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  • 2021-05-13 发布

上海市浦东新区高考数学三模试卷理科Word版含解析

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‎2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.抛物线的准线方程为______.‎ ‎2.计算: =______.‎ ‎3.已知||=2, |=3,且、的夹角为,则|3﹣2|=______.‎ ‎4.在复平面内,点A(﹣2,1)对应的复数z,则|z+1|=______.‎ ‎5.关于x方程=0的解为______.‎ ‎6.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,则由a的值构成的集合为______.‎ ‎7.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=______.‎ ‎8.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女生都有的概率为______.(结果用数值表示)‎ ‎9.圆心是C(a,0)、半径是a的圆的极坐标方程为______.‎ ‎10.如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的.已知AB=1,A1A=C1C=D,D1B与底面ABCD所成的角为,则这个多面体的体积为______.‎ ‎11.直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点,则k的取值范围______.‎ ‎12.已知函数f(x)=,若对于正数kn(n∈N*),关于x的函数g(x)=f(x)﹣knx的零点个数恰好为2n+1个,则(k12+k22+k32+…+kn2)=______.‎ ‎13.函数f(x)=3|x+5|﹣2|x+3|,数列a1,a2,…,an…,满足an+1=f(an),n∈N*,若要使a1,a2,…an,…成等差数列.则a1的取值范围______.‎ ‎14.设整数n≥3,集合P={1,2,…,n},A,B是P的两个非空子集.则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为:______.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15.若a、b∈R,则“a<b<0”是“a2>b2”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16.设P为双曲线﹣y2=1(a>0)的上一点,∠F1PF2=,(F1、F2为左、右焦点),则△F1PF2的面积等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎17.若圆锥的侧面展开图是半径为2,中心角为的扇形,则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为(  )‎ A. B.2 C.4 D.‎ ‎18.设{an}是公比为q(q≠1)的无穷等比数列,若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项,则称{an}为“封闭等比数列”.给出以下命题:‎ ‎(1)a1=3,q=2,则{an}是“封闭等比数列”;‎ ‎(2)a1=,q=2,则{an}是“封闭等比数列”;‎ ‎(3)若{an},{bn}都是“封闭等比数列”,则{an•bn},{an+bn}也都是“封闭等比数列”;‎ ‎(4)不存在{an},使{an}和{an2}都是“封闭等比数列”;‎ 以上正确的命题的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎19.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.‎ ‎(1)求三棱锥E﹣PAD的体积;‎ ‎(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.‎ ‎20.如图,上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区.已知∠A=120°,AB、AC的长度均大于200米.设AP=x,AQ=y,且AP,AQ总长度为200米.‎ ‎(1)当x,y为何值时?游客体验活动区APQ的面积最大,并求最大面积;‎ ‎(2)当x,y为何值时?线段|PQ|最小,并求最小值.‎ ‎21.已知函数f(x)=ax2﹣+1,g(x)=x+.‎ ‎(1)f(x)>0在x∈[1,2)上恒成立,求a的取值范围;‎ ‎(2)当a>0时,对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围.‎ ‎22.设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1,椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2,若=,则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆.已知椭圆E: +y2=1,其左顶点为A、右顶点为B.