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  • 2021-05-13 发布

高考函数的图像专题讲义

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2015 年高考函数的图像专题讲义 河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径,是研究函 数性质的一种常用方法,是数形结合的基础和依据。在今后的高考中 将会加大对函数图像的考查力度。主要以选择题、填空题的形式出现, 属于中偏高档题。主要考查形式有:知图选式、知式选图、图像变换 (平移、对称、翻折、伸缩变换),以及自觉的运用图像解题。因此 要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。笔者以 近几年高考题为载体,结合自己的教学经验整理如下,不足之处敬请 斧正! [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.在实际情境中,会根据不 同的需要选择图象法、列表 法、解析法表示函数. 2.会运用函数图象理解和研 究函数的性质,解决方程解 的个数与不等式的解的问 题. 3.会用数形结合思想、转化 与化归思想解决函数问题. 高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考 查函数图象的判断及应用. 1.对图象的判断主要有以下两种:(1)根据所给函数解析 式,利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律, 根据图象变换得出所求函数的图象,如 2012 年四川 T5,新 课标全国 T10 等. (2)根据函数的性质(如:奇偶性、单调性、周期性等)或函数 图象的特殊点得出所求函数的图象,如 2012 年山东 T9 等. 2.图象的应用主要有以下几个方面:求函数的值域、单调区 间,求参数的取值范围,判断非常规解的个数等,如 2012 年福建 T15,天津 T14 等. [归纳·知识整合] 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的 性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与 坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换: y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→a > 0,右移a个单位 a < 0,左移|a|个单位 y=f(x-a); y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→b > 0,上移b个单位 b < 0,下移|b|个单位 y=f(x)+b. (2)伸缩变换: y=f(x) y=f(ωx); y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→A > 1,伸为原来的A倍 0 < A < 1,缩为原来的A倍 y=Af(x). (3)对称变换: y=f(x) ― ― ― ― ―→关于x轴对称 y=-f(x); y=f(x) ― ― ― ― ―→关于y轴对称 y=f(-x); y=f(x) ― ― ― ― ― ― →关于原点对称 y=-f(-x). (4)翻折变换: y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →去掉y轴左边图,保留y轴右边图 将y轴右边的图象翻折到左边去 y=f(|x|); y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→留下x轴上方图 将x轴下方图翻折上去 y=|f(x)|. [探究] 1.函数 y=f(x)的图象关于原点对称与函数 y=f(x)与 y= -f(-x)的图象关于原点对称一致吗? 2.一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对 称有何区别? 提示:一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴 对称不是一回事.函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称是自身对称,说明 该函数为偶函数;而函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称, 是两个函数的图象对称. 3.若函数 y=f(x)的图象关于点(a,0)(a>0)对称,那么其图象如何 变换才能使它变为奇函数?其解析式变为什么? 提示:向左平移 a 个单位即可;解析式变为 y=f(x+a). 10 1 1 ω ω ω ω →< < ,伸长为原来的 倍 >1,缩短为原来的 [自测·牛刀小试] 1.(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速 行驶之后停车,若把这一过程中汽车行驶的路程 s 看作时间 t 的函数, 其图象可能是(  ) 2.函数 y=x|x|的图象经描点确定后的形状大致是(  ) 3.函数 y=ln(1-x)的图象大致为(  ) 4.已知下图(1)中的图象对应的函数为 y=f(x),则下图(2)中的图 象对应的函数在下列给出的四个式子中,可能是________(填序 号). ①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=-f(|x|);④y=f(-|x|). 5.(2012·镇江模拟)函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶 函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式 f(x) cos x <0 的解集为 ________. 考点一:作函数的图象 [例 1] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg(x-1)|; (2)y=2x+1-1; (3)y=x2-|x|-2. 画函数图象的一般方法 (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数 或解析几何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能 直接找到熟悉函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序 对变换单位及解析式的影响. (3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通 过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、 奇偶性等性质讨论. 强化训练: 1.分别画出下列函数的图象. (1)y=|x2-4x+3|;(2)y=2x+1 x+1 ;(3)y=10|lg x|. 考点二:识图与辨图 [例 2] (1)(2012·山东高考)函数 y= cos 6x 2x-2-x 的图象大致为(  ) (2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y= -f(2-x)的图象为(  ) 例 3:[2014 年福建卷] 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 1­1 所示,则下列函数图像正确的是(  ) 图 1­1 A B C D 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 (1)知图选式: ①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域; ②从图象的变化趋势,观察函数的单调性; ③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性; ④从图象的循环往复,观察函数的周期性. 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确的选项. (2)知式选图: ①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断 图象的上下位置;结合图像的特殊点(极值点、与坐标轴的交点等)。 ②从函数的单调性,判断图象的变化趋势; ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性. ④从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确选项. 注意联系基本函数图象和模型,当选项无法排除时,代特殊值, 或从某些量上寻找突破口. 强化训练: 2.函数 y=x 2 -2sin x 的图象大致是(  ) 3.(2013·杭州模拟)已知函数 f(x)的图象如图所示, 则 f(x)的解析式可能是(  ) A.f(x)=x2-2ln |x| B.f(x)=x2-ln |x| C.f(x)=|x|-2ln |x| D.f(x)=|x|-ln |x|  4.