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  • 2021-05-13 发布

高考全国卷理科数学试题以及答案

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‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)‎ 理科数学 ‎(试题)‎ 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,则中元素的个数为()‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎2.设复数z满足,则()‎ A. B. C. D.2‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 ‎4.的展开式中的系数为()‎ A. B. C.40 D.80‎ ‎5.已知双曲线(,)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为()‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设函数,则下列结论错误的是()‎ A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C.的一个零点为 D.在单调递减 ‎7.执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为()‎ A.5‎ B.4 ‎ C.3‎ D.2‎ ‎8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()‎ A. B. C. D.‎ ‎9.等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为()‎ A. B. C.3 D.8‎ ‎10.已知椭圆()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数有唯一零点,则()‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为()‎ A.3 B. C. D.2‎ 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若x,y满足约束条件则的最小值为________.‎ ‎14.设等比数列满足,,则________.‎ ‎15.设函数则满足的x的取值范围是________.‎ ‎16.,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与 ‎,都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:‎ ‎①当直线与成角时,与成角;‎ ‎②当直线与成角时,与成角;‎ ‎③直线与所成角的最小值为;‎ ‎④直线与所成角的最大值为.‎ 其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)‎ 三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.(12分)‎ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设为边上一点,且,求的面积.‎ ‎18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?‎ ‎19.(12分)如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形.,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分.求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知抛物线,过点(2,0)的直线交于,两点,圆是以线段为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点在圆上;‎ ‎(2)设圆过点(4,),求直线与圆的方程.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)设为整数,且对于任意正整数,,求的最小值.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数),直线的参数方程为(m为参数),设与的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程:‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为与C的交点,求M的极径.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)‎ 理科数学 ‎(答案解析)‎ 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,则中元素的个数为()‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】表示圆上所有点的集合,表示直线上所有点的集合,‎ 故表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即元素的个数为2,故选B.‎ ‎2.设复数z满足,则()‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题,,则,故选C.‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.‎ ‎4.的展开式中的系数为()‎ A. B. C.40 D.80‎ ‎【答案】C ‎【解析】由二项式定理可得,原式展开中含的项为 ‎,则的系数为40,故选C.‎ ‎5.已知双曲线(,)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为,则①‎ 又∵椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则②‎ ‎ 由①②解得,则双曲线的方程为,故选B.‎ ‎6.设函数,则下列结论错误的是()‎ A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C.的一个零点为 D.在单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到,‎ 如图可知,在上先递减后递增,D选项错误,故选D.‎ ‎7.执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为()‎ A.5‎ B.4 ‎ C.3‎ D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】程序运行过程如下表所示:‎ ‎ ‎ 初始状态 0 100 1‎ 第1次循环结束 100 2‎ 第2次循环结束 90 1 3‎ 此时首次满足条件,程序需在时跳出循环,即为满足条件的最小值,故选D.‎ ‎8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径,‎ 则圆柱体体积,故选B.‎ ‎9.等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为()‎ A. B. C.3 D.8‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为等差数列,且成等比数列,设公差为.‎ ‎ 则,即 ‎ 又∵,代入上式可得 ‎ 又∵,则 ‎ ∴,故选A.‎ ‎10.