高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析 10页

圆锥曲线综合题型归纳解析 ‎【知识点精讲】‎ 一、 定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下：‎ （1） 变量——选择适当的量为变量；‎ （2） 函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数；‎ （3） 定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。‎ 求定值问题常见的方法有两种：‎ （1） 从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关；‎ （2） 直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。‎ 二、 求最值问题常用的两种方法 ‎（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。‎ ‎（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。‎ 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”‎ ‎（1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）；‎ ‎（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用；‎ ‎（3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。‎ 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。‎ 题型一、平面向量在解析几何中的应用 ‎【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个：‎ （1） 用向量的数量积解决有关角的问题：‎ ‎ ①直角；‎ ‎②钝角；‎ ‎③锐角。‎ （2） 利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。‎ 一、 利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题 其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式 ‎。‎ ‎【例10.44】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点.求证：是钝角三角形.‎ ‎【评注】若直线与抛物线交于两点，则：‎ （1） 直线在轴上的截距等于时，；‎ （2） 直线在轴上的截距大于时，；‎ （3） 直线在轴上的截距大于且小于时，。‎ 变式1 如题（20）图，设椭圆的中心为原点O，长轴在轴上，上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为是面积为4的直角三角形 ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程 ‎（2）过作直线交椭圆于两点，使,求直线的方程 变式2 设分别为椭圆的左、右顶点，为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆交于异于的点.证明：点在以为直径的圆内。‎ 变式3 已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. ‎ ‎【例10.45】在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于两点.‎ ‎（1）求的方程；（2）若，求的值.‎ 变式1 椭圆的左、右、上、下顶点为，，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）设为过原点的直线，直线与椭圆交于两点，且，，是否存在上述直线使成立，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ 变式2 椭圆的一个焦点是，为原点坐标。设过点的直线交椭圆于两点，若直线交绕点任意转动，恒有，求实数的取值范围。‎ 二、利用向量的坐标表示解决共线问题 ‎ ‎ ‎【例10.46】在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点。（1）求的取值范围；（2）设是椭圆的右顶点和上顶点，是否存在常数，使共线？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 变式1 设椭圆的左右焦点为，离心率，直线，是上的两个动点，。（1）若，求的值；（2）证明：当取最小值时，共线。‎ ‎【例10.47】设是椭圆上的两点，并且点满足，当时，求直线斜率的取值范围。‎ 变式1 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点。‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于两个不同点，设 ‎，若，求的取值范围。‎ 变式2 过点的直线交抛物线于两点，交直线于点，已知 ‎ ，求的值。‎ 题型二、定点问题 ‎【思路提示】（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线过定点；（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为，‎ 解方程组，即得定点。‎ 模型一：三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点。‎ ‎【例10.48】已知椭圆：，直线与椭圆交于两点（非顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证直线过定点，并求定点坐标。‎ ‎【评注】已知椭圆：，直线与椭圆交于两点（非顶点），①若以为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线过定点；‎ ‎②若以为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线过定点；‎ ‎③若以为直径的圆过椭圆的上顶点，则直线过定点；‎ ‎④若以为直径的圆过椭圆的下顶点，则直线过定点；‎ ‎⑤类比椭圆，对于双曲线上异于顶点的两动点，若以为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线过定点 ‎⑥类比椭圆，对于双曲线上异于顶点的两动点，若以为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线过定点。