高考直线与圆锥曲线题型归类解析 24页

圆锥曲线题型归类解析 ‎1.(2016新课标全国卷I，理5)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则 取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：表示双曲线，则，∴‎ 由双曲线性质知：，其中是半焦距，∴焦距，解得 ‎∴，故选A．‎ ‎2.(2016新课标全国卷I，理10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为 ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理,设抛物线为，设圆的方程为，如图： 设，，点在抛物线上，∴……①；点在圆上，‎ ‎∴……②；点在圆上，‎ ‎∴……③；联立①②③解得：，‎ 焦点到准线的距离为．故选B．‎ ‎3.(2015新课标全国卷I，理5)已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )‎ ‎（A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）‎ ‎4.（2015新课标全国卷II，理11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．‎ ‎5. (2014新课标全国卷I，理5)已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为. .3 . .‎ ‎6. (2014新课标全国卷I，理10)已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎7．（2013·新课标Ⅰ高考理）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为 (　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎【解析】因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝ ＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，选择C.‎ ‎8．（2013·新课标Ⅰ高考理）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 (　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝‎1 ‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选择D.‎ ‎9．（2013·新课标Ⅱ高考理）设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为 (　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x ‎【解析】由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF＝，AM＝.由已知得，AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.‎ ‎10.（2013·新课标Ⅱ高考理）已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 (　　)‎ A．(0,1) B. C. D. ‎【解析】由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.‎ 考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故答案为B.‎ ‎11．（2012·新课标高考理）设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选C 由题意可得|PF2|＝|F‎1F2|，所以2(a－c)＝‎2c，所以‎3a＝‎4c，所以e＝.‎ ‎12．（2012·新课标高考理）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 (　　)‎ A. B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ ‎【解析】选C 抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：‎ x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.‎ ‎13．（2011·新课标高考）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 (　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎【解析】选B 设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×‎2a.∴b2＝‎2a2.c2＝a2＋b2＝‎3a2，∴e＝＝.‎ ‎14.（2015新课标全国卷I，理14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .‎ ‎【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为 ‎.‎ ‎15．（2011·新课标高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为____．‎ ‎【解析】根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得‎4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎16．（2016·新课标高考）（本小题满分12分）‎ ‎ 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．‎ ‎ （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．‎ ‎【解析】：⑴ 圆A整理为，A坐标，如图，‎ ‎，则，由，‎ 则，‎ 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为，()；‎ ‎⑵ ；设，因为，设，‎ 联立： ，则 圆心到距离，‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎17．（2015新课标全国卷I，理20）(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．‎ ‎(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．‎ ‎（Ⅰ）由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为 ‎，即. 故所求切线方程为或. ‎ ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ‎ ‎∴. ∴==.‎ ‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ ‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ‎ ‎18. （2014新课标全国卷I，理20） (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎19. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T20)(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆+=1的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率.‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且=5,求a,b.‎ ‎【解析】(1)因为由题知, =,所以·=,且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,‎ 解得e=.所以C的离心率为.‎ ‎(2)由三角形中位线知识可知,MF2=2×2,即=4.设F1N=m,由题可知MF1=‎‎4m ‎.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,- c.由焦半径公式可得: MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+c2.联立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.‎ ‎20．（2013·新课标Ⅰ高考理）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ 解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.所以|AB|＝|x2－x1|＝.当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝2或|AB|＝. ‎ ‎21．（2013·新课标Ⅱ高考理）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ 解： (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，‎ 由此可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由解得或因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝ .‎ 由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝ .‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为. ‎ ‎22．（2012·新课标高考理）设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ 解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.‎ ‎(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，‎ 所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.‎ 因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ ‎23．（2011·新课标高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足MB∥OA，MA·AB＝MB·BA，M点的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．‎ 解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．所以MA＝(－x，－1－y)，MB＝(0，－3－y)，‎ AB＝(x，－2)．再由题意可知(MA＋MB)·AB＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0‎ 所以曲线C的方程为y＝x2－2.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，因为y ′＝x，所以l的斜率为x0.因此直线l的方程为 y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0.则O点到l的距离d＝.又y0＝x－2，所以 d＝＝(＋)≥2，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.‎ 一、 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程代入曲线的方程，消去（或者）得到关于（或）的一元二次方程，即，消去后得.‎ （1） 当时，直线与圆锥曲线有一个交点，此时，若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行（或顶点且与抛物线对称轴垂直）。‎ （2） 当时，若，直线与曲线有两个不同的交点；若，直线与曲线有一个交点（注意不一定相切）；若，直线与曲线相离（无交点）。‎ 二、 圆锥曲线的弦 定义：连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦。‎ 直线：，曲线：，为直线与曲线的两个不同交点，则是方程组的两组解，消去（或者）得.其中是方程的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可得 弦长公式：‎ 或。‎ 三、已知弦的中点，研究的斜率与方程 ‎（1）是椭圆的一条弦，的中点，则直线的斜率为。运用点差法求直线的斜率：设是椭圆上不同的两点，则，两式相减得，整理得。‎ （1） 类似的，若是双曲线的一条弦，的中点，则；若曲线是抛物线，则。‎ 四、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下：‎ （1） 变量——选择适当的量为变量；‎ （2） 函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数；‎ （3） 定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。‎ 求定值问题常见的方法有两种：‎ （1） 从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关；‎ （2） 直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。‎ 五、求最值问题常用的两种方法 ‎（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。‎ ‎（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。‎ 六、求定点、定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”‎ ‎（1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）；‎ ‎（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用；‎ ‎（3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。‎ 七、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。‎ ‎【题型归纳及思路提示】‎ 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【思路提示】‎ ‎ （1）直线与圆锥曲线有两个不同交点的判定：①联立方程组消元，得到一个一元二次方程，△>0；②数形结合，例如直线与双曲线有两个不同交点，可通过直线与双曲线的一条渐近线平行得到。‎ ‎ （2）直线与圆锥曲线有一个交点的判定：数形结合，直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。‎ ‎【例1】已知两点,给出下列曲线方程：‎ ‎①；②；③；④；‎ 在曲线上存在点，满足的所有曲线方程是________________(填序号）‎ 变式1 对于抛物线：，我们称满足的点在抛物线内部，若点在抛物线内部，则直线与抛物线的位置关系是________。