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- 2021-05-13 发布
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高考解答题全真分类试卷(2013年版)
数 学(理科)·试题卷(一)
◎专题一·圆锥曲线与方程◎
【考题一】(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
(2013·全国新课标卷Ⅰ·20)
【考题二】(本小题满分12分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a,b;
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列. (2013·全国大纲卷·21)
【考题三】(本小题满分13分)椭圆的左、右焦点分别是F1, F2,离心率为,过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2。设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点。设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值. (2013·山东卷·22)
【考题四】(本小题满分15分)如图一,点P(0,-1)是椭圆C1:(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
(2013·浙江卷·21)
图一
【考题五】(本小题满分13分)设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.
(2013·天津卷·18)
【考题六】(本小题满分12分)如图二,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为.
图二
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
(2013·辽宁卷·20)
【考题七】(本小题满分13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;
(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程. (2013·湖南卷·21)
【考题八】(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. (2013·陕西卷·20)
【考题九】(本小题满分13分)如图三,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
图三
(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由. (2013·湖北卷·21)
【考题十】(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.
图四
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P′Q,求圆Q的标准方程.
(2013·重庆卷·21)
【考题十一】(本小题满分13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程.
(2013·四川卷·20)
【考题十二】(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
(2013·广东卷·20)
高考解答题全真分类试卷(2013年版)
数 学(理科)·答题卷(一)
◎专题一·圆锥曲线与方程◎
【考题一】
【考题二】
【考题三】
【考题四】
图一 备用图
【考题五】
【考题六】
图二 备用图
【考题七】
【考题八】
【考题九】
图三
【考题十】
图四
【考题十一】
【考题十二】
解题心得及感悟
高考解答题全真分类试卷(2013年版)
数 学(理科)——参考答案及解析
◎专题一·圆锥曲线与方程◎
1.【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).
由l与圆M相切得,
解得k=.
当k=时,将代入,
并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=.
所以|AB|=.
当时,由图形的对称性可知|AB|=.
综上,|AB|=或|AB|=.
2.【解析】(1)解:由题设知=3,即=9,故b2=8a2.
所以C的方程为8x2-y2=8a2.
将y=2代入上式,求得.
由题设知,,解得a2=1.
所以a=1,b=.
(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①
由题意可设l的方程为y=k(x-3),,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1·x2=.
于是|AF1|===-(3x1+1),
|BF1|===3x2+1.
由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,
即x1+x2=.
故,解得k2=,从而x1·x2=.
由于|AF2|===1-3x1,|BF2|===3x2-1,
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.
因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
3.【解析】(1)解:由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程,得,由题意知,即a=2b2.又,所以a=2,b=1.所以椭圆C的方程为.
(2)解法一:设P(x0,y0)(y0≠0).又F1(,0),F2(,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为lPF1:y0x-(x0+)y+y0=0,
lPF2:y0x-(x0-)y-y0=0.
由题意知=.
由于点P在椭圆上,
所以,
所以.
因为<m<,-2<x0<2,
可得.所以m=.
因此.
解法二:设P(x0,y0).当0≤x0<2时,
①当时,直线PF2的斜率不存在,易知P或P.
(A)若P,则直线PF1的方程为.
由题意得,因为<m<,
所以.
(B)若P,同理可得.
②当x0≠时,
设直线PF1,PF2的方程分别为y=k1(x+),y=k2(x-).
由题意知,所以.因为,
并且k1=,k2=,
所以
=,
即.
因为为<m<,0≤x0<2且x0≠,
所以.
整理得m=,
故0≤m<且m≠.
综合①②可得0≤m<.
当-2<x0<0时,同理可得<m<0.
综上所述,m的取值范围是.
(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).联立
整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(-2kx0y0+k2x02-1)=0.
由题意Δ=0,即+2x0y0k+1-y02=0.
又,所以+8x0y0k+=0,
故k=.
由(2)知,
所以=,
因此为定值,这个定值为-8.
4.【解析】 (1)由题意得
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离,所以.
又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,
故.所以|PD|=.
设△ABD的面积为S,
则S=|AB|·|PD|=,
所以S=≤
,
当且仅当时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=-1.