‎ 变式1 已知椭圆的左顶点为，不过的直线与椭圆交于不同的两点.当时，求的关系，并证明直线过定点。‎ 变式2 已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.‎ ‎（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;‎ ‎（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【例10.49】已知抛物线上异于顶点的两动点，满足以为直径的圆过顶点.求证：直线过定点，并求出定点坐标。‎ ‎【评注】（1）①将斜率存在的直线设为，将直线斜率不为的直线设为；‎ ‎②抛物线中；‎ ‎③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为。‎ ‎（2）抛物线上异于顶点的两动点，满足，则直线过定点；抛物线上异于顶点的两动点，满足，则直线过定点。‎ 变式1 如图10-39所示，已知定点在抛物线上，过点作两直线分别交抛物线于，两点，且以为直径的圆过点.求证：直线过定点，并求定点坐标。‎ ‎ 变式2 已知抛物线，过点作两直线分别交抛物线于，两点，且的斜率满足。求证：直线过定点，并求定点坐标。‎ 模型二：三点圆锥曲线中，若过焦点的弦为，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点，使得为定值。‎ ‎【例10.50】已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 变式1 已知双曲线的左、右焦点为，过的动直线与双曲线交于，两点.在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 题型三、定直线问题 模型：已知椭圆外一点，当过的动直线与椭圆交于不同的两点，时，在线段上取一点，满足。‎ 求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程。‎ 证明：设，由题意知 ‎ 设在，之间，，又在，之间，故，‎ 又因为，所以。由得 ‎，解得。‎ 同理，由得解得。‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 即 ①‎ 同理，由点在椭圆上，可得 ‎ ②‎ 由①—②整理得 所以点在定直线上。‎ 类比椭圆，对于双曲线有点在定直线上。‎ 再由，的对等性知，当在椭圆内，上述结论仍成立，双曲线亦同。‎ ‎ 已知抛物线，定点不在抛物线上，过的动直线与抛物线交于不同的两点，，在线段上取一点，满足。‎ 求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程。‎ 证明：设，由题意知 ‎ 设在，之间，，又在，之间，故，‎ 又因为，所以。由得 ‎，解得。所以 同理，由得解得。‎ 所以 因为点在抛物线上，所以即①‎ 同理，由点在抛物线上可得②‎ 由①—②整理得所以点在直线上。‎ ‎【评注】三大圆锥曲线中，当点在曲线上时，相应的定直线，‎ ‎，均为在定点处的切线。‎ ‎【例10.51】已知椭圆:过点，且左焦点为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，时，‎ 在线段上取一点，满足。‎ 求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程。‎ 题型四、定值问题 ‎【思路提示】求定值问题的方法有两种：（1）从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关。这符合一般与特殊的思维辩证关系。简称为：特殊探路，一般论证。‎ ‎（2）直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。‎ 模型：在三大曲线中，曲线上的一定点与曲线上的两动点，满足，则直线的斜率是定值。‎ ‎【例10.52】已知椭圆:，椭圆上的点，是椭圆上的两动点，若。求证：直线的斜率为定值，并求出该定值。‎ 变式1 已知是长轴为4，焦点在轴上的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心，且。（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果椭圆上的两点，使得的平分线垂直于，问是否存在实数使得 ‎？说明理由。‎ 变式2 如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于。‎ ‎（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；‎ ‎（II）当与的斜率存在且倾斜角互补时，‎ 求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。‎ 题型五、最值问题 ‎【思路提示】有两种求解方法：一是几何法，所求最值量具有明显的几何意义时，可利用 几何性质结合图形直观求解；二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数最值的方法求解，同时要注意变量的范围。‎ ‎【例10.53】设椭圆的左、右焦点为，点是椭圆上的动点，点，求的最大值和最小值。‎ ‎【评注】这里利用椭圆定义三角形两边之差小于（共线反向时等于）第三边，使与曲线有关的最值转化为直线段的最值。应明确此处不能用，因为等号取不到，若要取等号，则必须在线段上，但事实上不可能。‎ 变式1 如下图所示，，已知点是抛物线上的点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，求的最小值。‎ 变式2 已知点为双曲线上的动点，，.‎ 求的最大值及此时点的坐标。‎ ‎【例10.54】已知椭圆，点是椭圆上的动点，，‎ 求的最大值。‎ 变式1 已知椭圆在第一象限部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴的交点分别为，且向量，求的最小值。‎ ‎【例10.55】如下图所示，已知抛物线与圆交于四点。（1）求的取值范围；（2）当四边形的面积最大时，求对角线 的交点的坐标。‎