‎ ‎(1)设椭圆E与椭圆F: +=1是“相似椭圆”,求常数s的值;‎ ‎(2)设椭圆G: +y2=λ(0<λ<1),过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点,过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点,当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值,并求其最小值;‎ ‎(3)已知椭圆E与椭圆H: +=1(t>2)是相似椭圆.椭圆H上异于A、B的任意一点C(x0,y0),求证:△ABC的垂心M在椭圆E上.‎ ‎23.已知无穷数列{an}满足an+1=p•an+(n∈N*).其中p,q均为非负实数且不同时为0.‎ ‎(1)若p=,q=2,且a3=,求a1的值;‎ ‎(2)若a1=5,p•q=0,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(3)若a1=2,q=1,且{an}是单调递减数列,求实数p的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.抛物线的准线方程为 y=1 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】化抛物线方程为标准式,求得p,则直线方程可求.‎ ‎【解答】解:由,得x2=﹣4y,‎ ‎∴2p=4,即p=2,‎ 则抛物线的准线方程为y==1.‎ 故答案为:y=1.‎ ‎ ‎ ‎2.计算: = 1 .‎ ‎【考点】极限及其运算.‎ ‎【分析】先由组合数计算公式,把转化为,进而简化为,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎3.已知||=2, |=3,且、的夹角为,则|3﹣2|= 6 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵||=2, |=3,且、的夹角为,‎ ‎∴•=||||cos=2×=3,‎ 则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36,‎ 则|3﹣2|=6,‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎4.在复平面内,点A(﹣2,1)对应的复数z,则|z+1|=  .‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】求出复数z+1,然后求解复数的模.‎ ‎【解答】解:在复平面内,点A(﹣2,1)对应的复数z,则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎5.关于x方程=0的解为 x=或x=,k∈Z .‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;二阶矩阵.‎ ‎【分析】由已知可得sin2x=.求出2x的值,则原方程的解可求.‎ ‎【解答】解:由=0,得4sinxcosx﹣1=0,‎ 即sin2x=.‎ ‎∴2x=或x=,‎ 则x=或x=,k∈Z.‎ 故答案为:x=或x=,k∈Z.‎ ‎ ‎ ‎6.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,则由a的值构成的集合为 {﹣1,0, } .‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】先化简集合A,利用B⊆A,求出a的取值,注意要分类讨论.‎ ‎【解答】解:∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1,3},‎ ‎∴若B⊆A,‎ 则若a=0,即B=∅时,满足条件B⊆A.‎ 若a≠0,则B={x|ax﹣1=0}={},‎ 要使B⊆A,则=﹣1或=3,‎ 解得a=﹣1,或a=.‎ 综上a=0或a=﹣1或a=,‎ ‎∴由a的值构成的集合为{﹣1,0, }.‎ 故答案为:{﹣1,0, }.‎ ‎ ‎ ‎7.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=  .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】设出等差数列的首项,由=3得到首项和公差的关系,代入等差数列的通项公式可得.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的首项为a1,则,‎ 由=3,得,即d=4a1,‎ ‎∴=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女生都有的概率为  .(结果用数值表示)‎ ‎【考点】等可能事件的概率.‎ ‎【分析】根据题意,首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目,再分析选出的4人中只有男生、女生的数目,由排除法可得男、女生都有的情况数目,进而由等可能事件的概率公式,计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,从2名男生和4名女生中选出4人,有C64=15种取法,‎ 其中全部为女生的有C44=1种情况,没有全部为男生的情况,‎ 则选出的4名志愿者中,男、女生都有的情况有15﹣1=14种,‎ 则其概率为;‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎9.