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  • 2021-05-13 发布

高考复习之数列通项公式的十种求法

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数列通项公式的十种求法 一、公式法 例1 已知数列满足,,求数列的通项公式。‎ 解:两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。‎ 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。‎ 二、累加法 例2 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:由得则 所以数列的通项公式为。‎ 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列 的通项公式。‎ 例3 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:由得则 所以 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。‎ 例4 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:两边除以,得,‎ 则,故 因此,‎ 则 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。‎ 三、累乘法 例5 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:因为,所以,则,故 所以数列的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。‎ 例6 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。‎ 解:因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式-①式得 则 故 所以 ③‎ 由,,则,又知,则,代入③得。‎ 所以,的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。‎ 四、待定系数法 例7 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:设 ④‎ 将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得 ⑤‎ 由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。‎ 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。‎ 例8 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:设 ⑥‎ 将代入⑥式,得 整理得。‎ 令,则,代入⑥式得 ‎ ⑦‎ 由及⑦式,‎ 得,则,‎ 故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。‎ 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。‎ 例9 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:设 ⑧‎ 将代入⑧式,得 ‎,则 等式两边消去,得,‎ 解方程组,则,代入⑧式,得 ‎ ⑨‎ 由及⑨式,得 则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。‎ 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。‎ 五、对数变换法 例10 已知数列满足,,求数列的通项公式。‎ 解:因为,所以。在 式两边取常用对数得 ⑩‎ 设 将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则 ‎,故 代入式,得 由及式,‎ 得,‎ 则,‎ 所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此 则。‎ 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。‎ 六、迭代法 例11 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:因为,所以 又,所以数列的通项公式为。‎ 评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。‎ 七、数学归纳法 例12 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:由及,得 由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎(1)当时,,所以等式成立。‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,则当时,‎ 由此可知,当时等式也成立。‎ 根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。‎ 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。‎ 八、换元法 例13 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,则 故,代入得 即 因为,故 则,即,‎ 可化为,‎ 所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得 ‎。‎ 评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。‎ 九、不动点法 例14 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,得,则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。‎ 评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。‎ 例15 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,得,则是函数的不动点。‎ 因为,所以 ‎。‎ 评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。‎ 九、不动点法 例14 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,得,则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。‎ 评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。‎ 例15 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,得,则是函数的不动点。‎ 因为,所以