三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 圆锥曲线综合问题 文 5页

第70课 圆锥曲线综合问题 ‎1．（2019广州调研）设椭圆的右焦点为，直线：与轴交于点，若（其中为坐标原点）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上的任意一点，为圆：的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．‎ 本资料由《七彩1》www.7caiedu.cn 提供！‎ ‎【解析】（1）由题设知，，， ‎ ‎∴，解得． ‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）设圆：的圆心为，‎ 则 ‎ 从而求的最大值转化为求的最大值． ‎ ‎∵是椭圆上的任意一点，设， ‎ ‎∴，即． ‎ ‎∵点，‎ ‎∴当时，取得最大值．‎ ‎∴的最大值为． ‎ ‎2．（2019东城二模）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过作两直线，交椭圆于，，，四点，若，求证：为定值．‎ ‎【解析】（1）由已知得，解得 ． ‎ ‎ 故所求椭圆方程为． ‎ 证明：（2）由（1）知，‎ 当直线斜率不存在时，此时，．‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为 ：．‎ 由 ，得 ． ‎ 由于，设，则有 同理． ‎ ‎ 综上，为定值． ‎ ‎3．（2019汕头一模）如图，已知椭圆（）的上顶点为，右焦点为，直线与圆：相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且，‎ 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【解析】（1）∵圆：‎ ‎∴圆，‎ ‎∴圆的圆心为，半径为． ‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即， ‎ ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由，知，‎ ‎∴直线与坐标轴不垂直，由，‎ 可设直线的方程为， ‎ 则直线的方程为，‎ 由，整理得：，‎ 解得或，‎ ‎∴的坐标为，‎ 即． ‎ 将上式中的换成，得．‎ ‎∴直线的方程为， ‎ 化简得直线的方程为， ‎ 因此直线过定点． ‎ ‎4．（2019广东高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】（1）∵，∴，∴，‎ 设是椭圆上任意一点，则，‎ 当时，当时，有最大值，‎ 当时，，不合题意，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）在中，，‎ ‎ 当且仅当时，有最大值，‎ ‎ ∵当时，点到直线的距离为，‎ ‎ ∴，即，①‎ ‎∵点在椭圆上，∴，②‎ ‎ 由①②解得，，此时点．‎ ‎5．（2019韶关质检）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点．‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）抛物线的焦点为，‎ 准线方程为， ‎ ‎ ∵ 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，‎ ‎∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为，‎ ‎ ∴抛物线的准线与椭圆的交点为，∴ ， ② ‎ 由①、②解得或（舍去），从而．‎ ‎∴椭圆的方程为． ‎ ‎（2）∵ 倾斜角为的直线过点，‎ ‎∴ 直线的方程为， ‎ 由（1）知椭圆的另一个焦点为，‎ 设与关于直线对称， ‎ 则得 ， 解得，即．‎ 又满足，故点在抛物线上． ‎ ‎∴抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．‎ ‎6．（2019广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线：有一个相同的焦点，直线：与抛物线只有一个公共点．‎ ‎ (1)求直线的方程；‎ ‎(2)若椭圆经过直线上的点，当椭圆的长轴长取得最小值时，求椭圆的方程及点的坐标．‎ ‎【解析】(1)由，得． ‎ ‎∵直线与抛物线只有一个公共点，‎ ‎∴，解得． ‎ ‎∴直线的方程为． ‎ ‎ (2)∵抛物线的焦点为，‎ ‎∴椭圆的两个焦点为． ‎ 设点关于直线的对称点为，‎ 则 ‎ 解得 ∴点． ‎ ‎∴直线与直线：的交点为． ‎ 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆的长轴长 其中当点与点重合时，上面不等式取等号．‎ ‎∴当时，椭圆的长轴长取得最小值，其值为4．‎ 此时椭圆的方程为，‎ 点的坐标为． ‎