高考数学一轮复习学案人教版A版98圆锥曲线的综合问题教师用 17页

‎§9.8圆锥曲线的综合问题 ‎★知识梳理★‎ ‎1.直线与圆锥曲线C的位置关系：‎ 将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)交点个数：‎ ‎①当 a＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。‎ ‎(2) 弦长公式：‎ ‎2.对称问题：‎ 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。‎ ‎3.求动点轨迹方程：‎ ‎①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。‎ ‎★重难点突破★‎ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 ‎1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ‎①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.‎ ‎2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为 .‎ 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形， ，当共线时最小，最小值为 ‎★热点考点题型探析★‎ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 ‎[例1 ] 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）‎ ‎ A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]‎ ‎【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 ‎[解析] 　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (－2 , 0)，‎ 于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线的方程为，‎ 联立 其判别式为，可解得 ，应选C.‎ ‎【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法 ‎（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）‎ ‎（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论 ‎【新题导练】‎ ‎1. （09摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.‎ ‎(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.‎ ‎[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，‎ 代入圆的方程得曲线C的方程：‎ ‎（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,‎ ‎∴直线的方程为. 由, 得 ‎ ‎∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，∴ ‎ 解得.∴m的取值范围是.‎ 题型2：与弦中点有关的问题 ‎[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.‎ ‎【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 ‎[解析] (Ⅰ)设，‎ 因为,所以化简得:‎ ‎(Ⅱ) 设 ‎ 当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意 设直线的方程为 将代入得 ‎…………(1) …………(2) ‎ ‎(1)－(2)整理得:‎ 直线的方程为即所求直线的方程为 解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,‎ 其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,‎ 将其代入化简得 由韦达定理得,‎ 又由已知N为线段CD的中点,得,解得,‎ 将代入(1)式中可知满足条件.‎ 此时直线的方程为,即所求直线的方程为 ‎【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 ‎【新题导练】‎ ‎2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。‎ ‎[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则 ‎，，两式相减得：，‎ 化简得，‎ 把代入得 故所求的直线方程为，即 ‎3.已知直线y＝－x＋1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y＝0上，求此椭圆的离心率 ‎[解析] 设，AB的中点为,‎ 代入椭圆方程得，,两式相减,得.‎ ‎ AB的中点为在直线上，，‎ ‎ ，而 ‎ 题型3：与弦长有关的问题 ‎ [例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．（1）求实数的值；‎ ‎（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？‎ ‎【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件 ‎ [解析]（1）将代入得，‎ 由△可知，弦长AB，解得；‎ ‎（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，‎ 则只须使得，即，即位于（4，4）点处．‎ ‎【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 ‎【新题导练】‎ ‎4. (山东省济南市高三统一考试)‎ 已知椭圆与直线相交于两点．‎ ‎（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求弦的长度；‎ ‎[解析]（1）由已知得：，∴‎ 所以椭圆方程为：‎ ‎（2），由，得 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．‎ ‎（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．设，，‎ 联立得．则．‎ 所以．‎ 故线段DE的长为．‎ 考点2：对称问题 题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法） ‎ ‎【新题导练】‎ ‎[例4 ] 若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M交椭圆＝1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程．‎ ‎[解析] ，设，则 又，，两式相减得：，‎ 化简得，‎ 把代入得 故所求的直线方程为，即 所以直线l的方程为 ：8x－9y＋25＝0.‎ ‎5.已知抛物线y2＝2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.‎ 求证：点A、B关于x轴对称；‎ ‎ ‎ ‎[解析]设，，，‎ ‎，即，‎ ‎，，，故点A、B关于x轴对称 ‎6.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.‎ ‎[解析] （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．‎ ‎（2）当k≠0时，设抛物线y2＝4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 ‎ 代入y2＝4x得 ‎ ‎，‎ 在直线y＝kx＋3上，，‎ 代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．‎ 综合（1）（2），k的取值范围是（－1，0）‎ 考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型：求某些变量的范围或最值 ‎ [例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．‎ ‎【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系 ‎ [解析]由，得 由，得此时 ‎ 由，得，∴‎ 即，故由，得 ‎∴由得，∴‎ 所以椭圆长轴长的取值范围为 ‎【名师指引】求范围和最值的方法：‎ 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．‎ ‎【新题导练】‎ ‎7. 已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。‎ ‎[解析]由，设 ‎，‎ ‎，，解得或 又或 ‎8. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标． ‎ ‎[解析] 设，，‎ 因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，‎ 将它代入得　‎ 由得即 ‎，‎ 将代入得 当且仅当即时取等号，此时，‎ 所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．‎ ‎9.