圆心是C(a,0)、半径是a的圆的极坐标方程为 ρ=2acosθ .‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】由已知可得直角坐标方程,利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入即可得出极坐标方程.‎ ‎【解答】解:圆心是C(a,0)、半径是a的圆的直角坐标方程为:(x﹣a)2+y2=a2,化为x2+y2﹣2ax=0,‎ 把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得极坐标方程:ρ2=2aρcosθ,即ρ=2acosθ.‎ 故答案为:ρ=2acosθ.‎ ‎ ‎ ‎10.如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的.已知AB=1,A1A=C1C=D,D1B与底面ABCD所成的角为,则这个多面体的体积为  .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】由题意画出图形,连接BD,BD1,可得∠,在底面正方形中,由AB=1,求得BD=,在Rt△D1DB中,解直角三角形求得DD1,求出直角梯形ADD1A1的面积,然后由棱锥的体积公式求得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 连接BD,BD1,则∠,‎ 在底面正方形中,由AB=1,得BD=,‎ 在Rt△D1DB中,由BD=,∠,‎ 求得,‎ ‎∴A1A=C1C=D=,‎ 则,‎ ‎∴多面体的体积为V=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点,则k的取值范围 {0}∪[,+∞) .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】联立方程组消元,令方程无解或只有一解得出k的范围.‎ ‎【解答】解:把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+(2k﹣2)x+1=0,‎ ‎(1)若k=0,则﹣2x+1=0,方程只有一解,故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点,符合题意.‎ ‎(2)若k≠0,△=(2k﹣2)2﹣4k2=4﹣8k.‎ ‎∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点,‎ ‎∴△=4﹣8k≤0,解得k.‎ ‎∴k或k=0.‎ 故答案为:{0}∪[,+∞).‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=,若对于正数kn(n∈N*),关于x的函数g(x)=f(x)﹣knx的零点个数恰好为2n+1个,则(k12+k22+k32+…+kn2)=  .‎ ‎【考点】函数的图象;函数零点的判定定理;极限及其运算.‎ ‎【分析】画出函数f(x)=的图象,若g(x)=0,则f(x﹣2)=knx,数形结合可得圆心(2n+1,0)到直线y=knx的距离为1,进而得到答案.‎ ‎【解答】解:当0≤x<2时,(x﹣1)2+y2=1,(y≥0)‎ 其图形是以(1,0)点为圆心以1为半径的上半圆,‎ 当x≥2时,函数f(x)=f(x﹣2)表示函数的周期为2,‎ 故函数f(x)=的图象如下:‎ 若g(x)=0,则f(x﹣2)=knx,‎ 由于g(x)的零点个数为2n+1‎ 则直线y=knx与第n+1个半圆相切,‎ 圆心(2n+1,0)到直线y=knx的距离为1,‎ 即 有k12+k22+k32+…+kn2=.‎ ‎∴(k12+k22+k32+…+kn2)=,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎13.函数f(x)=3|x+5|﹣2|x+3|,数列a1,a2,…,an…,满足an+1=f(an),n∈N*,若要使a1,a2,…an,…成等差数列.则a1的取值范围 {﹣9}∪[﹣3,+∞) .‎ ‎【考点】数列与函数的综合.‎ ‎【分析】由绝对值的意义可得f(x)的分段函数式,求得对任意n∈N*,an+1﹣an≥1.{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥﹣3,再对a1讨论,①当a1<﹣5时,②若﹣5≤a1<﹣3,③若a1≥﹣3,结合函数式和等差数列的通项,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:当x≥﹣3时,f(x)=3x+15﹣2x﹣6=x+9;‎ 当﹣5≤x<﹣3时,f(x)=3x+15+2x+6=5x+21;‎ 当x<﹣5时,f(x)=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9.‎ 当an≥﹣3时,an+1﹣an=9;‎ 当﹣5≤an<﹣3时,an+1﹣an=4an+21≥4×(﹣5)+21=1;‎ 当an<﹣5时,an+1﹣an=﹣2an﹣9>﹣2×(﹣5)﹣9=1.‎ ‎∴对任意n∈N*,an+1﹣an≥1.‎ 即an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.