5.【解析】(1)设F(-c,0),由,知.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有,
解得,于是,解得,
又a2-c2=b2,从而a=,c=1,
所以椭圆的方程为.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),
由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
求解可得x1+x2=,x1x2=.
因为A(,0),B(,0),
所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=.
由已知得=8,解得k=.
6.【解析】(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为,且切线MA的斜率为,所以A点坐标为,故切线MA的方程为.
因为点M(,y0)在切线MA及抛物线C2上,
于是,①
.②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A,B,x1≠x2,由N为线段AB中点知③④
切线MA,MB的方程为⑤
⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
,.
因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,
所以.⑦
由③④⑦得,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足.
因此AB中点N的轨迹方程为.
7.【解析】(1)由题意,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+,
由得x2-2pk1x-p2=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p.
所以点M的坐标为,=(pk1,pk12).同理可得点N的坐标为,=(pk2,pk22).于是·=p2(k1k2+k12k22).
由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,
所以0<k1k2<=1.
故·<p2(1+12)=2p2.
(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,
所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p.
从而圆M的半径r1=pk12+p,故圆M的方程为
(x-pk1)2+=(pk12+p)2.
化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-p2=0.
同理可得圆N的方程为
x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-p2=0.
于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0.
又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.
因为p>0,所以点M到直线l的距离
==.
故当k1=时,d取最小值.
由题设,,解得p=8.
故所求的抛物线E的方程为x2=16y.
8.【解析】(1)解:如图解一,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,
图解一 图解二
①当O1不在y轴上时,
过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,
∴,又,
∴,
化简得y2=8x(x≠0).
②当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)证明:由题意,设直线l方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,且Δ=-32kb+64>0.
由求根公式得,x1+x2=,①x1x2=,②
因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).
9.【解析】依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
C1:,C2:.
其中a>m>n>0,λ=.
(1)解法一:如图解三,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以.
图解三
在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,
于是.
若,则,化简得λ2-2λ-1=0.
由λ>1,可解得λ=.
故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.
解法二:如图1,若直线l与y轴重合,则
|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;
S1=|BD|·|OM|=a|BD|,
S2=|AB|·|ON|=a|AB|.
所以.
若,则,化简得λ2-2λ-1=0.
由λ>1,可解得λ=.
故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.
(2)解法一:如图解四,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,,所以d1=d2.
图解四
又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以,即|BD|=λ|AB|.
由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,
|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是.①
将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得
,.
根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是
=.②
从而由①和②式可得.③
令,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得.
因为k≠0,所以k2>0.于是③式关于k有解,当且仅当,
等价于由λ>1,可解得<t<1,
即,由λ>1,解得λ>,所以
当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.
解法二:如图解四,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),
点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,
则,,所以d1=d2.
又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以.
因为,所以.
由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得,,两式相减可得,
依题意xA>xB>0,所以.所以由上式解得.因为k2>0,所以由,可解得.
从而,解得λ>,所以
当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;
当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.
10.【解析】(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,
则.从而e2+=1.
由得,从而.
故该椭圆的标准方程为.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x02+
=(x-2x0)2-x02+8(x∈[-4,4]).
设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,
又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,
从而x1=2x0,且|QP|2=8-x02.
因为PQ⊥P′Q,且P′(x1,-y1),
所以=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0,
即(x1-x0)2-y12=0.
由椭圆方程及x1=2x0得,
解得,.
从而|QP|2=8-x02=.
故这样的圆有两个,其标准方程分别为,.
图解五
11.【解析】(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=,所以.
又由已知,c=1.所以椭圆C的离心率.
(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.
设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.
(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),
则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22.
又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.
由,得
,
即.①
将y=kx+2代入+y2=1中,得
(2k2+1)x2+8kx+6=0.②
由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=,
代入①中并化简,得.③
因为点Q在直线y=kx+2上,
所以,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.又由③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.
又满足10(y-2)2-3x2=18,
故x∈.
由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1.
又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)2∈且-1≤y≤1,则y∈.
所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.
12.【解析】(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由,结合c>0,解得c=1.
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0,
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.
所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
联立方程
消去x整理得y2+(2y0-x02)y+y02=0.
由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02,
所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y02+x02-2y0+1.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.
所以y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=
.
所以当y0=时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.