‎ 变式2 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有交点，则直线 的斜率的取值范围是_______________。‎ ‎【例2】如下图，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于两点。‎ ‎（1）若，求的值；（2）若为线段的中点，求证与抛物线相切。‎ ‎【评注】①过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于两点，过两点的切线的交点的轨迹是准线；过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于两点，过两点的切线的交点的轨迹是准线；②两切线；③。‎ 变式1 如下图所示，分别是椭圆的左右焦点，过作轴的垂线交椭圆的上半部分与点，过作直线的垂线交直线于点。求证：直线与椭圆只有一个交点。‎ 题型二、中点弦（对称）问题 ‎【思路提示】此类问题一般有3种类型：‎ ‎（1）求中点弦所在直线的方程问题：（2）求弦中点的轨迹方程问题：（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题，首先要考虑的是点差法。‎ ‎【例3】已知过点的直线与椭圆交于两点，且 ‎，求直线的方程。‎ 变式1 已知椭圆方程为.‎ （1） 求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交，求被直线截得的弦的中点的轨迹方程。‎ ‎【例4】已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为，求证：对任意，都有 ‎（1）设则两式相减得，而 (2)设的方程为代入，解得.记，则，于是.故直线的斜率为其方程为代入椭圆方程得，解得或，因此得，于是直线的斜率为，因此所以 变式1 已知曲线，过原点斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，且它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点。是否存在，使得对任意，都有若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【例5】已知椭圆：，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有两个不同的点关于这条直线对称。‎ 变式1 已知椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率， (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；‎ ‎(Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．‎ 变式2 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.‎ 题型三、弦长与面积问题 ‎【思路提示】与弦长有关的问题中，一般有三类问题：‎ ‎（1）弦长公式：‎ 或；‎ （1） 与焦点有关的弦长计算，利用定义式求解；‎ （2） 涉及到面积的计算问题。‎ ‎【例6】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则________。‎ 变式1 已知椭圆：，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长。‎ ‎【例7】已知椭圆：，过点作圆的切线，交椭圆于两点.（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；‎ ‎（2）将表示为的函数，并求的最大值。‎ 变式1 已知椭圆：经过点，其离心率为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，以线段为邻边作平行四边形，其中 顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围。‎ 变式2 已知椭圆：的右顶点，离心率为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆上的一个动点，过作线段的垂线交椭圆于两点，求的取值范围。‎ ‎【例8】已知是椭圆的左右焦点，是过的一条动弦，求的面积的最大值。‎ 变式1 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以 直径的的圆经过椭圆的右顶点，求的面积的最大值。‎ ‎【例9】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的最小值.‎ 变式1 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆的上顶点，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，如下图所示。‎ ‎（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形的最大值.‎ 题型四、平面向量在解析几何中的应用 ‎【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个：‎ （1） 用向量的数量积解决有关角的问题：‎ ‎ ①直角；②钝角；‎ ‎③锐角。‎ （1） 利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。‎ A、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题 其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式 ‎。‎ ‎【例10.】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点.求证：是钝角三角形.‎ ‎【评注】若直线与抛物线交于两点，则：‎ （1） 直线在轴上的截距等于时，；‎ （2） 直线在轴上的截距大于时，；‎ （3） 直线在轴上的截距大于且小于时，。‎ 变式1 如题（20）图，设椭圆的中心为原点O，长轴在轴上，上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为是面积为4的直角三角形 ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程 ‎（2）过作直线交椭圆于两点，使,求直线的方程 变式2 设分别为椭圆的左、右顶点，为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆交于异于的点.证明：点在以为直径的圆内。‎ ‎3 已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. ‎ ‎【例11】在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于两点.‎ ‎（1）求的方程；（2）若，求的值.‎ 变式1 椭圆的左、右、上、下顶点为，，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）设为过原点的直线，直线与椭圆交于两点，且，，是否存在上述直线使成立，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ 变式2 椭圆的一个焦点是，为原点坐标。设过点的直线交椭圆于两点，若直线交绕点任意转动，恒有，求实数的取值范围。‎ B、利用向量的坐标表示解决共线问题 ‎ ‎ ‎【例12】在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点。（1）求的取值范围；（2）设是椭圆的右顶点和上顶点，是否存在常数，使共线？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 变式1 设椭圆的左右焦点为，离心率，直线，是上的两个动点，。