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- 2021-05-13 发布
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专题35 等比数列问题探究
【热点聚焦与扩展】
等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等比数列的重要内容,在历届高考中必考,既有独立考查的情况,也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况.选择题、填空题、解答题多种题型加以考查.
1、定义:数列从第二项开始,后项与前一项的比值为同一个常数,则称为等比数列,这个常数称为数列的公比
注:非零常数列既可视为等差数列,也可视为的等比数列,而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式:,也可以为:
3、等比中项:若成等比数列,则称为的等比中项
(1)若为的等比中项,则有
(2)若为等比数列,则,均为的等比中项
(3)若为等比数列,则有
4、等比数列前项和公式:设数列的前项和为
当时,则为常数列,所以
当时,则
可变形为:,设,可得:
5、由等比数列生成的新等比数列
(1)在等比数列中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
(2)已知等比数列,则有
① 数列(为常数)为等比数列
② 数列(为常数)为等比数列,特别的,当时,即为等比数列
③ 数列为等比数列
16
④ 数列为等比数列
6、相邻项和的比值与公比相关:
设,则有:
特别的:若
,则成等比数列
7、等比数列的判定:(假设不是常数列)
(1)定义法(递推公式):
(2)通项公式:(指数类函数)
(3)前项和公式: x-k/w
注:若,则是从第二项开始成等比关系
(4)等比中项:对于,均有
8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系
,因为是首项为,公比为的等比数列,所以有
9、等差数列性质与等比数列性质:
等差数列
等比数列
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递推公式
通项公式
等差(比)中项
等间隔抽项
仍构成等差数列
仍构成等比数列
相邻项和
成等差数列
成等比数列
10、等差数列与等比数列的互化:
(1)若为等差数列,,则成等比数列
证明:设的公差为,则为一个常数
所以成等比数列
(2)若为正项等比数列,,则成等差数列
证明:设的公比为,则为常数
所以成等差数列
【经典例题】
例1.【2017课标II,理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
【答案】B
【解析】
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【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时,要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题,然后经过数学推理与计算得出的结果,放回到实际问题中进行检验,最终得出结论.
例2.【2019届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中,,,则( )
A. B. -2 C. 2 D. 4
【答案】C
点睛:等比数列中,若,则;
等差数列中,若,则.
例3.【2019届2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知等比数列的前项和是,则下列说法一定成立的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】C
【解析】分析:由,可得,分当时,当时,当时和时,由不等式的性质均可得到.
详解:当时,,
又当时,,
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点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质,意在考查分类讨论思想与计算能力,属于中档题.
例4.【2017课标3,理9】等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为
A. B. C.3 D.8
【答案】A
【解析】
例5.【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地,请问第天比第天多走
A. 12里 B. 24里 C. 36里 D. 48里
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【答案】C
【解析】设第天走了里,其中.由题意可知成等比数列,公比,且,解得,所以,,所以,故第天比第天多走里.故选C.
例6.【2019届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列进行“扩展”,第一次得到数列;第二次得到数列;….设第次“扩展”后得到的数列为,并记,其中,则数列的前项和为__________.
【答案】
【解析】分析:先求出,再找到关系构造数列求出,最后求数列的前n项和得解.
所以,
所以.
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故答案为:
点睛:(1)本题属于定义题,考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系,并能找到关系
例7.【2017江苏,9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .
【答案】32
【解析】当时,显然不符合题意;
当时,,解得,则.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
例8.【2017北京,理10】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=_______.
【答案】1
【解析】
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
例9.【2019届北京市海淀区二模】已知等差数列满足.
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(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列是首项为1,公比为2的等比数列,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)设等差数列的公差为, 由 ,令
可得,解得,从而可得结果;(Ⅱ)由数列是首项为1,公比为2的等比数列,可得,结合(1)可得,利用等差数列与等比数列的求和公式,根据分组求和法可得数列的前项和.
