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- 2021-05-13 发布
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【14湖北省2】(本小题满分13分)如图,已知、是抛物线:上的两个不同的点,且,,直线是线段的垂直平分线.设椭圆的方程为.
(1)当、在上移动时,求直线的斜率的取值范围;
(2)已知直线与抛物线交于、两点,与椭圆交于、两点,设线段的中点为,线段的中点为,若,求椭圆的离心率的取值范围.
【14湖北省2答案】(1)由题意知,直线的斜率为,
又,,∴直线的斜率为. (2分)
∵,由,得,即(当时,等号成立),∴.
∵、是不同的两点,即,∴,∴,
即或.
∴直线的斜率的取值范围为. (4分)
(2)由题意易得,线段的中点坐标为.
∵直线是线段的垂直平分线,
∴直线的方程为, (5分)
又∵,,即,
∴直线的方程为. (6分)
将直线的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,
, ①
.②
易知方程①的判别式,
方程②的判别式,
由(1)易知,又,∴,∴恒成立.
设,则
,
∴线段的中点的坐标为,
又∵,
∴线段的中点的坐标为. (9分)
∴,,由得,
,即, ∴. (10分)
∵,∴,,
∴.由题易知,椭圆的离心率,,
∴,∴,∴.
故椭圆的离心率的取值范围为. (13分)
【14湖北1】(满分14分)在平面直角坐标系中,点M到点的距离比它到轴的距离多1,记点M的轨迹为C.
(1) 求轨迹为C的方程
设斜率为k的直线过定点,求直线与轨迹C恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。
【14湖北1答案】
【14全国卷1】20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(I)求的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
【14全国卷1答案】(Ⅰ) 设(),由条件知,得= 又,
所以a=2=, ,故的方程. ……….6分
(Ⅱ)依题意当轴不合题意,故设直线l:,设
将代入,得,
当,即时,
从而= +
又点O到直线PQ的距离,所以OPQ的面积 ,
设,则,,
当且仅当,时等号成立,且满足,所以当OPQ的面积最大时,的方程为: 或. …………………………12分
【14全国卷2】(本小题满分12分)
设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.
(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
【14全国卷2答案】
(1)
(2)
【14福建】
【14福建答案】
【14广东】20.(14分)已知椭圆的一个焦点为,离心率为,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
【14广东答案】
【14湖南】
1、如图7,O为坐标原点,椭圆:(a>b>0)的左、右焦点分别为,,离心率为:双曲线:的左、右焦点分别为,,离心率为。已知=,且。
(Ⅰ)求、的的方程;
(Ⅱ)过做的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值
【14湖南答案】
解:(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.学科网
(1)
由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,因为为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得,则直线的方程为,联立直
【14辽宁】20. (本小题满分12分)
圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.
(1)求的方程;
(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.
【14辽宁答案】
【14山东】(21)(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
20. 【14陕西】(本小题满分13分)
如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.
(1) 求的值;
(2) 过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.
【14陕西答案】
(1)
(2)
【14四川】20.已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q。
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标。
【14四川答案】解:(1)依条件
所以椭圆C的标准方程为
(2)设,,,又设中点为
(i)因为,所以直线的方程为:
所以
于是,
所以。因为
所以,,三点共线
即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)
(ii),
所以,令()
则(当且仅当时取“”)
所以当最小时,即或,此时点T的坐标为或
【13湖北】21、如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,。记,和的面积分别为和。
(I)当直线与轴重合时,若,求的值;
(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由。
【13湖北答案】(I),
解得:(舍去小于1的根)
(II)设椭圆,,直线:
同理可得,
又和的的高相等
如果存在非零实数使得,则有,
即:,解得
当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线。
【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂)
【12湖北】21.(本小题满分13分)
设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(2)过原点且斜率为的直线交曲线于两点,其中在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线交曲线于另一点,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。