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- 2021-05-13 发布
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2012 高考文科试题解析分类汇编:平面向量
一、选择题
1.【2012 高考全国文 9】 中, 边的高为 ,若 , , ,
, ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解。体现了
转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可。
【解析】因为底面的边长为 2,高为 ,且连接 ,得到交点为 ,连接 ,
,则点 到平面 的距离等于 到平面 的距离,过点 作
,则 即为所求,在三角形 中,利用等面积法,可得 ,故选答
案 D。
2.【2012 高考重庆文 6】设 ,向量 且 ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
3.【2012 高考浙江文 7】设 a,b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b
B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得 b=λa
D.若存在实数λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂
直关系。
【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实
数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥
b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为同向
的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
2 2 ,AC BD O EO
1/ /EO AC 1C BDE C BDE C
CH OE⊥ CH OCE 1CH =
ABC∆ AB CD CB a= CA b= 0a b⋅ =
| | 1a = | | 2b = AD =
1 1
3 3a b− 2 2
3 3a b− 3 3
5 5a b− 4 4
5 5a b−
x R∈ ( ,1), (1, 2),a x b= = − a b⊥ | |a b+ =
5 10 2 5 10
4.【2012 高考四川文 7】设 、 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充
分条件是( )
A、 且 B、 C、 D、
【答案】D
[解析]若使 成立,则 选项中只有 D 能保证,故选 D.
[点评]本题考查的是向量相等条件 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零
向量,其模为 0 且方向任意.
5.【2012 高考陕西文 7】设向量 =(1. )与 =(-1, 2 )垂直,则 等于
( )
A B C .0 D.-1
【答案】C.
【解析】∵向量 与 垂直,∴ ,即 ,∴ .
∴ .故选 C.
6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =
(A) —1 (B) — (C) (D)1
【答案】D
【命题意图】本题主要考查向量的数量积,属于容易题。
【解析】 ,故选 D
7.【2012 高考广东文 3】若向量 , ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选
8.【2012 高考广东文 10】对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 . 若两个
非 零 的 平 面 向 量 , 满 足 与 的 夹 角 , 且 和 都 在 集 合
| | | |
a b
a b
=
方向相同,与ba
⇔
a b 0a b⋅ = ( )1 1 cos 2cos 0θ θ× − + ⋅ = 22cos 1θ =
2cos2 2cos 1 0θ θ= − =
2 1, 1a b x x⋅ = − = ∴ =
a b
| | | |
a b
a b
=
| | | |a b= //a b a b= − //a b 2a b=
a cosθ b cosθ cos2θ
2
2
1
2
1
2
1
2
(1,2)AB = (3,4)BC = AC =
(4,6) ( 4, 6)− − ( 2, 2)− − (2,2)
A (4,6)AC AB BC= + =
α β = ⋅
⋅
α βα β β β
a b a b ,4 2
π πθ ∈ a b b a
中,则
A. B. C. 1 D.
【答案】D
都在集合 中得:
9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
【答案】D
考点:平面向量的垂直。
难度:易。
分析:本题考查的知识点为平面向量的垂直,若非零向量 , ,
则 。
解答:非零向量 。
。
10.【2012 高考天津文科 8】在△ABC 中, A=90°,AB=1,设点 P,Q 满足 = , =(1-
) , R。若 =-2,则 =
(A) (B) C) (D)2
【答案】B
【 解 析 】 如 图 , 设 , 则
,又 ,
, 由 得
, 即 ,
1
2
),( 11 yxa =
→
),( 22 yxb =
→
00 2121 =+⇔=⋅⇔⊥
→→→→
yyxxbaba
0=⋅⇔⊥
→→→→
baba
0
02)1(2
=⇔
=+−⇔
x
x
cACbAB == ,
0,2,1 =•== cbcb cbAQBABQ )1( λ−+−=+=
bcAPCACP λ+−=+= 2−=•CPBQ
2)1(4)1()(])1([
22 −=−−=−−=+−•−+− λλλλλλ bcbccb 3
2,23 == λλ
2
n n
∈
Z =a b
5
2
3
2
1
2
2 1cos 0, cos 0 ( ) ( ) cos (0, )2
a b
a b b a a b b a
b a
θ θ θ= > = > ⇒ × = ∈
,a b b a
}2
n n Z ∈
*1 2
1 2
1( ) ( ) ( , )4 2
n na b b a n n N a b× = ∈ ⇒ =
∠ AP
ABλ AQ
λ AC
λ ∈ BQ
• CP
λ
1
3
2
3
4
3
选 B.
