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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数 学(理科)
选择题部分(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则A∩(RB)=
A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)
【解析】A=(1,4),B=(-3,1),则A∩(RB)=(1,4).
【答案】A
2.已知i是虚数单位,则=
A.1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i
【解析】===1+2i.
【答案】D
3.设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0显然平行;若直线l1与直线l2平行,则有:,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件.
【答案】A
4.把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x—1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x—1).令x=0,得:y3>0;x=,得:y3=0;观察即得答案.
【答案】B
5.设a,b是两个非零向量.
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
【答案】C
6.若从1,2,2,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
【解析】1,2,2,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:
4个都是偶数:1种;
2个偶数,2个奇数:种;
4个都是奇数:种.
∴不同的取法共有66种.
【答案】D
7.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是
A.若d<0,则数列{S n}有最大项
B.若数列{S n}有最大项,则d<0
C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0
D.若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n}是递增数列,但是S n>0不成立.
【答案】C
8.如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A. B.
C. D.
【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣.
直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由,得:Q(,);由,得:P(,).∴直线MN为:y-=﹣(x-),
令y=0得:xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=,解之得:,即e=.
【答案】B
9.设a>0,b>0
A.若,则a>b
B.若,则a<b
C.若,则a>b
D.若,则a<b
【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除.
【答案】A
10.已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中,
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项C是正确的.
【答案】C
非选择题部分(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三
棱锥的体积等于___________cm3.
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角
形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于.
【答案】1
12.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
______________.
【解析】T,i关系如下图:
T
1
i
2
3
4
5
6
【答案】
13.设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}.若
,,则q=______________.
【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.
即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).
【答案】
14.若将函数表示为
其中,,,…,为实数,则=______________.
【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
即:.
法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即.
【答案】10
15.在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.
【解析】此题最适合的方法是特例法.
假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,
AM=3,BC=10,AB=AC=.
cos∠BAC=.=
【答案】29
16.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线l:y=x的距离,
则实数a=______________.
【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x的距离为:,故曲线C2到直线l:y=x的距离为.
另一方面:曲线C1:y=x 2+a,令,得:,曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离的点为(,),.
【答案】
17.设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.
【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:
(A), 无解;
(B), 无解.
因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)
我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,1).
考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a>1;
考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:.
【答案】
三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,
sinB=cosC.
(Ⅰ)求tanC的值;
(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.
【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA=>0,∴sinA=,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
=cosC+sinC.
整理得:tanC=.
(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=
又由正弦定理知:,
故. (1)
对角A运用余弦定理:cosA=. (2)
解(1) (2)得: or b=(舍去).
∴ABC的面积为:S=.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
19.(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)求X的数学期望E(X).
【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。
(Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6.
; ;
; .
故,所求X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为:
E(X)=.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
20.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.
【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。
(Ⅰ)如图连接BD.
∵M,N分别为PB,PD的中点,
∴在PBD中,MN∥BD.
又MN平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)如图建系:
A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),
N(,0,0),C(,3,0).
设Q(x,y,z),则.
∵,∴.
由,得:. 即:.
对于平面AMN:设其法向量为.
∵.
则. ∴.
同理对于平面AMN得其法向量为.
记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为,
则.
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
21.(本小题满分15分)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
【解析】
(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)
由(1) (2)可解得:.
∴所求椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:.
显然.
∴﹣<m<且m≠0.
由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=d|AB|=|m+2|,
当|m+2|=,即m=﹣3 or m=0(舍去)时,(SABP)max=.
此时直线l的方程y=﹣.
【答案】 (Ⅰ) ;(Ⅱ) y=﹣.
22.(本小题满分14分)已知a>0,bR,函数.
(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,
(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ).
当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
此时的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a.
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,
∵,∴令.
当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
≤|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.
∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴.
则可行域为:和,目标函数为z=a+b.
作图如下:
由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有.
∴所求a+b的取值范围为:.
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) .