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- 2021-05-13 发布
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2018年高考数学(理科)模拟试卷(一)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2016年四川)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.6 B. 5 C.4 D.3
1.B 解析:由题意,A∩Z={1,2,3,4,5},故其中的元素的个数为5.故选B.
2.(2016年山东)若复数z满足2z+=3-2i, 其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
2.B 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i.故选B.
3.(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M11,该四棱锥最长棱的棱长为( )
图M11
A.1 B. C. D.2
3.C 解析:四棱锥的直观图如图D188:由三视图可知,SC⊥平面ABCD,SA是四棱锥最长的棱,SA===.故选C.
图D188
4.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.C 解析:f′(x)=3x2-2,f′(1)=1,所以切线的斜率是1,倾斜角为.
5.设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数. 若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同时成立,则正整数n的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.B 解析:因为[x]表示不超过x的最大整数.由[t]=1,得1≤t<2,由[t2]=2,得2≤t2<3.由[t3]=3,得3≤t3<4.由[t4]=4,得4≤t4<5.所以2≤t2<.所以6≤t5<4 .由[t5]=5,得5≤t5<6,与6≤t5<4 矛盾,故正整数n的最大值是4.
6.(2016年北京)执行如图M12所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )
图M12
A.1 B.2 C.3 D.4
6.B 解析:输入a=1,则k=0,b=1;
进入循环体,a=-,否,k=1,a=-2,否,k=2,a=1,
此时a=b=1,输出k,则k=2.故选B.
7.某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M13,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是( )
图M13
A.10 B.11 C.12 D.13
7.C 解析:由题意,得=88,n=9.所以m+n=12.故选C.
8.(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
项目
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A.12万元 B.16万元
C.17万元 D.18万元
8.D 解析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨,则利润z=3x+4y.
由题意可得其表示如图D189阴影部分区域:
图D189
当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值,所以zmax=3×2+4×3=18.故选D.
9.(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个 B.16个 C.14个 D.12个
9.C 解析:由题意,必有a1=0,a8=1,则具体的排法列表如下:
10.(2016年天津)已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
10.D 解析:f(x)=+-=sin,f(x)=0⇒sin=0,
所以x=(π,2π),(k∈Z).
因此ω∪∪∪…=∪⇒ω∈∪.故选D.
11.四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上,则PA=( )
A.3 B.
C.2 D.
11.B 解析:如图D190,连接AC,BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,则OE∥PA,所以OE⊥底面ABCD,则O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,PC==,所以由球的体积可得π3=,解得PA=.故选B.
图D190
12.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧,若·=6(O为坐标原点),则△ABO与△AOF面积之和的最小值为( )
A.4 B. C. D.
12.B 解析:设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),
将直线方程与抛物线方程联立,可得y2-ty-m=0,根据韦达定理有y1·y2=-m,因为·=6,所以x1·x2+y1·y2=6,从而(y1·y2)2+y1·y2-6=0,因为点A,B位于x轴的两侧,所以y1·y2=-3,故m=3,不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又F,所以S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+×y1=y1+≥2=,当且仅当=,即y1=时取等号,故其最小值为.故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.
13.2 解析:a=(1,2),b=(4,2),则c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|=,|b|=2 ,a·c=5m+8,b·c=8m+20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角,∴=.∴=.解得m=2.
14.设F是双曲线C:-=1的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为__________.
14. 解析:根据双曲线的对称性,不妨设F(c,0),虚轴端点为(0,b
),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,有-=1,则e2=5,e=.
15.(2016年北京)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)
15.60 解析:根据二项展开的通项公式Tr+1=C·(-2)rxr可知,x2的系数为C(-2)2=60,故填60.
16.在区间[0,π]上随机地取一个数x,则事件“sin x≤”发生的概率为________.
16. 解析:由正弦函数的图象与性质知,当x∈∪时,sin x≤.
所以所求概率为=.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
17.解:(1)设{an}的公比为q,{bn}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有消去d,得q4-2q2-8=0.解得q=2,d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*,
{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,
则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n.
两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3.
所以Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N*.
18.(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
18.解:记A1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.
B表示事件:甲需使用设备.
C表示事件:丁需使用设备.
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(1)因为P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C×0.52,i=0,1,2,
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为
P(X=0)=P(·A0·)
=P()P(A0)P()
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)
=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,
所以E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)
=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.
19.(本小题满分12分)(2016年四川)如图M14,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为边AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角PCDA的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
图M14
19.解:(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:
由已知,BC∥ED,且BC=ED,
所以四边形BCDE是平行四边形.
所以CD∥EB.
从而CM∥EB.
又EB⊂平面PBE,CM平面PBE,
所以CM∥平面PBE.
(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)方法一,由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以∠PDA是二面角PCDA的平面角.
所以∠PDA=45°.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
如图D191,过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.
易知PA⊥平面ABCD,
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.
所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,
所以AH=.
在Rt△PAH中,PH==,
所以sin∠APH==.
图D191 图D192
方法二,由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而∠PDA是二面角PCDA的平面角.
所以∠PDA=45°.
由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
作Ay⊥AD,以A为原点,以 ,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),
所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2)
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
由 得
设x=2,解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α,
则sin α=== .
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
20.(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)=ln x-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
20.解:(1)由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1.
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
(2)由(1)知,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.
所以当x≠1时,ln x1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g′(x)=c-1-cxln c.
令g′(x)=0,解得x0=.
当x0,g(x)单调递增;
当x>x0时,g′(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知,1<0.
所以x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
21.(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(-2, 0),点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
21.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
因为椭圆的左焦点为F1(-2,0),所以a2-b2=4.①
因为点B(2,)在椭圆C上,所以+=1.②
由①②,解得a=2 ,b=2.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(-2 ,0).
因为直线y=kx(k≠0)与椭圆+=1交于两点E,F,
设点E(x0,y0)(不妨设x0>0),则点F(-x0,-y0).
联立方程组消去y,得x2=.
所以x0=,则y0=.
所以直线AE的方程为y=(x+2 ).
因为直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,
令x=0得y=,即点M.
同理可得点N.
所以|MN|==.
设MN的中点为P,则点P的坐标为P.
则以MN为直径的圆的方程为x2+2=2,即x2+y2+y=4.
令y=0,得x2=4,即x=2或x=-2.
故以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0),P2(-2,0),
请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答.注意:只能作答在所选定的题目上.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分)选修44:极坐标与参数方程
已知曲线C的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A、B的极坐标分别为A(2,π)、B.
(1)求直线AB的直角坐标方程;
(2)设M为曲线C上的动点,求点M到直线AB距离的最大值.
22.解:(1)将A、B化为直角坐标为A(2cos π,2sin π),B,即A,B的直角坐标分别为A(-2,0),B(-1,-),
kAB==-,
∴直线AB的方程为y-0=-(x+2),
即直线AB的方程为x+y+2 =0.
(2)设M(2cos θ,sin θ),它到直线AB的距离
d==,
∴dmax=.
23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-2|-|2x-a|,a∈R.
(1)当a=3时,解不等式f(x)>0;
(2)当x∈(-∞,2)时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围.
23.解:(1)当a=3时,f(x)>0,即|x-2|-|2x-3|>0,
等价于或或
解得12-x, ①
即2x-a>2-x,或2x-aa或(x+2)max