‎ 又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥﹣3,‎ 从而an+1=f(an)=an+9,由于{an}为等差数列,‎ 因此公差d=9.‎ ‎①当a1<﹣5时,则a2=f(a1)=﹣a1﹣9,‎ 又a2=a1+d=a1+9,故﹣a1﹣9=a1+9,即a1=﹣9,从而a2=0,‎ 当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>﹣3,‎ ‎∴an+1=f(an)=an+9,而a2=a1+9,故当a1=﹣9时,{an}为无穷等差数列,符合要求;‎ ‎②若﹣5≤a1<﹣3,则a2=f(a1)=5a1+21,又a2=a1+d=a1+9,‎ ‎∴5a1+21=a1+9,得a1=﹣3,应舍去;‎ ‎③若a1≥﹣3,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+9,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.‎ 综上可知:a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3,+∞).‎ 故答案为:{﹣9}∪[﹣3,+∞).‎ ‎ ‎ ‎14.设整数n≥3,集合P={1,2,…,n},A,B是P的两个非空子集.则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为: (n﹣2)•2n﹣1+1 .‎ ‎【考点】数列的求和;元素与集合关系的判断.‎ ‎【分析】设A中的最大数为k,其中1≤k≤n﹣1,整数n≥3,则A中必含元素k,另元素1,2,…,k﹣1,可在A中,B中必不含元素1,2,…,k;元素k+1,k+2,…,k可在B中,但不能都不在B中.由此能求出an.‎ ‎【解答】解:设A中的最大数为k,其中1≤k≤n﹣1,整数n≥3,‎ 则A中必含元素k,另元素1,2,…,k﹣1,可在A中,‎ 故A的个数为: ++…+=2k﹣1,‎ B中必不含元素1,2,…,k,‎ 另元素k+1,k+2,…,n可在B中,但不能都不在B中,‎ 故B的个数为: ++…+=2n﹣k﹣1,‎ 从而集合对(A,B)的个数为2k﹣1•(2n﹣k﹣1)=2n﹣1﹣2k﹣1,‎ ‎∴an=(2n﹣1﹣2k﹣1)‎ ‎=(n﹣1)•2n﹣1﹣‎ ‎=(n﹣2)•2n﹣1+1.‎ 故答案为:(n﹣2)•2n﹣1+1.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15.若a、b∈R,则“a<b<0”是“a2>b2”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质.‎ ‎【分析】利用不等式的性质判断出“a<b<0”则有“a2>b2”,通过举反例得到“a2>b2”成立推不出“a<b<0”成立,利用充要条件的有关定义得到结论.‎ ‎【解答】解:若“a<b<0”则有“a2>b2”‎ 反之则不成立,例如a=﹣2,b=1满足“a2>b2”但不满足“a<b<0”‎ ‎∴“a<b<0”是“a2>b2”的充分不必要条件,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎16.设P为双曲线﹣y2=1(a>0)的上一点,∠F1PF2=,(F1、F2为左、右焦点),则△F1PF2的面积等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】先利用双曲线的定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,利用余弦定理求出|PF1|•|PF2|的值,结合三角形的面积公式即可求出△F1PF2的面积.‎ ‎【解答】解:∵双曲线方程﹣y2=1(a>0),‎ ‎∴b=1,不妨设P是双曲线的右支上的一个点,‎ 则由双曲线的定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,‎ ‎∵,∠F1PF2=,‎ ‎∴4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|‎ ‎=(|PF1|﹣|PF2|)2+3|PF1|•|PF2|,‎ 即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|,‎ 即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4,‎ 则|PF1|•|PF2|=,‎ ‎∴=|PF1|•|PF2|sin=××=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎17.若圆锥的侧面展开图是半径为2,中心角为的扇形,则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为(  )‎ A. B.2 C.4 D.‎ ‎【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).‎ ‎【分析】求出圆锥的母线和底面半径,设截面在圆锥底面的轨迹AB=a,(0<a≤2r),用a表示出截面的面积,利用基本不等式求出截面的面积最大值.‎ ‎【解答】解:圆锥的母线长l=2,设圆锥的底面半径为r,‎ 则2πr=2×=.∴r=.‎ 设截面在圆锥底面的轨迹AB=a(0<a≤).‎ 则截面等腰三角形的高h==.‎ ‎∴截面面积S===≤=2.‎ 当且仅当即a=2时取等号.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎18.