• 588.00 KB
  • 2021-05-13 发布

高考数学一轮复习学案人教版A版98圆锥曲线的综合问题教师用

  • 17页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎§9.8圆锥曲线的综合问题 ‎★知识梳理★‎ ‎1.直线与圆锥曲线C的位置关系:‎ 将直线的方程代入曲线C的方程,消去y或者消去x,得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0.‎ ‎(1)交点个数:‎ ‎①当 a=0或a≠0,⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。‎ ‎(2) 弦长公式:‎ ‎2.对称问题:‎ 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上。‎ ‎3.求动点轨迹方程:‎ ‎①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法;③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法。‎ ‎★重难点突破★‎ 重点:掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法; 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点:轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点:综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 ‎1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ‎①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.‎ ‎2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中运用 问题1:已知点为椭圆的左焦点,点,动点在椭圆上,则的最小值为 .‎ 点拨:设为椭圆的右焦点,利用定义将转化为,结合图形, ,当共线时最小,最小值为 ‎★热点考点题型探析★‎ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1:交点个数问题 ‎[例1 ] 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l 与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(  )‎ ‎ A.[-,] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]‎ ‎【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 ‎[解析]  易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0),‎ 于是,可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为,‎ 联立 其判别式为,可解得 ,应选C.‎ ‎【名师指引】(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:一是判别式法;二是几何法 ‎(2)直线与圆锥曲线有唯一交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)‎ ‎(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对进行讨论,还要对二次项系数是否为0进行讨论 ‎【新题导练】‎ ‎1. (09摸底)已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C;设,平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.‎ ‎(1)求曲线的方程;(2)求m的取值范围.‎ ‎[解析](1)设圆上的动点为压缩后对应的点为,则,‎ 代入圆的方程得曲线C的方程:‎ ‎(2)∵直线平行于OM,且在y轴上的截距为m,又,‎ ‎∴直线的方程为. 由, 得 ‎ ‎∵直线与椭圆交于A、B两个不同点,∴ ‎ 解得.∴m的取值范围是.‎ 题型2:与弦中点有关的问题 ‎[例2](08韶关调研)已知点A、B的坐标分别是,.直线相交于点M,且它们的斜率之积为-2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点,求直线的方程.‎ ‎【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解 ‎[解析] (Ⅰ)设,‎ 因为,所以化简得:‎ ‎(Ⅱ) 设 ‎ 当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意 设直线的方程为 将代入得 ‎…………(1) …………(2) ‎ ‎(1)-(2)整理得:‎ 直线的方程为即所求直线的方程为 解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,‎ 其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,‎ 将其代入化简得 由韦达定理得,‎ 又由已知N为线段CD的中点,得,解得,‎ 将代入(1)式中可知满足条件.‎ 此时直线的方程为,即所求直线的方程为 ‎【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁 ‎【新题导练】‎ ‎2.椭圆的弦被点所平分,求此弦所在直线的方程。‎ ‎[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点,则 ‎,,两式相减得:,‎ 化简得,‎ 把代入得 故所求的直线方程为,即 ‎3.已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,求此椭圆的离心率 ‎[解析] 设,AB的中点为,‎ 代入椭圆方程得,,两式相减,得.‎ ‎ AB的中点为在直线上,,‎ ‎ ,而 ‎ 题型3:与弦长有关的问题 ‎ [例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20,为坐标原点.(1)求实数的值;‎ ‎(2)问点位于抛物线弧上何处时,△面积最大?‎ ‎【解题思路】用“韦达定理”求弦长;考虑△面积的最大值取得的条件 ‎ [解析](1)将代入得,‎ 由△可知,弦长AB,解得;‎ ‎(2)当时,直线为,要使得内接△ABC面积最大,‎ 则只须使得,即,即位于(4,4)点处.