二、填空题
1.【2012 高考新课标文 15】已知向量 夹角为 ,且 ;则
【答案】
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
【解析】∵| |= ,平方得 ,即 ,解
得| |= 或 (舍)
2.【2012 高考安徽文 11】设向量 , , ,若 ,
则 ______.
【答案】
3.【2012 高考湖南文 15】如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P,
且 = .
【答案】18
【解析】设 ,则 , =
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、
等价转化思想等数学思想方法.
4.【2012 高考浙江文 15】在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则
=________.
【答案】-16
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.
【解析】由余弦定理
,
,
2 −a b 10 2 24 4 10− =a a b+ b 2 2 2 6 0− − =| b | | b |
b 3 2 2−
1(3,3 ),( ) 3( 1) 3 0 22a c m a c b m m m a+ = + = + + = ⇔ = − ⇒ =
AC BD O= 2( )AC AB BO= + AP AC
2( )AP AB BO+ =
2 2AP AB AP BO+
22 2 ( ) 2AP AB AP AP PB AP= = + =
18=
2 2 2 2 22 cos 5 3 2 5 3cosAB AM BM AM BM AMB AMB= + − ⋅ ∠ = + − × × ∠
2 2 2 2 22 cos 3 5 2 5 3cosAC AM CM AM CM AMC AMC= + − ⋅ ∠ = + − × × ∠
,a b 45° 1, 2 10a a b= − =
_____b =
3 2
)2,1( ma = )1,1( += mb ),2( mc = bca ⊥+ )(
=|| a
2
3AP =
AP AC
AB AC⋅
,两式子相加为
,
,
.
5.【2012 高考山东文 16】如图,在平面直角坐标系 中,一单位圆的圆心的初始位置在
(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于
(2,1)时, 的坐标为____.
【答案】
考点:考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等
【 解 析 】 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2 , 所 以 劣 弧 , 即 圆 心 角 ,
, 则 , 所 以 ,
,所以 , ,所以
.
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为 ,且
, 则 点 P 的 坐 标 为 , 即
.
0180AMB AMC∠ + ∠ =
2 2 2 2 2 22 2 2 (3 5 ) 68AC AB AM CM+ = + = × + =
2 2 2 2 2 210 68 100cos 2 2 2
AB AC BC AB ACBAC AB AC AB AC AB AC
+ − + − −∠ = = =× × × × × ×
68 100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC
−⋅ = ∠ = ⋅ = −× ×
xOy
OP
)2cos1,2sin2( −−
2=PA 2=∠PCA
22
π−=∠PCA 2cos)22sin( −=−= π
PB
2sin)22cos( =−= π
CB 2sin22 −=−= CBxp 2cos11 −=+= PByp
)2cos1,2sin2( −−=OP
+=
+=
θ
θ
sin1
cos2
y
x
22
3,2 −==∠ πθPCD
−=−+=
−=−+=
2cos1)22
3sin(1
2sin2)22
3cos(2
π
π
y
x
)2cos1,2sin2( −−=OP
6.【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=(x,y),b=(2,-1)。若 ,则
=_______________
【答案】
【 解 析 】 由 已 知 可 得 , 又 因 为 m 为 单 位 向 量 所 以 , 联 立 解 得
或 代入所求即可.
7.【2012 高考江苏 9】(5 分)如图,在矩形 中, 点 为 的
中点,点 在边 上,若 ,则 的值是 ▲ .