详解:设等差数列的公差为,
所以
因为,
所以.
设数列的前项和为,
则
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所以数列的前项和为
点睛:本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和,属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
例10.【2019届福建省龙岩市4月检测】已知正项等比数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
∵数列是等比数列,∴公比,
∴数列的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
∴数列的前项和
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=.
【精选精练】
1.【2019届福建省三明市5月检测】若为数列的前项和,且,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
其前8项和为:.
本题选择C选项.
点睛:给出 与 的递推关系,求an,常用思路是:一是利用转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
2.【2019届东北三省三校(哈尔滨师范大学附属中学)三模】已知等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:设出等比数列的公比,利用求出公比,利用等比数列通项公式求解即可.
详解:设公比为,则,
解得,故选A.
3.【2019届安徽省合肥市三模】若正项等比数列满足,则的值是
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A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】分析:设正项等比数列的公比为,由,可得,解得 ,解得,代入即可得结果.
则,故选D.
4.【2019届安徽省合肥市三模】若正项等比数列满足,则其公比为
A. B. 2或-1 C. 2 D. -1
【答案】C
【解析】分析:设等比数列的公比为,由等比数列的通项公式可得,即,可解得的值,根据正项数列,排除不合题意的公比即可.
详解:根据题意,设等比数列的公比为,
若,则有,
即,
解可得或,
由数列为正项等比数列,可得,故选C.
点睛:本题主要考查等比数列的通项公式,属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量
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,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
5.【2019届湖南省长郡中学一模】已知等比数列的各项都是正数,且,,成等差数列,( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
点睛:正整数满足,若数列是等差数列,则,若数列是等比数列,则,时也成立,此性质是等差数列(等比数列)的重要性质,解题时要注意应用.
6.【2019届湖南省株洲市检测二】已知等差数列的公差为2,若成等比数列,是的前项和,则等于( )
A. -8 B. -6 C. 0 D. 10
【答案】C
【解析】分析:由成等比数列,可得
再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出.
详解:∵4成等比数列,∴, 化为 解得
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则
故选D.
7.【2019届华大新高考联盟高三4月检测】设等比数列的前项和为,若,且,则__________.
【答案】
8.【2019届吉林省梅河口市第五中学二模】设正项等比数列的前项和为,若,则的最小值为_______.
【答案】4
【解析】分析:由得到等比数列的公比,然后再根据基本不等式求解.
详解:设等比数列的公比为,
∵,
∴.
∴,当且仅当,即时等号成立.
∴的最小值为4.
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点睛:利用基本不等式求最值时要注意不等式成立的条件,即“一正二定三相等”,且三个条件缺一不可,解题时要说明等号成立的条件.
9.【2019届安徽省“皖南八校”第三次(4月)联考】已知数列的前的前项和为,数列的的前项和为,则满足的最小的值为__________.
【答案】9
点睛:本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题,其中解答中涉及到数列的通项与的关系,推导数列的通项公式,以及等差、等比数列的前项和公式的应用,熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.
10.【2019届宁夏石嘴山市4月一模)】在正项等比数列中,若成等差数列,则__________.
【答案】.
【解析】由于成等差数列,所以,即,,解得.故.
11.【2019届山东省名校联盟第一次模拟】已知数列中,,对任意的,都有
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(1)证明:数列成等比数列,成等比数列,其中;
(2)记数列的前项和为,求.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)由题意,求得,同理可得,即可利用等比数列的定义,证得结论.
(2)由(1)得,,即可利用分组求和求的数列的值.
(2),,
,
12.【2019届辽宁省丹东市模拟二】为数列的前项和,已知,.
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(1)求的通项公式;
(2)若数列的前项和满足,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由和作差得,化简可得等比数列,从而得解;
(2)由,利用裂项相消法求和得,进而求解不等式即可.
不等式可化为.因为,所以,故.
因此实数的取值范围为.
点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
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