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- 2021-05-13 发布
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大连民族学院附中 2019 版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练:空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.在直三棱柱 中, ,已知 G 与 E 分别为
和 的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 ,则线段
DF 长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.如图是一个几何体的三视图,其正视图和侧视图是两个全等的等腰梯形,上底边长为 2,下
底边长为 6,腰长为 5,则该几何体的侧面积为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】B
3.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
[ 来 源 : Z _ x x _ k . C o m ]
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
【 答 案 】 C
4.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图的 面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.1 或 2
【答案】D
5.在空间直角坐标系中, 点 P(2,3,4)与 Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是( )
A.关于 x 轴对称 B.关于 xOy 平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
【答案】B
6.已知正三棱锥 的主视图、俯视图如下图所示,其中 VA=4,AC= ,则该三棱锥的
左视图的面积为( )
A.9 B.6 C. D.
【答案】B
7.如图,空间四边形 四边相等,顺次连接各边中点 ,则四边形 一定
1 1 1A B C ABC− 1, 12BAC AB AC AA
π∠ = = = = 1 1A B
1CC GD EF⊥
)1, 2
1 ,25
1 ,1
5
1 , 2
5
π π π π
V ABC− 32
33 39
ABCD HGFE ,,, EFGH
是( )
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.空间四边形
【答案】C
8.下列命题中不正确的是( )
A.若
B.若 ∥ , ∥ ,则 ∥
C.若 , , ∥ ,则 ∥
D.若一直线上有两点在已知平面外,则直线上所有点在平面外
【答案】D
9.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
【答案】C
10.下列命题中,正确的是
A.一个平面把空间分成两部分; B.两个平面把空间分成三部分;
C.三个平面把空间分成四部分; D.四个平面把空间分成五部分。
【答案】A
11.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的
一条棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到平面图形,则标“△”的面的方位是( )
A.南 B.北 C.西 D.下
【答案】B
12.长度分别为 1,a,a,a,a,a 的线段能成为同一个 四面体的 6 条棱的充要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
第 Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)
13.如图,在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则正三棱锥
A-BCD 的体积是 .
【答案】
2
24
14.已知点 A(-3,1,2),则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ;AB 的长为 ;
【答案】B(3,-1,-2),|AB|=
15.在空间直角坐标系中,点 关于 轴对称点 的坐标为
【答案】
16.已知正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 1. 则 B C 与平面 AB C 所成的角的正切值
为 .
【答案】
三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
ααα ⊂==⊂⊂ lBblAalba 则, ,,,
a c b c a b
a ⊄ α b ⊂ α a b a α
30 << a 20 << a 3
3>a 33
3 << a
142
(2, 4,6)P − y 'P
( 2, 4, 6)P′ − − −
1 1 1 1 1 1 1
2
2
17 .如图,正四棱柱 中, , ,点 在棱 上,且
.
(1)求 的长; (2)求钝二面角 的大小.
【答案】(1)如图,以点 为原点 , 分别为 轴
建立空间直角坐标系 , 则 , , ,
设 ,其中 , 因为 ,所以 ,
即 , 得 , 此时 ,即有 ;
(2)易得平面 的一个法向量为 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 即 不妨取 ,则 , ,即 ,
所以 ,
所以,钝二面角 的大小为 .
18.如图,直三棱柱 , , AA′=1,点 分
别为 和 的中点。
(Ⅰ)证明: ∥平面 ;[来源:1ZXXK]
(Ⅱ)求三棱锥 的体积。
【答案】( 1)(法一)连结 ,由已知
三棱柱 为直三棱柱,
所以 为 中点.又因为 为 中点
所以 ,又 平面
平面 ,因此
(法二)取 的中点为 P,连结 MP,NP,
∵ 分别为 和 的中点,
∴MP∥ ,NP∥ ,
∴MP∥面 ,NP∥面 ,
∵ , ∴面 MPN∥面 ,
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AD = 1 2D D = P 1CC
1A PB π∠ = 2
PC 1A A B P− −
D O 1DA DC DD, , x y z, ,
O xyz− ( )0 0 0D , , ( )1 1 0B , , ( )1 1 0 2A , ,
( )0 1P λ, , [ ]0 2λ ∈ , 1A PB π∠ = 2 1 0A P BP⋅ =
( ) ( )1 1 2 1 0 0λ λ− − ⋅ − =, , , , 1λ = ( )0 1 1P , , 1PC =
1AA B ( )1 0 0m DA= = , ,
1A BP ( )n x y z= , ,
1 0
0
n
n
A P
BP
⋅ =
⋅ =
,
,
0
0
x y z
x z
− + − =
− + =
,
, 1x = 0y = 1z = − ( )1 0 1n = −, ,
21cos 21 2
m nm n > m n
⋅< = = =
×,
1A A B P− − 3π
4
/ / /ABC A B C− 90BAC∠ = 2,AB AC= = ,M N
/A B / /B C
MN / /A ACC
/A MNC−
', 'AB AC =90 , =BAC AB AC∠ °
- ' ' 'ABC ABC
M 'AB N ' 'BC
/ / 'MN AC MN ⊄ ' 'AACC
'AC ⊂ ' 'AACC // ' 'MN AACC平面
A B′ ′
,M N /A B / /B C
AA′ A C′ ′
A ACC′ ′ A ACC′ ′
MP NP P∩ = A ACC′ ′
∵MN 面 , ∴MN∥面 .
