进一步可得四面体的四个面都是直角三角形,即可得出结论;(Ⅱ)结合(Ⅰ)证明结论,并根据棱锥的体积公式分别求出,即可得出所求结果.
试题解析:(Ⅰ)因为底面,所以. 由底面为长方形,有,而,所以平面. 平面,所以. 又因为,点是的中点,所以. 而,所以平面. 由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别是
(Ⅱ)由已知,是阳马的高,所以;由(Ⅰ)知,是鳖臑的高, ,所以.在△中,因为,点是的中点,所以,于是
考点:1、直线与平面垂直的判定定理;2、直线与平面垂直的性质定理;3、简单几何体的体积;
21.(本小题满分14分)
设函数,的定义域均为,且是奇函数,是偶函数,
,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求,的解析式,并证明:当时,,;
(Ⅱ)设,,证明:当时,.
【答案】(Ⅰ),.证明:当时,,,故
又由基本不等式,有,即 (Ⅱ)由(Ⅰ)得
⑤⑥
当时,等价于 ⑦ 等价于
⑧于是设函数 ,由⑤⑥,有
当时,(1)若,由③④,得,故在上为增函数,从而,即,故⑦成立.(2)若,由③④,得,故在上为减函数,从而,即,故⑧成立.综合⑦⑧,得 .
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将等式中用来替换,并结合已知是奇函数,是偶函数可得
于是联立方程组即可求出的表达式;当时,由指数与指数函数的性质知,,进而可得到然后再由基本不等式即可得出(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.于是要证明,即证,也就是证明,即证于是构造函数
,利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.
试题解析:(Ⅰ)由, 的奇偶性及,①得: ②
联立①②解得,.
当时,,,故 ③
又由基本不等式,有,即 ④
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 , ⑤
, ⑥
当时,等价于, ⑦
等价于 ⑧
设函数 ,由⑤⑥,有
当时,(1)若,由③④,得,故在上为增函数,从而,即,故⑦成立.(2)若,由③④,得,故在上为减函数,从而,即,故⑧成立.综合⑦⑧,得 .
考点:1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用;2、函数的基本性质;
22.(本小题满分14分)
一种画椭圆的工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链
与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与椭圆有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当直线与椭圆在四个顶点处相切时,的面积取得最小值8.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由题意并结合三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)知,,即,这表明椭圆的长半轴长为,短半轴长为,即可求出椭圆的方程;
(Ⅱ)首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况,当直线的斜率不存在时,易知直线的方程为或,即可求出的面积的值;当直线的斜率存在时,设出直线的方程,然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程,然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知,即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标,并根据原点到直线的距离公式可求得,于是的面积可表示为消去参数可得,于是分两种情况进行讨论:①当时;②当时,分别求出的面积的最小值,并比较即可求出的面积取得最小值.
试题解析:(Ⅰ)因为,当在x轴上时,等号成立;同理
,当重合,即轴时,等号成立. 所以椭圆C
的中心为原点,长半轴长为,短半轴长为,其方程为
(Ⅱ)(1)当直线的斜率不存在时,直线为或,都有.
(2)当直线的斜率存在时,设直线, 由 消去,可得
.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,所以
,即. ①
又由 可得;同理可得.由原点到直线的距离为和,可得
. ②
将①代入②得,. 当时,;当时,.因,则,,所以
,当且仅当时取等号.所以当时,的最小值为8.
综合(1)(2)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,的面积取得最小值8.
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆相交综合问题;