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  • 2021-05-13 发布

新课标备战高考数学知识总结专题7排列组合二项定理

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‎7. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理.‎ ‎1. 乘法原理、加法原理.‎ ‎2. 可以有重复元素的排列.‎ 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:种)‎ 二、排列.‎ ‎1. ⑴对排列定义的理解.‎ 定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.‎ ‎⑵相同排列.‎ 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.‎ ‎⑶排列数.‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号表示.‎ ‎⑷排列数公式: ‎ 注意: 规定0! = 1 ‎ ‎ 规定 ‎2. 含有可重元素的排列问题.‎ 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk,且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于. ‎ 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数. ‎ 三、组合.‎ ‎1. ⑴组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.‎ ‎⑵组合数公式:‎ ‎⑶两个公式:① ②‎ ‎①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.‎ ‎(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有)‎ ‎②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有C种,依分类原理有. ‎ ‎⑷排列与组合的联系与区别.‎ 联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.‎ 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.‎ ‎⑸①几个常用组合数公式 ‎②常用的证明组合等式方法例.‎ i. 裂项求和法. 如:(利用)‎ ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.‎ v. 递推法(即用递推)如:.‎ vi. 构造二项式. 如: ‎ 证明:这里构造二项式其中的系数,左边为 ‎,而右边 四、排列、组合综合.‎ ‎1. I.‎ 排列、组合问题几大解题方法及题型:‎ ‎①直接法. ②排除法.‎ ‎③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成一列,要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”,而则是“局部排列”.‎ 又例如①有n个不同座位,A、B两个不能相邻,则有排列法种数为. ‎ ‎②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有.‎ ‎③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有.‎ 注:①③区别在于①是确定的座位,有种;而③的商品地位相同,是从n件不同商品任取的2个,有不确定性.‎ ‎④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.‎ 例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤时有意义.‎ ‎⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.‎ ‎⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有种排列方法.‎ 例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?‎ 解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二:(比例分配法).‎ ‎⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有.‎ 例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?‎ ‎()‎ 注意:分组与插空综合. 例如:n个元素全排列,其中某m个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有,当n – m+1 ≥m, 即m≤时有意义.‎ ‎⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.‎ 例如:的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然,故()是方程的一组解.反之,方程的任何一组解,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图 ‎ 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.‎ 注意:若为非负数解的x个数,即用中等于,有,进而转化为求a的正整数解的个数为 .‎ ‎⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有.‎ 例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?‎ 固定在某一位置上:;不在某一位置上:或(一类是不取出特殊元素a,有,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的)‎ ‎⑩指定元素排列组合问题. ‎ i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略,排列;组合.‎ ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略,排列;组合.‎ iii ‎ 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略,排列;组合. ‎ II. 排列组合常见解题策略:‎ ‎①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;‎ ‎⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.‎ ‎2. 组合问题中分组问题和分配问题.‎ ‎①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以.‎ 例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为.若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为 ‎②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为 例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:种.‎ 若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有种 ‎③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为.‎ 例:10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为 ‎ ‎④非均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为…‎ 例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为.‎ 五、二项式定理.‎ ‎1. ⑴二项式定理:.‎ 展开式具有以下特点:‎ ① 项数:共有项;‎ ② 系数:依次为组合数 ③ 每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.‎ ‎⑵二项展开式的通项.‎ 展开式中的第项为:.‎ ‎⑶二项式系数的性质.‎ ‎①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;‎ ‎②二项展开式的中间项二项式系数最大.‎ I. 当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;‎ II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.‎ ‎③系数和:‎ ‎ ‎ 附:一般来说为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当时,一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值)的办法来求解.‎ ‎⑷如何来求展开式中含的系数呢?其中且把视为二项式,先找出含有的项,另一方面在中含有的项为,故在中含的项为.其系数为.‎ ‎2. 近似计算的处理方法.‎ 当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式,因为这时展开式的后面部分很小,可以忽略不计。类似地,有但使用这两个公式时应注意a的条件,以及对计算精确度的要求.‎