高考数学第一轮复习——导数 13页

高考复习——导数 复习目标 ‎1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． ‎ ‎2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．‎ ‎3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。‎ ‎4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。‎ 三、基础知识梳理：‎ 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:‎ ‎1．导数的常规问题：‎ ‎（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；‎ ‎（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；‎ ‎（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。‎ ‎2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。‎ ‎3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。‎ ‎4．瞬时速度 ‎　　物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．‎ ‎5．导数的定义 ‎　　导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．　对导数的定义，我们应注意以下三点：‎ ‎　　(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)．‎ ‎　　(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数．‎ ‎　　(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．‎ ‎　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：‎ ‎(1)求函数的增量；‎ ‎(2)求平均变化率；　(3)取极限，得导数。‎ ‎6．导数的几何意义 函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：‎ ‎　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；‎ ‎　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 ‎　　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 ‎7. 导数与函数的单调性的关系 ㈠与为增函数的关系。‎ 能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。‎ ㈡时，与为增函数的关系。‎ 若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。‎ ㈢与为增函数的关系。‎ 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。‎ ㈣单调区间的求解过程 已知 ‎ ‎（1）分析 的定义域； （2）求导数 ‎ ‎（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间 ‎（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。‎ ㈤函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。‎ ‎8. ‎ ‎（1）恒成立 ∴为上 ‎∴ 对任意 不等式 恒成立 ‎（2）恒成立 ∴ 在上 ‎∴ 对任意不等式 恒成立 四、经典例题解析：‎ 例1设函数，已知和为的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）设，试比较与的大小．‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 又和为的极值点，所以，‎ 因此解方程组得，．‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以，‎ 令，解得，，．因为当时，；‎ 当时，．所以在和上是单调递增的；‎ 在和上是单调递减的．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，‎ 令，则．令，得，‎ 因为时，，所以在上单调递减．‎ 故时，；因为时，，‎ 所以在上单调递增．故时，．‎ 所以对任意，恒有，又，‎ 因此，故对任意，恒有．‎ 说明：本题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题，另外利用导数证明不等式也是高考不科忽视的考查方向.‎ 例2．已知函数，求导函数，并确定的单调区间．‎ 解：．‎ 令，得．‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．‎ 例3．已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ），由导数的几何意义得，于是．‎ 由切点在直线上可得，解得．‎ 所以函数的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）．‎ 当时，显然（）．这时在，内是增函数．‎ 当时，令，解得．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，(0,)内是减函数．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．‎ 从而得，所以满足条件的的取值范围是．‎ 说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．‎ 例4．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为 V（t）=‎ ‎（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？‎ ‎（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.‎ 解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(－t2+14t－40)‎ 化简得t2－14t+40>0,解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.‎ ‎②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,‎ 化简得（t－10）（3t－41）＜0,解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.‎ 综合得0