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- 2021-05-13 发布
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上海市2013—2014学年度高考数学模拟试卷
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.函数的定义域为
2.复数满足=,则=
3.底面边长为2m,高为1m的正三棱锥的全面积为 m2
4.某工厂生产10个产品,其中有2个次品,从中任取3个产品进行检测,则3个产品中至多有1个次品的概率为
5.若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______
6.已知圆:,直线:,设圆上到直线的距离等于1的点的个数为,则
7.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式 的解集用区间表示为
8.已知为等比数列,其前项和为,且,则数列的通项公式为
9.设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值范围为_____________
第11题图
10.已知是抛物线的焦点,是抛物线上两点,线段的中点为,则的面积为
11.如图,已知树顶A离地面米,树上另一点B离地面米,
某人在离地面米的C处看此树,则该人离此树 米时,
看A、B的视角最大
12.将函数()的图象向左平移个单位,得到函数的图象,若在上为增函数,则的最大值为
13.如图,矩形的一边在
轴上,另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标,记矩形的周长为,数列的前项和为,则=
14.已知定义域为的偶函数,对于任意,满足。且当时。令,,其中,函数则方程的解的个数为 (结果用表示)
二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.
15. 记max{a,b}为a和b两数中的较大数.设函数和的定义域都是R,则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件.
C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.
16.将函数的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得函数图象的一条对称轴是
A. B. C. D.
O
1
-1
-2
2
17.如图,偶函数的图象形如字母M,奇函数的图象形如字母N,若方程:的实数根的个数分别为a、b、c、d,则=
1
2
-1
-2
x
y
O
1
-1
A.27 B.30 C.33 D.36
18.已知表示大于的最小整数,例如.下列命题:
①函数的值域是;
②若是等差数列,则也是等差数列;
③若是等比数列,则也是等比数列;
④若,则方程有个根.
其中正确的是
A.②④ B.③④ C.①③ D.①④
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
19. (本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)
如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知分别在射线(不含端点)上运动,,在中,角、、所对的边分别是、、.
(1)若、、依次成等差数列,且公差为2.求的值;
(2)若,,试用表示的周长,并求周长的最大值.
21.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.
(1)设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,,...,是等比数列
(2)设,,...,是公差大于0的等差数列,且,证明:,,...,是等差数列
22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
O
x
y
A
B
l
在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为.
(1) 求椭圆C的方程
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,且.
求证:原点O到直线AB的距离为定值
(3)在(2)的条件下,求AB的最小值
23.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数.
(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;
第一组:;
第二组:;
(2)设,生成函数.若不等式
在上有解,求实数的取值范围;
(3)设,取,生成函数图像的最低点坐标为. 若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数,使恒成立?如果存在,求出这个的值;如果不存在,请说明理由.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 2. 5 3. 4. 5.
6. 4 7. 8. 9.
10. 2 11. 6 12. 2 13. 14.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.
15. A 16.C 17. B 18.D
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
19. (本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)
(1)由题设,连结,为等腰直角三角形,所以
,且,又为等腰三角形,
,且,从而. 所
以为直角三角形,.又.
所以平面.
(2)取中点,连结,由(1)知,
得.为二面角的平面角.
由得平面.
所以,又,故.所以二面角的余弦值为
20.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
(1)、、成等差,且公差为2,
、. 又,,
, ,
恒等变形得 ,解得或.又,.
(2) 在中,
, ,,.
的周长
,
又,,
当即时,取得最大值.
21.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
(1)因为,公比,所以是递增数列.
因此,对,,.
于是对,.
因此且(),即,,,是等比数列.
(2)设为,,,的公差.
对,因为,,所以=.
又因为,所以.
从而是递增数列,因此().
又因为,所以.
因此. 所以.
所以=.
因此对都有,即,,...,是等差数列.
22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
(1)由题意,可设椭圆C的方程为,
所以椭圆方程为
(2)设原点到直线的距离为h,则由题设及面积公式知.
当直线的斜率不存在或斜率为时,或
于是.
当直线的斜率存在且不为时,则,
解得 同理
在Rt△OAB中,,
则
,所以.
综上,原点到直线的距离为定值
另解:
,所以.
(3)因为h为定值,于是求的最小值即求的最小值.
,
令,则,
于是,
因为,所以,
当且仅当,即,取得最小值,因而
所以的最小值为.
23.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
(1)①
所以是的生成函数
② 设,即,
则,该方程组无解.所以不是的生成函数.
(2)
若不等式在上有解,
,
即
设,则,,
,故,.
(3)由题意,得,则
,解得,所以
假设存在最大的常数,使恒成立.
于是设
=
令,则,即
设在上单调递减,
,故存在最大的常数
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