高考数学理科二轮复习测试专题二三角恒等变换解三角形含解析 6页

专题二 三角函数 第2讲 三角恒等变换与解三角形 一、选择题 ‎1．(2016·河南中原名校3月联考)函数f(x)＝sin 2x＋tancos 2x的最小正周期为(　　)‎ A.　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π 解析：∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 答案：B ‎2．(2016·全国Ⅱ卷)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：∵cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos＝cos2＝‎ ‎2cos2－1＝2×－1＝－.‎ 答案：D ‎3．(2016·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ ‎(导学号 55460111)‎ A. B. C. D. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，∴2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，∴sin A＝cos A，即tan A＝1，又0(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，00)，则A＝________，b＝________．‎ 解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.‎ 答案：　1‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(‎2c＋b)·sin C，则A＝________．‎ 解析：根据正弦定理得‎2a2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.‎ 答案：120°‎ ‎7.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登‎400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登‎800米方到达C处，则索道AC的长为________米．‎ 解析：如题图，在△ABD中，BD＝‎400米，∠ABD＝120°.‎ ‎∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°.∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.‎ 由正弦定理，可得＝.‎ ‎∴＝，得AD＝400(米)．‎ 在△ADC中，DC＝‎800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为‎400米．‎ 答案：400 三、解答题 ‎8．(2015·全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C 的对边，sin2B＝2sin Asin C.‎ ‎(导学号 55460113)‎ ‎(1)若a＝b，求cos B；‎ ‎(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝‎2ac.‎ 又a＝b，可得b＝‎2c，a＝‎2c.‎ 由余弦定理可得cos B＝＝.‎ ‎(2)由(1)知b2＝‎2ac.‎ ‎∵B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，‎ 故a2＋c2＝‎2ac，得c＝a＝.‎ ‎∴△ABC的面积为××＝1.‎ ‎9．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(导学号 55460114)‎ ‎(1)证明：sin Asin B＝sin C；‎ ‎(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.‎ ‎(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入＋＝中，‎ 有＋＝，‎ 变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，‎ 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ ‎∴sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)解：由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝，‎ ‎∴sin A＝＝.‎ 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ ‎∴sin B＝cos B＋sin B，‎ 故tan B＝＝4.‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.‎ ‎(1)证明：a＋b＝‎2c；‎ ‎(2)求cos C的最小值．‎ ‎(1)证明：由题意知2＝＋‎ ，‎ 化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，‎ 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.‎ ‎∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 从而sin A＋sin B＝2sin C，‎ 由正弦定理得a＋b＝‎2c.‎ ‎(2)解：由(1)知c＝，‎ ‎∴cos C＝＝＝‎ －≥，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立，‎ 故cos C的最小值为.‎