已知椭圆()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵以为直径为圆与直线相切,∴圆心到直线距离等于半径,‎ ‎∴‎ 又∵,则上式可化简为 ‎∵,可得,即 ‎∴,故选A ‎11.已知函数有唯一零点,则()‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件,,得:‎ ‎∴,即为的对称轴,‎ 由题意,有唯一零点,‎ ‎∴的零点只能为,‎ 即,‎ 解得.‎ ‎12.在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为()‎ A.3 B. C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,画出右图.‎ 设与切于点,连接.‎ 以为原点,为轴正半轴,‎ 为轴正半轴建立直角坐标系,‎ 则点坐标为.‎ ‎∵,.‎ ‎∴.‎ ‎∵切于点.‎ ‎∴⊥.‎ ‎∴是中斜边上的高.‎ 即的半径为.‎ ‎∵在上.‎ ‎∴点的轨迹方程为.‎ 设点坐标,可以设出点坐标满足的参数方程如下:‎ 而,,.‎ ‎∵‎ ‎∴,.‎ 两式相加得:‎ ‎ (其中,)‎ 当且仅当,时,取得最大值3.‎ 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若x,y满足约束条件则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题,画出可行域如图:‎ 目标函数为,则直线纵截距越大,值越小.‎ 由图可知:在处取最小值,故.‎ ‎14.设等比数列满足,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等比数列,设公比为.‎ ‎,即,‎ 显然,,‎ 得,即,代入式可得,‎ ‎.‎ ‎15.设函数则满足的x的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,即 由图象变换可画出与的图象如下:‎ 由图可知,满足的解为.‎ ‎16.,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与 ‎,都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:‎ ‎①当直线与成角时,与成角;‎ ‎②当直线与成角时,与成角;‎ ‎③直线与所成角的最小值为;‎ ‎④直线与所成角的最大值为.‎ 其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】由题意知,三条直线两两相互垂直,画出图形如图.‎ 不妨设图中所示正方体边长为1,‎ 故,,‎ 斜边以直线为旋转轴旋转,则点保持不变,‎ 点的运动轨迹是以为圆心,1为半径的圆.‎ 以为坐标原点,以为轴正方向,为轴正方向,‎ 为轴正方向建立空间直角坐标系.‎ 则,,‎ 直线的方向单位向量,.‎ 点起始坐标为,‎ 直线的方向单位向量,.‎ 设点在运动过程中的坐标,‎ 其中为与的夹角,.‎ 那么在运动过程中的向量,.‎ 设与所成夹角为,‎ 则.‎ 故,所以③正确,④错误.‎ 设与所成夹角为,‎ ‎.‎ 当与夹角为时,即,‎ ‎.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵.‎ ‎∴,此时与夹角为.‎ ‎∴②正确,①错误.‎ 三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.(12分)‎ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设为边上一点,且,求的面积.‎ ‎【解析】(1)由得,‎ 即,又,‎ ‎∴,得.‎ 由余弦定理.又∵代入并整理得,故.‎ ‎(2)∵,‎ 由余弦定理.‎ ‎∵,即为直角三角形,‎ 则,得.‎ 由勾股定理.‎ 又,则,‎ ‎.‎ ‎18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?‎ ‎【解析】⑴易知需求量可取 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 则分布列为:‎ ‎ ⑵①当时:,此时,当时取到.‎ ‎ ②当时:‎ ‎ 此时,当时取到.‎ ‎ ③当时,‎ ‎ ‎ ‎ 此时.‎ ‎ ④当时,易知一定小于③的情况.‎ ‎ 综上所述:当时,取到最大值为. ‎ ‎19.(12分)如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形.,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分.求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】⑴取中点为,连接,;‎ 为等边三角形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴,即为等腰直角三角形,‎ 为直角又为底边中点 ‎∴‎ 令,则 易得:,‎ ‎∴‎ 由勾股定理的逆定理可得 即 又∵‎ 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由题意可知 即,到平面的距离相等 即为中点 以为原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,设,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,‎ 易得:,,‎ 设平面的法向量为,平面的法向量为,‎ 则,解得 ‎,解得 若二面角为,易知为锐角,‎ 则 ‎20.(12分)已知抛物线,过点(2,0)的直线交于,两点,圆是以线段为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点在圆上;‎ ‎(2)设圆过点(4,),求直线与圆的方程.‎ ‎【解析】⑴显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.‎ 设,,,‎ 联立:得,‎ 恒大于,,.‎ ‎∴,即在圆上.‎ ‎⑵若圆过点,则 化简得解得或 ‎①当时,圆心为,‎ ‎,,‎ 半径 则圆 ‎②当时,圆心为,‎ ‎,,‎ 半径 则圆 ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)设为整数,且对于任意正整数,,求的最小值.‎ ‎【解析】⑴ ,‎ 则,且 当时,,在上单调增,所以时,,不满足题意;‎ 当时,‎ 当时,,则在上单调递减;‎ 当时,,则在上单调递增.‎ ‎①若,在上单调递增∴当时矛盾 ‎②若,在上单调递减∴当时矛盾 ‎③若,在上单调递减,在上单调递增∴满足题意 综上所述.‎ ‎⑵ 当时即 则有当且仅当时等号成立 ‎∴,‎ 一方面:,‎ 即.‎ 另一方面:‎ 当时,‎ ‎∵,,‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数),直线的参数方程为(m为参数),设与的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程:‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 ‎,M为与C的交点,求M的极径.‎ ‎【解析】⑴将参数方程转化为一般方程 ‎ ……①‎ ‎ ……②‎ ①②消可得:‎ 即的轨迹方程为;‎ ⑵将参数方程转化为一般方程 ‎ ……③‎ 联立曲线和 解得 由解得 即的极半径是.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.‎ ‎【解析】⑴可等价为.由可得:‎ ‎①当时显然不满足题意;‎ ‎②当时,,解得;‎ ‎③当时,恒成立.综上,的解集为.‎ ⑵不等式等价为,‎ 令,则解集非空只需要.‎ 而.‎ ‎①当时,;‎ ‎②当时,;‎ ‎③当时,.‎ 综上,,故.‎