高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题 15页

‎8.7 圆锥曲线的综合问题 ‎●知识梳理 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.‎ 具体来说，有以下三方面：‎ ‎（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.‎ ‎（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.‎ ‎（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.‎ ‎●点击双基 ‎1.（2005年春季北京，5）设abc≠0，“ac>‎0”‎是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：ac>0曲线ax2+by2=c为椭圆.‎ 反之成立.‎ 答案：B ‎2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 A.椭圆 B.AB所在直线 C.线段AB D.无轨迹 解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0≤x≤3.‎ 答案：C ‎3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为 A.1 B.－1‎ C.－ D.以上都不对 解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.‎ 令Δ=0，k=±.‎ ‎∴kmin=－.‎ 答案：C ‎4.（2005年春季上海，7）双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________.‎ 解析：将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a2=，b2=，‎ c2=a2+b2=+=.‎ ‎∴c=，‎2c=.‎ 答案：‎ ‎5.（2004年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个.‎ 解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得 ‎（m2+n2）y2－6ny+9－‎3m2‎=0.‎ 令Δ<0得m2+n2<3.‎ 又m、n不同时为零，‎ ‎∴00，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.‎ ‎（1）写出直线l的截距式方程；‎ ‎（2）证明：+=；‎ ‎（3）当a=2p时，求∠MON的大小.‎ 剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°.‎ ‎（1）解：直线l的截距式方程为+=1. ①‎ ‎（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0. ②‎ 点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.‎ 所以+===.‎ ‎（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，‎ 则k1=，k2=.‎ 当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，‎ 由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，‎ x1x2===4p2，‎ 因此k1k2===－1.‎ 所以OM⊥ON，即∠MON=90°.‎ 评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.‎ ‎【例2】 （2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）‎ ‎（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当=λ时，求λ的最大值.‎ 剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.‎ ‎（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.‎ 解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，‎ 又<1，‎ ‎∴∠POx=30°，即=tan30°=.‎ ‎∴a=b.‎ 又a2+b2=4，‎ ‎∴a2=3，b2=1.‎ 故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，），‎ 由=λ得A（，）.‎ 将A点坐标代入椭圆方程得 ‎（c2+λa2）2+λ‎2a4=（1+λ）‎2a2c2.‎ ‎∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2.‎ ‎∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2.‎ ‎∴λ的最大值为－1.‎ 评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.‎ ‎【例3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.‎ 剖析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论 y=－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.‎ 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定.‎ 由e2===1－（）2可知===，即a=2b.‎ 设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+= 4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b.‎ 如果b＜，则当y=－b时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.‎ 因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.‎ 故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.‎ 由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P的距离都是.‎ 解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是 其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，‎ x=acosθ，‎ y=bsinθ，‎ ‎∵e=，‎ ‎∴a=2b.‎ 设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则 d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）2+4b2+3.‎ 如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+） 2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.‎ 因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3.‎ 由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程为 ‎ x=2cosθ，‎ y=sinθ.‎ 消去参数得+y2=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－，－），（，－）到P点的距离都是.‎ 评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.‎ 深化拓展 ‎ 根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.‎ 提示：由 ‎ x2+（y－）2=7，‎ x2+4y2=4b2，‎ 得3y2+3y－=4b2－7，‎ 由Δ=0得b2=1，‎ 即椭圆方程为x2+4y2=4.‎ 所求点为（－，－）、（，－）.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为 A. B.‎ C. D.‎ 解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=.‎ 答案：D ‎2.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有 A.m=12，n=3 B.m=24，n=6‎ C.m=6，n= D.m=12，n=6‎ 解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.‎ 答案：A ‎3.