‎ ‎【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 ‎【新题导练】‎ ‎4. (山东省济南市高三统一考试)‎ 已知椭圆与直线相交于两点.‎ ‎(1)当椭圆的半焦距,且成等差数列时,求椭圆的方程;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求弦的长度;‎ ‎[解析](1)由已知得:,∴‎ 所以椭圆方程为:‎ ‎(2),由,得 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎(文)已知点和,动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线交于D、E两点,求线段DE的长.‎ ‎(文)解:根据双曲线的定义,可知C的轨迹方程为.设,,‎ 联立得.则.‎ 所以.‎ 故线段DE的长为.‎ 考点2:对称问题 题型:对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线,轨迹法为基本方法) ‎ ‎【新题导练】‎ ‎[例4 ] 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆=1于A、B两点,若A、B关于点M对称,求直线l的方程.‎ ‎[解析] ,设,则 又,,两式相减得:,‎ 化简得,‎ 把代入得 故所求的直线方程为,即 所以直线l的方程为 :8x-9y+25=0.‎ ‎5.已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB,O为坐标原点.‎ 求证:点A、B关于x轴对称;‎ ‎ ‎ ‎[解析]设,,,‎ ‎,即,‎ ‎,,,故点A、B关于x轴对称 ‎6.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.‎ ‎[解析] (1)当时,曲线上不存在关于直线对称的两点.‎ ‎(2)当k≠0时,设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点,AB的中点为,则直线直线的斜率为直线 ,可设 ‎ 代入y2=4x得 ‎ ‎,‎ 在直线y=kx+3上,,‎ 代入得即,又恒成立,所以-1<k<0.‎ 综合(1)(2),k的取值范围是(-1,0)‎ 考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型:求某些变量的范围或最值 ‎ [例5]已知椭圆与直线相交于两点.当椭圆的离心率满足,且(为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围.‎ ‎【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系 ‎ [解析]由,得 由,得此时 ‎ 由,得,∴‎ 即,故由,得 ‎∴由得,∴‎ 所以椭圆长轴长的取值范围为 ‎【名师指引】求范围和最值的方法:‎ 几何方法:充分利用图形的几何特征及意义,考虑几何性质解决问题 代数方法:建立目标函数,再求目标函数的最值.‎ ‎【新题导练】‎ ‎7. 已知P是椭圆C:的动点,点关于原点O的对称点是B,若|PB|的最小值为,求点P的横坐标的取值范围。‎ ‎[解析]由,设 ‎,‎ ‎,,解得或 又或 ‎8. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标. ‎ ‎[解析] 设,,‎ 因AB与x轴不平行,故可设AB的方程为,‎ 将它代入得 ‎ 由得即 ‎,‎ 将代入得 当且仅当即时取等号,此时,‎ 所以,点M 为或时,到y轴的最短距离最小,最小值为.‎ ‎9.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求在y轴上的截距b的取值范围. ‎ ‎[解析] 由消去y得:‎ 解得 设M(x0,y0)则 三点共线 令上为减函数.‎ ‎10.已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:(1)求的最小值;‎ ‎(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值.‎ ‎[解析](1)最小值为 ‎(2)最大值为10+|BC|=;最小值为10-|BC|=.‎ 考点4 定点,定值的问题 题型:论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量 ‎[例6] 已知P、Q是椭圆C:上的两个动点,是椭圆上一定点,是其左焦点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。‎ 求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;‎ ‎【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系 证明:设知 同理 ‎①当,‎ 从而有设PQ的中点为,‎ 得线段PQ的中垂线方程为 ‎②当 线段PQ的中垂线是x轴,也过点 ‎【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法:‎ ‎(1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关;‎ ‎(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值).‎ ‎【新题导练】‎ ‎11.已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1) (m∈R),则抛物线C恒过定点 ‎ ‎[解析](-1,0) [令x=-1得y=0]‎ ‎12.试证明双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.‎ ‎[解析] 双曲线上任意一点为,‎ 它到两渐近线的距离之积 考点6 曲线与方程 题型:用几种基本方法求轨迹方程 ‎[例7]已知抛物线C: y2=4x,若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合,试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程;‎ ‎【解题思路】探求动点满足的几何关系,在转化为方程 ‎[解析]由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线 x=-1 ‎ ‎(1)设P(x,y),则B(2x-1,2y), 椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,‎ 又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,‎ 即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x-2),化简得P点轨迹方程为y2=x-1(x>1)‎ ‎[名师指引] 求曲线方程的方法主要有:直接法、定义法、代入法、参数法,本题用到直接法,但题目条件需要转化 ‎【新题导练】‎ ‎13.