[2014 年浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x) =logax 的图像可能是(  )     A            B     C            D 考点三:函数图象的应用 [例 4] (2012·天津高考)已知函数 y=|x2-1| x-1 的图象与函数 y=kx-2 的 图 象 恰 有 两 个 交 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ________. 互动探究: 若将“y=kx-2”改为“y=kx”,k 的取值范围是 什么? [例 5]:[2013·江西卷] 如图 1-3 所示,半径为 1 的半圆 O 与等 边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1,l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 FG 的长为 x(00,且 a≠1,f(x)=x 2-ax,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)<1 2 ,则实数 a 的取值范围是________. 1 个易错点——图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样 才能避免出错. 3 个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象,必须做到以下三点: (1)正确求出函数的定义域; (2)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+1 x 的函数; (3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换 等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程. 3 种方法——识图的方法 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用 方法有:(1)定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而 得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;(2) 定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型 法,也就是由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数 模型来分析解决问题. 易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误 [典例 6] (2011·新课标全国卷)函数 y= 1 1-x 的图象与函数 y= 2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(  ) A.2   B.4    C.6     D.8 [易误辨析] 1.如果作出的函数图象比较粗糙,极易造成区间(1,2)上的两个 交点遗漏,从而误选 B. 2.如果作函数 y= 1 1-x 的图象不够准确,只注意到图象过点 (3 2 ,-1),极易忽视区间(3 2 ,2)上的交点,从而误选 C. 3.如果不能正确地挖掘函数 y= 1 1-x 及 y=2sin πx(-2≤x≤4)的 图象均关于点(1,0)对称,从而无法求出交点横坐标的和. 4.解决此类问题,避免在解题过程中出现失误,应关注以下几 点: (1)平时涉及函数图象的问题时,要规范准确地画出图象,切忌 不用尺规草草完成. (2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练 以提高解决这类问题的能力. (3)训练由图分析其函数性质的解题技巧. 强化训练: 1.已知函数 f(x)=Error!若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根, 则实数 a 的取值范围为(  ) A.(1,3)   B.(0,3)    C.(0,2) D.(0,1) 2.已知 a,b,c 依次是方程 2x+x=0,log2x=2-x 和 log1 2 x=x 的实数根,则 a,b,c 的大小关系是________. 2015 届高考函数的图像专题检测题 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.函数 y=Error!的图象大致是(  ) 2.函数 y=log2 |x| x 的大致图象是(  ) 3.(2013·太原模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数),则函数 f(x)的大致图象为(  ) 4.已知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)·g(x) 的图象可能是(  ) 5.已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后关于 y 轴对称, 当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设 a=f(-1 2 ),b=f(2), c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为(  ) A.c>a>b  B.c>b>a   C.a>c>b D.b>a>c 6.设函数 f(x)=Error!其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[- 1.5]=-2,[1.5]=1,若直线 y=k(x+1)(k>0)与函数 y=f(x)的图象有 三个不同的交点,则 k 的取值范围是(  ) A.(1 4 ,1 3]  B.(0,1 4]   C.[1 4 ,1 3] D.[1 4 ,1 3) 7.[2013·四川卷] 函数 y= x3 3x-1 的图像大致是(  ) 二、填空题 8.函数 f(x)=Error!的图象如图所示,则 a+b+c=________. 9.(2013·盐城模拟)若关于 x 的不等式 2-x2>|x-a|至少有一个负 数解,则实数 a 的取值范围是________. 10.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1] 时,f(x)=x2,则函数 y=f(x)与 y=log5x 的图象交点的个数为________. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 11.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值;(2)作出函数 f(x)的图象;(3)根据图象指出 f(x) 的单调递减区间;(4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集;(5)求当 x∈ [1,5)时函数的值域. 12.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)20 时, 函数 f(x)的单调性为先减后增,最小值为正,极小值点小于 1,分别 对选项中各个函数求导,并求其导函数等于 0 的正根, 可分别得 1, 2 2 ,2,1,由此可得仅函数 f(x)=x2-ln |x|符 合条件. 例4:[答案] (0,1)∪(1,4) 互动:解:函数可表示为 y=Error!图象 为如图所示的实线部分,数形结合可知,要使 两函数图象有两个交点,则 k∈(0,1)∪(1,2).  变式 5:B    6.解析:由题知,当 x∈(-1,1)时,f(x) =x2-ax<1 2 ,即 x2-1 2 0,则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2), 此时 a=2.结合图象可知,实数 a 的取值范围是(-9 4 ,2). 10.4  11.解:(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4. (2)f(x)=x|4-x|=Error! f(x)的图象如图所示.(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]. (4)由图象可知,f(x)>0 的解集为{x|04}. (5)∵f(5)=5>4,∴由图象知,函数在[1,5)上的值域为 [0,5). 12.解:设 f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,在同一直角坐标系中画出 f(x) 与 g(x)的图象,要使 x∈(1,2)时,不等式(x-1) 21 时,如图,使 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2