(Ⅱ)(解法一)连结 BN,由题意 ⊥ ,面 ∩面 = ,
∴ ⊥⊥面 NBC, ∵ = =1,
(解法 2)
19.如图所示,已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心.
求证:PQ∥平面 BCC1B1.
【答案】证法一:如图①取 B1B 中点 E,BC 中点 F,连接 PE、QF、EF,∵△A1B1B 中,P、E 分别
是 A1B、B1B 的中点,
∴PE 綊
1
2A1B1.
同理 QF 綊
1
2AB.
又 A1B1 綊 AB,∴PE 綊 QF .
∴四边形 PEFQ 是平行四边形.∴PQ∥EF.
又 PQ⊄平面 BCC1B1,EF⊂平面 BCC1B1,
∴PQ∥平面 BCC1B1.
证法二:如图②,连接 AB1,B1C,
∵△AB1C 中,P、Q 分别是 A1B、AC 的中点,∴PQ∥B1C.
又 PQ⊄平面 BCC1B1,
B1C⊂平面 BCC1B1,
∴PQ∥平面 BCC1B1.
20.如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1。
(1)求证:平面 AB1D⊥平面 B1BCC1;
(2)求证:A1C 平面 AB1D;
(3)求二面角 B—AB1—D 的正切值。
【答案】 解法一:
证明:(1)因为 B1B⊥平面 ABC,AD 平面 ABC,
所以 A D⊥B1B [来源:1ZXXK]
因为 D 为正△ABC 中 BC 的中点,
所以 AD⊥BD
又 B1B∩BC=B,
所以 AD⊥平面 B1BCC1
又 AD 平面 AB1D,故平面 AB1D⊥平面 B1BCC1
(2)连接 A1B,交 AB1 于 E,连 DE
因为点 E 为矩形 A1ABB1 对角线的交点,所以 E 为 AB1 的中点
又 D 为 BC 的中点,所以 DE 为△A1BC 的中位线,
所以 DEA1C
又 DE 平面 AB1D,所以 A1C 平面 AB1D[来源:Z,xx,k.Com]
(3)过 D 作 DF⊥AB 于 F,过 F 作 FG⊥AB1 于 G,连接 DG。
因为平面 A1ABB1⊥平面 ABC,DF⊥AB,所以 DF⊥平面 A1ABB1。
又 AB1 平面 A1ABB1,所以 AB1⊥DF。
又 FG⊥AB1,所以 AB1⊥平面 DFG,所以 AB1⊥DG。
又 AB1⊥FG,所以∠DGF 为二面角 B—AB1—D 的平面角。
因为 AA1=AB=1,
⊂ A ACC′ ′ A ACC′ ′
A N′ B C′ ′ A B C′ ′ ′ B BCC′ ′ B C′ ′
A N′ A N′ 1
2 B C′ ′
1 1 1
2 2 6A MNC A NBC M NBC A NBCV V V V′ ′ ′− − − −= = = =
⊂
⊂
⊂
⊂
所以在正△ABC 中,
在
所以在
解法二:
解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有:
(1)证明:由 ,
得
又 BC∩⊥BB1=B,所以 AD⊥平面 B1BCC1。
又 AD 平面 AB1D,所以平面 AB1D⊥B1BCC1
(2)证明:连接 A1B,交 AB1 于 E,连 DE,
因为点 E 为正方形 A1ABB1 对角线的交点,所以 E 为 AB1 的中点,
即
又 DE 平面 AB1D,所以 A1C 平面 AB1D
(3)解:设平面 ABB1 的一个法向量为
由
设平面 AB1D 的一个法向量为
由
所以 [来源:1ZXXK]
所以 ,
3 ,4DF =
3 3 2, .4 8ABE FG BE∆ = =中
6,tan .3
DFRt DFG DGF FG
∆ ∠ = =中
1
3( ,0,0), (0,1,0), (0,0,1)2AD BC BB= = =
11
0, ,
,0,
AD BC AD BC
AD BBAD BB
⋅ = ⊥ ⊥⋅ =
所以
⊂
3 1 1( , , ).4 4 2E − −
⊂
1 1 1 1( , , ),n x y z=
1 1 1
1
1 1 1
3 1 0, (1, 3,0).2 2
0,
AB n x y n
BB n z
⋅ = − = =
⋅ = =
得
2 2 2 2( , , ),n x y z=
1 2 2 2 2
2
2 2
3 1 0, 12 2 (0,1, ).23 0,2
AB n x y z
n
AD n x
⋅ = − + = =
⋅ = =
得
1 2
3 15cos , .511 3 1 4
n n< >= =
+ × +
1 2
6tan , 3n n< >=
依图可得二面角 B—AB1—D 的正切值为
21.如图 1,在直角梯形 中, , ,且 .