设{an}是公比为q(q≠1)的无穷等比数列,若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项,则称{an}为“封闭等比数列”.给出以下命题:‎ ‎(1)a1=3,q=2,则{an}是“封闭等比数列”;‎ ‎(2)a1=,q=2,则{an}是“封闭等比数列”;‎ ‎(3)若{an},{bn}都是“封闭等比数列”,则{an•bn},{an+bn}也都是“封闭等比数列”;‎ ‎(4)不存在{an},使{an}和{an2}都是“封闭等比数列”;‎ 以上正确的命题的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)求出,由a1•a2∉{an},知(1)错误;(2)由,推导出命题(2)正确;(3)不是“封闭等比数列”;(4)若为“封闭等比数列”,则为“封闭等比数列”.‎ ‎【解答】解:(1)∵{an}是a1=3,q=2的等比数列,‎ ‎∴,‎ 由题意得a1•a2=3×6=18∉{an},故命题(1)错误;‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,故命题(2)正确;‎ ‎(3)若都为“封闭等比数列”,‎ 则不是“封闭等比数列”,故命题(3)错误;‎ ‎(4)若为“封闭等比数列”,则为“封闭等比数列”,故命题(4)错误.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎19.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.‎ ‎(1)求三棱锥E﹣PAD的体积;‎ ‎(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(1)转换底面,代入体积公式计算;‎ ‎(2)利用线线垂直证明AF⊥平面PBC,即可得出结论.‎ ‎【解答】(1)解:∵PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形.‎ ‎∴,…‎ ‎∴…‎ ‎(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,‎ 又∵PA=AB=1,且点F是PB的中点,‎ ‎∴AF⊥PB…‎ 又PA⊥BC,BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,‎ 又AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF…‎ 由AF⊥平面PBC,又∵PE⊂平面PBC ‎∴无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE成立.…‎ ‎ ‎ ‎20.如图,上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区.已知∠A=120°,AB、AC的长度均大于200米.设AP=x,AQ=y,且AP,AQ总长度为200米.‎ ‎(1)当x,y为何值时?游客体验活动区APQ的面积最大,并求最大面积;‎ ‎(2)当x,y为何值时?线段|PQ|最小,并求最小值.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由已知利用三角形面积公式,基本不等式可得,即可得解.‎ ‎(2)利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=(x﹣100)2+30000,根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值.‎ ‎【解答】(本题满分为14分)‎ 解:(1)因为:AP=x,AQ=y且x+y=200,…2分 所以:.…4分 当且仅当x=y=100时,等号成立.‎ 所以:当x=y=100米时,平方米. …6分 ‎(2)因为:PQ2=x2+y2﹣2xycos120°‎ ‎=x2+y2+xy…8分 ‎=x2+2+x ‎=x2﹣200x+40000‎ ‎=(x﹣100)2+30000.…10分 所以:当x=100米,线段米,此时,y=100米.…12分 答:(1)当AP=AQ=100米时,游客体验活动区APQ的面积最大为平方米.‎ ‎(2)当AP=AQ=100米时,线段|PQ|最小为.…14分.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=ax2﹣+1,g(x)=x+.‎ ‎(1)f(x)>0在x∈[1,2)上恒成立,求a的取值范围;‎ ‎(2)当a>0时,对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】(1)把不等式f(x)>0恒成立转化为ax2﹣+1>0恒成立,分离参数a后得到a,求出不等式右边在[1,2)上的最大值得答案;‎ ‎(2)当a>0时,对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)恒成立,等价于f(x)min≥g(x)min在区间[1,2]上成立,利用单调性求出f(x)的最小值,再分段求出g(x)的最小值,列关于a的不等式组求得答案.