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- 2021-05-13 发布
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第六节 简单的三角恒等变换
强化训练
1.设f(tanx)=tan2x,则f(2)等于( )
A. B.- C.- D.4
答案: B
解析:∵f(tanx)=tan2x=,
∴f(2)= =-.
2.若函数f(x)=sin2x- (x∈R),则f(x)是( )
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
答案: D
解析:原式=-=-cos2x,
T===π.
3.已知sinα=,α∈(,π),tan(π-β)= ,则tan(α-2β)= .
答案:
解析:∵sinα=,α∈(,π),
∴cosα=-,则tanα=-.
又tan(π-β)= ,可得tanβ=-,
tan2β===-.
tan(α-2β)= ==.
4.函数y=sinx-cosx(x∈R)的最大值为 .
答案:
解析:y=sinx-cosx=(sinx-cosx)=sin(x-φ).
其中tanφ=,即y的最大值为.
5.求值: .
解:原式的分子
=2sin20°+
=2sin20°+=
===,
原式的分母=+=
=
=
===,
所以,原式=1.
见课后作业A
题组一 简单的三角恒等变换
1.若sinα<0且tanα>0,则α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案: C
解析:sinα<0,则α是第三、四象限角;
tanα>0,则α是第一、三象限角;
∴α是第三象限角.
2.已知x∈(-,0),cosx=,则tan2x等于( )
A. B.- C. D.-
答案:D
解析:x∈(-,0),cosx=,sinx=-,tanx=-,tan2x==-.
3.已知cos2θ=,则sin4θ+cos4θ的值为( )
A. B. C. D.-1
答案: B
解析:sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ
=1-(1-cos22θ)=.
4.函数y=|sinx+cosx|的最小正周期是( )
A. B. C.π D.2π
答案: C
解析:原式=|sin(x+)|=|sin(x+)|,T=π.
5.函数y=的最小正周期是( )
A. B. C.π D.2π
答案: B
解析:y==cos4x,T==.
6.若cosθ=,sinθ<0,则tan等于( )
A. B.3 C. - D.
答案: C
解析:∵cosθ=,sinθ<0,
∴sinθ=-,tanθ==-
且θ∈(2kπ+,2kπ+2π),
即∈(kπ+,kπ+π).
tanθ==-,
即tan=-.
7.若=,则cosα+sinα的值为( )
A.- B.- C. D.
答案: C
解析:∵=,
∴=.
=,
即cosα+sinα=.
8.设α∈(,),β∈(0,),cos(α-)=,sin(+β)=,则sin(α+β)= .
答案:
解析:α∈(,),α-∈(0,),
又cos(α-)= ,
∴sin(α-)= ,β∈(0, ).
∴+β∈(,π),sin(+β)= .
∴cos(+β)=-.
∴sin(α+β)=sin[(α-)+(+β)-]
=-cos[(α-)+(+β)]
=-cos(α-)·cos(+β)+sin(α-)·sin(+β)
=-×(-)+ ×=,
即sin(α+β)=.
9. (2011安徽高考,文15改编)设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b∈R,ab≠0,若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则:
①f()=0,
②|f()|<|f()|,
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数,
④f(x)的单调递增区间是[kx+,kπ+](k∈Z),以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).
答案:①③
解析:f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+φ)≤,又|f()|=|asin+bcos|=|a+b|≥0,由题意f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则≤|a+b|对一切x∈R恒成立,即a2+b2≤a2+b2+ab恒成立,a2+3b2≤2ab恒成立.而a2+3b2≥2ab,所以a2+3b2=2ab,此时a=b.所以f(x)=bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+).
①f()=2bsin(+)=0,故①正确;
②|f()|=|2bsin(+)|=|2bsin()|=|2b|sin(),
|f()|=|2bsin(+)|=|2bsin()|=|2b|sin(),
所以|f()|=|f()|,②错误;
③f(-x)≠±f(x),所以③正确;
④由题知f(x)=bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+),当b>0时,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,知kπ-≤x≤kπ+,所以④不正确.
10.化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+2sin(+2x)(x∈R,k∈Z),并求函数f(x)的值域和最小正周期.
解:f(x)=cos(2kπ++2x)+cos(2kπ--2x)+2sin(+2x)
=2cos(+2x)+2sin(+2x)
=4cos2x.
函数f(x)的值域为[-4,4];
函数f(x)的周期T==π.
11.已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acosx+b(a,b∈R,且均为常数).
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)在区间[-,0]上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试求a,b的值.
解:(1)f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acosx+b
=2sinxcos+acosx+b
=sinx+acosx+b
=sin(x+θ)+b.
(其中θ由下面的两式所确定:sinθ=,cosθ=)
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
(2)由(1)可知f(x)的最小值为-+b,
所以-+b=2.
另外,由f(x)在区间[-,0]上单调递增,可知f(x)在区间[-,0]上的最小值为f(-).
所以f(-)=-+b=2.
解之得,a=-1,b=4.