现以 为一边向形外作正方形 ,然后沿边 将正方形 翻折,使平面
与平面 垂直, 为 的中点,如图 2.
(1)求证: ∥平面 ;
(2)求证: 平面 ;
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】 (1)证明:取 中点 ,连结 .
在△ 中, 分别为 的中点,
所以 ∥ ,且 .
由已知 ∥ , ,
所以 ∥ ,且 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 ∥ .
又因为 平面 ,且 平面 ,
所以 ∥平面 .
(2)证明:在正方形 中, .
又因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 .
所以 .
在直角梯形 中, , ,可得 .
在△ 中, ,
所以 .
所以 .
所以 平面 .
(3)解法一:由(2)知, 平面
又因为 平面 , 所以平面 平面 .
过点 作 的垂线交 于点 ,则 平面
所以点 到平面 的距离等于线段 的长度
在直角三角形 中,
所以
所以点 到平面 的距离等于 .
解法二:由(2)知,
所以
又 ,设点 到平面 的距离为
6 .3
ABCD CDAB // ADAB ⊥ 12
1 === CDADAB
AD ADEF AD ADEF ADEF
ABCD M ED
AM BEC
⊥BC BDE
D BEC
EC N BNMN,
EDC ,M N ,EC ED
MN CD 1
2MN CD=
AB CD 1
2AB CD=
MN AB MN AB=
ABNM
BN AM
⊂BN BEC ⊄AM BEC
AM BEC
ADEF ED AD⊥
ADEF ⊥ ABCD ADEF ABCD AD=
⊥ED ABCD
ED BC⊥
ABCD 1== ADAB 2=CD 2=BC
BCD 2,2 === CDBCBD
222 CDBCBD =+
BC BD⊥
BC ⊥ BDE
BC ⊥ BDE
BC ⊂ BCE BDE ⊥ BEC
D EB EB G ⊥DG BEC
D BEC DG
BDE DGBEDEBDS BDE ⋅=⋅=∆ 2
1
2
1
3
6
3
2 ==⋅=
BE
DEBDDG
D BEC 3
6
BDBCBEBC ⊥⊥ ,
,1222
1
2
1 =⋅⋅=⋅=∆ BCBDS BCD
BCEDBCDE VV −− = D BEC .h
则
所以
所以点 到平面 的距离等于 .
22.如图,在直三棱柱 中, , 为 的中点,且
,
(1)当 时,求证: ;
(2)当 为何值时,直线 与平面 所成的角
的正弦值为 ,并求此时二面角 的余弦值。
【答案】(1)设 ,如图建系,则
(2)设 则 ,
易知面 的法向量 设直线 与平面 所成角为 ,
则 , , , ,
设面 的法向量
则 ,
设面 的法向量 则
, 设二面角 的大小为 则
⋅=⋅∆ 3
1
3
1 DES BCD hS BCE ⋅∆
3
6
2
6
1 ==⋅=
∆
∆
BCE
BCD
S
DESh
D BEC 3
6
1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ P 1 1A C
AB BC kPA= =
1k = 1PA B C⊥
k PA 1 1BB C C
1
4 C PA B− −
1 1
2 21, 2 2AB PA A P AA= = = ∴ =
1(0,0,zB ) 1 1A(1,0,0),P( , ,z2 2
) 1 1PA=( ,- ,-z2 2
)
1 1BB C C 1n 1,0,0= ( ) PA 1 1BB C C α
2
1
12sin 41 z2
α = =
+
2 7z 2
∴ = 14z>0 z= 2
∴
1 1 14( , , )2 2 2P∴
( 1,0,0)AB = − ABP 1 ( , , )n x y z=
0
1 1 14 02 2 2
x
x y z
− =∴ − − =
0, 14, 1x y z= = − = 1 (0, 14,1)n∴ = −
( 1,1,0)AC = − APC 2 ( , , )n x y z=
0
1 1 14 02 2 2
x y
x y z
− + =∴ − − =
1, 1, 0x y z= = = 2 (1,1,0)n∴ = C PA B− − θ
二面角 的余弦值为14 105cos 1515 2
θ = = ∴ C PA B− − 105
15