（2005年启东市第二次调研）设P1（，）、P2（－，－），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2；②以线段MP1‎ 为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.‎ 解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.‎ 答案：①②③‎ ‎4.（2004年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.‎ 解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为.∴长半轴长为，短半轴长为1.‎ ‎∴方程为+y2=1.‎ 答案：+y2=1‎ ‎5.（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；‎ ‎（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.‎ 解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.‎ ‎（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（，2）.‎ ‎6.（2003年湖北八市模拟题）已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.‎ ‎（1）求证：点A、B关于x轴对称；‎ ‎（2）求△AOB外接圆的方程.‎ ‎（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ ‎∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22.‎ 又∵y12=2px1，y22=2px2，‎ ‎∴x22－x12+2p（x2－x1）=0，‎ 即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0.‎ 又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.‎ ‎∴x2－x1=0，即x1=x2.‎ 由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.‎ ‎（2）解：由（1）知∠AOx=30°，则 ‎∴‎ y2=2px， x=6p，‎ y=x y=2p.‎ ‎∴A（6p，2p）.‎ 方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.‎ 将点A（6p，2p）代入，得d=－8p.‎ 故△AOB外接圆方程为x2+y2－8px=0.‎ 方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）.‎ 培养能力 ‎7.（理）（2004年北京，17）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0） （y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.‎ ‎（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；‎ ‎（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.‎ 解：（1）当y=时，x=.‎ 又抛物线y2=2px的准线方程为x=－，‎ 由抛物线定义得 所求距离为－（－）=.‎ ‎（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.‎ 由y12=2px1，y02=2px0，‎ 相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），‎ 故kPA==（x1≠x0）.‎ 同理可得kPB=（x2≠x0）.‎ 由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，‎ 即=－，所以y1+y2=－2y0，‎ 故=－2.‎ 设直线AB的斜率为kAB.‎ 由y22=2px2，y12=2px1，‎ 相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），‎ 所以kAB==（x1≠x2）.‎ 将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得 kAB==－，所以kAB是非零常数.‎ ‎（文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.‎ ‎（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.‎ 解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，‎ ‎∴22=2p·1，得p=2.‎ 故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=－1.‎ ‎（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.‎ 则kPA=（x1≠1），kPB=（x2≠1）.‎ ‎∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，‎ ‎∴kPA=－kPB.‎ 由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得 y12=4x1， ①‎ y22=4x2， ②‎ ‎∴=－.‎ ‎∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4.‎ 由①－②得直线AB的斜率 kAB===－=－1（x1≠x2）.‎ ‎8.（2003年北京东城区模拟题）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；‎ ‎（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.‎ 解：（1）由已知可设M（－c，y），‎ 则有+=1.‎ ‎∵M在第二象限，∴M（－c，）.‎ 又由AB∥OM，可知kAB=kOM.‎ ‎∴－=－.∴b=c.∴a=b.‎ ‎∴e==.‎ ‎（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，‎ 则m+n=2a，mn＞0.|F1F2|=2c，a2=2c2，‎ ‎∴cos∠F1QF2=‎ ‎==－1‎ ‎=－1≥－1=－1=0.‎ 当且仅当m=n=a时，等号成立.‎ 故∠F1QF2∈［0，］.‎ ‎（3）∵CD∥AB，kCD=－=－.‎ 设直线CD的方程为y=－（x+c），‎ 即y=－（x+b）.‎ 消去y，整理得 则 ‎ +=1，‎ y=－（x+b）. ‎ ‎（a2+2b2）x2+2a2bx－a2b2=0.‎ 设C（x1，y1）、D（x2，y2），∵a2=2b2，‎ ‎∴x1+x2=－=－=－b，‎ x1·x2=－=－=－.‎ ‎∴|CD|=|x1－x2|‎ ‎=·‎ ‎=·==3.‎ ‎∴b2=2，则a2=4.‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ 探究创新 ‎9.（2005年春季上海，22）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（－2，－）的椭圆的标准方程.‎ ‎（2）已知椭圆C的方程是+=1（a>b>0）.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.‎ ‎（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎（1）解：设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，‎ ‎∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1.‎ ‎∵点（－2，－）在椭圆上，‎ ‎∴+=1.‎ 解得b2=4或b2=－2（舍）.‎ 由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，‎ 与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ ‎ y=kx+m，‎ 则有 ‎+=1. ‎ 解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0.‎ ‎∵Δ>0，∴m20）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.‎ ‎（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；‎ ‎（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当00，‎ 得0p+2p=3p.‎ ‎∴x0>3p.‎ ‎（2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…（0