（1）若，求的值；（2）证明：当取最小值时，共线。‎ ‎【例13】设是椭圆上的两点，并且点满足，当时，求直线斜率的取值范围。‎ 变式1 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点。‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于两个不同点，设 ‎，若，求的取值范围。‎ 变式2 过点的直线交抛物线于两点，交直线于点，已知 ‎ ，求的值。‎ 题型五、定点问题 ‎【思路提示】（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线过定点 ‎；（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为，‎ 解方程组，即得定点。‎ 模型一：三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点。‎ ‎【例14】已知椭圆：，直线与椭圆交于两点（非顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证直线过定点，并求定点坐标。‎ ‎【评注】已知椭圆：，直线与椭圆交于两点（非顶点），①若以为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线过定点；‎ ‎②若以为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线过定点；‎ ‎③若以为直径的圆过椭圆的上顶点，则直线过定点；‎ ‎④若以为直径的圆过椭圆的下顶点，则直线过定点；‎ ‎⑤类比椭圆，对于双曲线上异于顶点的两动点，若以为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线过定点 ‎⑥类比椭圆，对于双曲线上异于顶点的两动点，若以为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线过定点。‎ 变式1 已知椭圆的左顶点为，不过的直线与椭圆交于不同的两点.当时，求的关系，并证明直线过定点。‎ 变式2 已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.‎ ‎（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;‎ ‎（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【例15】已知抛物线上异于顶点的两动点，满足以为直径的圆过顶点.求证：直线过定点，并求出定点坐标。‎ ‎【评注】（1）①将斜率存在的直线设为，将直线斜率不为的直线设为；‎ ‎②抛物线中；‎ ‎③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为。‎ ‎（2）抛物线上异于顶点的两动点，满足，则直线过定点；抛物线上异于顶点的两动点，满足，则直线过定点。‎ 变式1 如图10-39所示，已知定点在抛物线上，过点作两直线分别交抛物线于，两点，且以为直径的圆过点.求证：直线过定点，并求定点坐标。‎ ‎ ‎ 变式2 已知抛物线，过点作两直线分别交抛物线于，两点，且的斜率 满足。求证：直线过定点，并求定点坐标。‎ 模型二：三点圆锥曲线中，若过焦点的弦为，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点，使得为定值。‎ ‎【例16】已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎1 已知双曲线的左、右焦点为，过的动直线与双曲线交于，两点.在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 题型六、定直线问题 模型：已知椭圆外一点，当过的动直线与椭圆交于不同的两点，时，在线段上取一点，满足。‎ 求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程。‎ 证明：设，由题意知 设在，之间，，又在，之间，故，又因为，所以。由得，解得。‎ 同理，由得解得。‎ 因为点在椭圆上，所以，即 ①‎ 同理，由点在椭圆上，可得 ②‎ 由①—②整理得 所以点在定直线上。类比椭圆，对于双曲线有点在定直线上。再由，的对等性知，当在椭圆内，上述结论仍成立，双曲线亦同。‎ ‎ 模型： 已知抛物线，定点不在抛物线上，过的动直线与抛物线交于不同的两点，，在线段上取一点，满足。‎ 求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程。‎ 证明：设，由题意知 ‎ 设在，之间，，又在，之间，故，‎ 又因为，所以。由得 ‎，解得。所以 同理，由得解得。‎ 所以因为点在抛物线上，‎ 所以即①‎ 同理，由点在抛物线上可得②‎ 由①—②整理得所以点在直线上。‎ ‎【评注】三大圆锥曲线中，当点在曲线上时，相应的定直线，‎ ‎，均为在定点处的切线。‎ ‎【例17】已知椭圆:过点，且左焦点为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，时，‎ 在线段上取一点，满足。‎ 求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程。‎ 题型七、定值问题 ‎【思路提示】求定值问题的方法有两种：（1）从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关。这符合一般与特殊的思维辩证关系。简称为：特殊探路，一般论证。‎ ‎（2）直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。‎ 模型：在三大曲线中，曲线上的一定点与曲线上的两动点，满足，则直线的斜率是定值。‎ ‎【例18】已知椭圆:，椭圆上的点，是椭圆上的两动点，若。求证：直线的斜率为定值，并求出该定值。‎ 变式1 已知是长轴为4，焦点在轴上的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心，且。（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果椭圆上的两点，使得的平分线垂直于，问是否存在实数使得 ‎？说明理由。‎ 变式2 如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于。‎ ‎（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；‎ ‎（II）当与的斜率存在且倾斜角互补时，‎ 求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。‎ 题型八、最值问题 ‎【思路提示】有两种求解方法：一是几何法，所求最值量具有明显的几何意义时，可利用 几何性质结合图形直观求解；二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数最值的方法求解，同时要注意变量的范围。‎ ‎【例19】设椭圆的左、右焦点为，点是椭圆上的动点，点，求的最大值和最小值。‎ ‎【评注】这里利用椭圆定义三角形两边之差小于（共线反向时等于）第三边，使与曲线有关的最值转化为直线段的最值。应明确此处不能用，因为等号取不到，若要取等号，则必须在线段上，但事实上不可能。‎ 变式1 如下图所示，，已知点是抛物线上的点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，求的最小值。‎ 变式2 已知点为双曲线上的动点，，.‎ 求的最大值及此时点的坐标。‎ ‎【例19】已知椭圆，点是椭圆上的动点，，‎ 求的最大值。‎ 变式1 已知椭圆在第一象限部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴的交点分别为，且向量，求的最小值。‎ ‎【例20】如下图所示，已知抛物线与圆交于四点。（1）求的取值范围；（2）当四边形的面积最大时，求对角线 的交点的坐标。‎