点P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段OP中点,则点M的轨迹方程是 .‎ ‎[解析] [相关点法]‎ ‎14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点,,求点M的轨迹方程.‎ ‎[解析]右焦点(2,0),设 得,,直线l的斜率 又,,两式相减得,‎ 把,,代入上式得 ‎15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值,且的最小值为.求动点的轨迹方程; ‎ ‎[解析](1)由条件知,动点的轨迹为椭圆,其中半焦距为,‎ 点P在y轴上时最大,由余弦定理得,动点的轨迹方程.‎ ‎16. (广东实验中学)已知圆C:.‎ ‎(1)直线过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若,求直线的方程;‎ ‎(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量,求动点的轨迹方程.‎ ‎(3) 若点R(1,0),在(2)的条件下,求的最小值.‎ 解析(1)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为,与圆的两个交点坐标为和,其距离为,满足题意 ……1分 ‎②若直线不垂直于轴,设其方程为,即…2分 设圆心到此直线的距离为,则,得 ‎∴,,………4分  故所求直线方程为3x-4y+5=0‎ 综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1 ……………5分 ‎(2)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0) ‎ ‎ ∵,∴ 即, ………7分 又∵,∴ …………9分 直线m //y轴,所以,,∴点的轨迹方程是 ()……10分 ‎(3)设Q坐标为(x,y),, ,……11分 又()可得:‎ ‎.………13分 ‎ …………14分 ‎★课后训练★‎ 基础巩固训练 ‎1. 已知是三角形的一个内角,且,则方程表示 ‎ ‎(A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在y轴上的椭圆 ‎ ‎(C)焦点在x 轴上的双曲线 (D)焦点在y 轴上的双曲线 ‎1.[解析] B. 由知,‎ ‎2. 已知点M(3,4)在一椭圆上,则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是( )‎ ‎(A)12 (B)24 (C)48 (D)与椭圆有关 ‎2. [解析] C [由椭圆的对称性可知]; ‎ ‎3. 已知点F(,直线,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是 ( )‎ ‎ A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 ‎3.[解析]D. [MB=MF]‎ ‎4. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且,则这样的直线有___________条.‎ ‎4.[解析] 3; 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.‎ ‎5. 是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上运动,则的最大值是 .‎ ‎5.[解析]≤; ‎ ‎6. 若双曲线与圆有公共点,则实数的取值范围为 . ‎ ‎6. [解析] []‎ 综合提高训练 ‎7. 已知抛物线的弦AB经过点P(4,2)且OA⊥OB(O为坐标原点),弦AB所在直线的方程为 ‎ ‎7.[解析] 12x —23y—2=0 记住结论:‎ ‎8.已知椭圆 ,直线l到原点的距离为求证:直线l与椭圆必有两上交点.‎ ‎8.[解析] 证明:当直线l垂直x轴时,由题意知:‎ 不妨取代入曲线E的方程得: ‎ 即G(,),H(,-)有两个不同的交点,‎ 当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为:‎ 由题意知:‎ 由 ‎∴直线l与椭圆E交于两点, 综上,直线l必与椭圆E交于两点 ‎9. 求过椭圆内一点A(1,1)的弦PQ的中点M的轨迹方程.‎ ‎9.[解析]解:设动弦PQ的方程为,设P(),Q(),M(),则: ① ②‎ ‎①-②得:‎ 当时,‎ 由题意知,即 ③‎ ‎③式与联立消去k,得 ④‎ 当时,k不存在,此时,,也满足④.‎ 故弦PQ的中点M的轨迹方程为:‎ ‎10 .已知抛物线.过动点M(,0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B.若,求a的取值范围.‎ ‎10 .[解析]直线的方程为,将,‎ 得:.‎ 设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、,‎ 则 又,‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ 解得.‎ ‎11. 过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦,此弦满足:①弦长不超过8;②弦所在的直线与椭圆3x2 + 2y2 = 2相交,求k的取值范围.‎ ‎11. 解析:抛物线的焦点为(1,0),设弦所在直线方程为   由 得  2分 ‎  ∴故 由,解得k2≥1‎ 由 得  8分   由,解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3 ∴k的取值范围是[,-1]∪[1,]‎ ‎12. 在直角坐标平面内,已知两点A(-2,0)及B(2,0),动点Q到点A的距离为6,线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。‎ ‎(Ⅰ)证明|PA|+|PB|为常数,并写出点P的轨迹T的方程;‎ ‎12. 解:)连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P,∴|PB|=|PQ|,又|AQ|=6,‎ ‎∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6(常数)。‎ 又|PA|+|PB|>|AB|,从而P点的轨迹T是中心在原点,以A、B为两个焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中,2a=6,2c=4,∴椭圆方程为 ‎