【答案】 。
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。
【解析】由 ,得 ,由矩形的性质,得
。
∵ ,∴ ,∴ 。∴ 。
记 之间的夹角为 ,则 。
又∵ 点 E 为 BC 的中点,∴ 。
∴
。
2 0x y− = 2 2 1x y+ =
5
5
2 5
5
x
y
=
=
5
5
2 5
5
x
y
= −
= −
2AB AF =
cos 2AB AF FAB∠ =
cos =AF FAB DF∠
2AB = 2 2DF = 1DF = 2 1CF = −
AE BF 和 ,AEB FBCθ α β∠ = ∠ =, θ α β= +
2BC = , 1BE =
( ) ( )= cos = cos = cos cos sin sinAE BF AE BF AE BF AE BFθ α β α β α β+ −
( )= cos cos sin sin = 1 2 2 2 1 2AE BF AE BF BE BC AB CFα β α β− − = × − − =
5
ABCD 2 2AB BC= =, , E BC
F CD 2AB AF =
AE BF
2
8.【2012 高考上海文 12】在矩形 中,边 、 的长分别为 2、1,若 、 分
别是边 、 上的点,且满足 ,则 的取值范围是
【答案】[1,4].
【解析 1】设 = (0≤ ≤1),
则 = , = ,
则 = =
= + + + ,
又∵ =0,
∴ = ,
∵0≤ ≤1,∴1≤ ≤4,即 的取值范围是[1,4].
【解析 2】以向量 AB 所在直线为 轴,以向量 AD 所在直线为 轴建立平面直角坐标系,
如 图 所 示 , 因 为 , 所 以 设
,根据题意, ,所以
所以 ,所以 , 即 .
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时,
x y
1,2 == ADAB (0,0), (2,0), (2,1) (0,1).A B C D
)20(),1,(),,2( ≤≤ xxNbM 2
2 xb
−= 2( ,1), (2, ).2
xAN x AM
→ → −= =
12
3 +=•
→→
xANAM ( )20 ≤≤ x 412
31 ≤+≤ x
→→
≤•≤ 41 ANAM
10 5 5 10
6
4
2
2
4
6
C
A
D
B
M
N
ABCD AB AD M N
BC CD
BM CN
BC CD
=
AM AN⋅
CD
CN
BC
BM
= λ λ
BCBM λ= ADλ DCDN )1( λ−= AB)1( λ−
ANAM ⋅ ))(( DNADBMAB ++ ])1()[( ABADADAB λλ −++
ADAB ⋅ 2
)1( ABλ− 2
ADλ ABAD ⋅− )1( λ
ADAB ⋅
ANAM ⋅ λ34 −
λ ANAM ⋅ ANAM ⋅
要切实注意条件的运用.本题属于中档题,难度适中.
9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则
(Ⅰ)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________;
(Ⅱ)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由 ,得 .设与 同向的单位向量为
, 则 且 , 解 得 故 . 即 与
同向的单位向量的坐标为 .
(Ⅱ)由 ,得 .设向量 与向量 的夹角为 ,则
.
【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向
的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般有 2 个,它包含同向与反向两种.
不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.
10【2102 高考北.京文 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则
的值为________, 的最大值为______。
【答案】1,1
【解析】根据平面向量的数量积公式 ,由图可知,
,因此 ,
,而 就是向量 在 边上的
射影,要想让 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为 ,所以长
度为 1.
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动
3 10 10,10 10
2 5
5
−
( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )2 3,1+a b = 2 +a b
( ),x yc =
2 2 1,
3 0,
x y
y x
+ =
− =
, 0x y >
3 10 ,10
10 .10
x
y
=
=
3 10 10,10 10
c =
2 +a b 3 10 10,10 10
( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )3 2,1− −b a = 3−b a a θ
( ) ( ) ( )3 2,1 1,0 2 5cos 3 55 1
θ − −= = = −− ×
b a a
b a a
CBDE ⋅ DCDE ⋅
=⋅=⋅ DADECBDE θcos|||| DADE ⋅
||cos|| DADE =⋅ θ 1|| 2 ==⋅ DACBDE
=⋅=⋅ αcos|||| DCDEDCDE αcos|| ⋅DE αcos|| ⋅DE DE DC
DCDE ⋅ DC
点问题,考查学生最值的求法。