直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线过点P（－2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围． ‎ ‎[解析] 由消去y得：‎ 解得 设M（x0，y0）则 三点共线 令上为减函数.‎ ‎10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；‎ ‎（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．‎ ‎[解析]（1）最小值为 ‎（2）最大值为10＋|BC|＝；最小值为10－|BC|＝．‎ 考点4 定点，定值的问题 题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量 ‎[例6] 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。‎ 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；‎ ‎【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系 证明：设知 同理 ‎①当，‎ 从而有设PQ的中点为，‎ 得线段PQ的中垂线方程为 ‎②当 线段PQ的中垂线是x轴，也过点 ‎【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：‎ ‎（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;‎ ‎（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．‎ ‎【新题导练】‎ ‎11.已知抛物线C的方程为y＝x2－2m2x－(2m2＋1) (m∈R)，则抛物线C恒过定点 ‎ ‎[解析](－1,0) [令x＝－1得y＝0]‎ ‎12.试证明双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.‎ ‎[解析] 双曲线上任意一点为，‎ 它到两渐近线的距离之积 考点6 曲线与方程 题型：用几种基本方法求轨迹方程 ‎[例7]已知抛物线C： y2＝4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；‎ ‎【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程 ‎［解析］由抛物线y2＝4x,得焦点F(1,0),准线 x＝－1 ‎ ‎(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),　椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|＝e,‎ 又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,‎ 即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2＝x－1(x＞1)‎ ‎[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化 ‎【新题导练】‎ ‎13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .‎ ‎[解析] [相关点法]‎ ‎14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．‎ ‎[解析]右焦点（2，0），设 得，，直线l的斜率 又,,两式相减得,‎ 把，，代入上式得 ‎15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程； ‎ ‎[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，‎ 点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．‎ ‎16. (广东实验中学)已知圆C:.‎ ‎(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；‎ ‎(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.‎ ‎(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.‎ 解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意 ……1分 ‎②若直线不垂直于轴，设其方程为，即…2分 设圆心到此直线的距离为，则，得 ‎∴，，………4分　　故所求直线方程为3x－4y＋5＝0‎ 综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1 ……………5分 ‎(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0) ‎ ‎ ∵，∴ 即， ………7分 又∵，∴ …………9分 直线m //y轴，所以，,∴点的轨迹方程是 ()……10分 ‎（3）设Q坐标为(x,y)，， ，……11分 又()可得：‎ ‎.………13分 ‎ …………14分 ‎★课后训练★‎ 基础巩固训练 ‎1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 ‎ ‎（A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的椭圆 ‎ ‎（C）焦点在x 轴上的双曲线 （D）焦点在y 轴上的双曲线 ‎1.[解析] B. 由知，‎ ‎2. 已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（ ）‎ ‎（A）12 （B）24 （C）48 （D）与椭圆有关 ‎2. [解析] C [由椭圆的对称性可知]; ‎ ‎3. 已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 （ ）‎ ‎ A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 ‎3.[解析]D. [MB＝MF]‎ ‎4. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.‎ ‎4.[解析] 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.‎ ‎5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．‎ ‎5.[解析]≤; ‎ ‎6. 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为 . ‎ ‎6. [解析] []‎ 综合提高训练 ‎7. 已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为 ‎ ‎7.[解析] 12x —23y—2＝0 记住结论：‎ ‎8.已知椭圆 ，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点.‎ ‎8.[解析] 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：‎ 不妨取代入曲线E的方程得： ‎ 即G（，），H（，－）有两个不同的交点，‎ 当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：‎ 由题意知：‎ 由 ‎∴直线l与椭圆E交于两点, 综上，直线l必与椭圆E交于两点 ‎9. 求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．‎ ‎9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则： ① ②‎ ‎①－②得：‎ 当时，‎ 由题意知，即 ③‎ ‎③式与联立消去k，得 ④‎ 当时，k不存在，此时，，也满足④．‎ 故弦PQ的中点M的轨迹方程为：‎ ‎10 .已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．‎ ‎10 .[解析]直线的方程为，将，‎ 得:．‎ 设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，‎ 则 又，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ 解得．‎ ‎11. 过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2 ＋ 2y2 ＝ 2相交，求k的取值范围．‎ ‎11. 解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为 　　由　得　 2分 ‎　　∴故 由，解得k2≥1‎ 由　得　 8分 　　由，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3 ∴k的取值范围是[，－1]∪[1，]‎ ‎12. 在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。‎ ‎（Ⅰ）证明|PA|＋|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；‎ ‎12. 解：）连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，‎ ‎∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常数）。‎ 又|PA|＋|PB|>|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴椭圆方程为 ‎