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)>0⇔ax2﹣+1>0⇒a在x∈[1,2)上恒成立,‎ ‎∵x∈[1,2),∴x2∈[1,4),∈[,),则∈[﹣2,),‎ ‎∴a,‎ 则a的取值范围是[);‎ ‎(2)当a>0时,对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)恒成立,‎ 等价于f(x)min≥g(x)min在区间[1,2]上成立,‎ 当a>0时,函数f(x)在[1,2]上单调递增,∴,‎ ‎,‎ 故①,或②或③.‎ 解①得,a∈∅;解②得,a∈∅;解③得1≤a≤4.‎ 综上,a的取值范围为[1,4].‎ ‎ ‎ ‎22.设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1,椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2,若=,则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆.已知椭圆E: +y2=1,其左顶点为A、右顶点为B.‎ ‎(1)设椭圆E与椭圆F: +=1是“相似椭圆”,求常数s的值;‎ ‎(2)设椭圆G: +y2=λ(0<λ<1),过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点,过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点,当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值,并求其最小值;‎ ‎(3)已知椭圆E与椭圆H: +=1(t>2)是相似椭圆.椭圆H上异于A、B的任意一点C(x0,y0),求证:△ABC的垂心M在椭圆E上.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)运用“相似椭圆”的定义,讨论s>2,0<s<2,列出等式,解方程可得s;‎ ‎(2)求得A,D的坐标,可得直线l1与直线l2的方程,代入椭圆G的方程,运用判别式为0,求得|k1|,|k2|,再由基本不等式即可得到所求最小值;‎ ‎(3)求得椭圆H的方程,设出椭圆H上的任意一点C(x0,y0),代入椭圆H的方程;设△ABC的垂心M的坐标为(xM,yM),运用垂心的定义,结合两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,化简整理,可得M的坐标,代入椭圆E的方程即可得证.‎ ‎【解答】解:(1)显然椭圆E的方程为=1,‎ 由椭圆E与F相似易得:‎ 当s>2时⇒s=4;‎ 当0<s<2时⇒s=1.‎ 则s=4或1;‎ ‎(2)易得,‎ 可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1,‎ 依题意联立: ⇒(1+2k12)x2+4k12x+4k12﹣2λ=0,‎ 又直线l1与椭圆G相切,则△1=0(又0<λ<1),即32k14﹣4(1+2k12)(4k12﹣2λ)=0,‎ 即|k1|=,‎ 依题意再联立: ⇒(1+2k22)x2+4k2x+2﹣2λ=0,‎ 又直线l2与椭圆G相切则△2=0(又0<λ<1),即16k22﹣4(1+2k22)(2﹣2λ)=0,‎ 即|k2|=,‎ 故|k1k2|=,‎ 即|k1|+|k2|≥2,当且仅当|k1|=|k2|时取到等号,此时λ=,‎ 所以当λ=时|k1|+|k2|取得最小值; ‎ ‎(3)证明:显然椭圆E: =1,由=,可得t=4,‎ 即有椭圆H: =1. ‎ 由椭圆H上的任意一点C(x0,y0),于是=1①‎ 设△ABC的垂心M的坐标为(xM,yM),‎ 由CM⊥AB得xM=x0,‎ 又AM⊥BC⇒=﹣1,‎ 将xM=x0代入=﹣1,得x02=2﹣y0yM②‎ 由①②得y0=2yM.‎ 又x0=xM代入(1)得2=1,‎ 即△ABC的垂心M在椭圆E上.‎ ‎ ‎ ‎23.已知无穷数列{an}满足an+1=p•an+(n∈N*).其中p,q均为非负实数且不同时为0.‎ ‎(1)若p=,q=2,且a3=,求a1的值;‎ ‎(2)若a1=5,p•q=0,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(3)若a1=2,q=1,且{an}是单调递减数列,求实数p的取值范围.‎ ‎【考点】数列递推式;数列的函数特性;数列的求和.‎ ‎【分析】(1)a3==+,解得a2=或,进而解得a1.‎ ‎(2)对p,q分类讨论,对n分类讨论,利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎(3)由题意,an>0,由a1=2,可得,解得,若数列{an}是单调递减数列,则,可得,可得:对于任意自然数n,恒成立.由,由,解得.下面证明:当时,数列{an}是单调递减数列.通过作差即可证明.‎ ‎【解答】解:(1)∵a3==+,解得a2=或,‎ 当时,,解得a1=1或4,‎ 当时,无解.‎ ‎∴a1=1或4.‎ ‎(2)若p=0,q≠0,.∴,‎ ‎∴当n为奇数时,;‎ 当n为偶数时,.‎ 若p≠0,q=0时,an+1=p•an,‎ ‎∴.‎ ‎(3)由题意,an>0,‎ 由a1=2,可得,解得,‎ 若数列{an}是单调递减数列,则,可得,‎ 又有①‎ ‎∵,∴,即.‎ 由①可知,,‎ ‎∴,‎ ‎∴②‎ ‎∴对于任意自然数n,恒成立.‎ ‎∵,由,解得.‎ 下面证明:当时,数列{an}是单调递减数列.‎ 当时,可得③‎ 由和,‎ 两式相减得,‎ ‎∵成立,则有an•an﹣1>4p 当时,,即④,‎ 由③④可知,当an<an﹣1时,恒有an+1<an,‎ 对于任意的自然数n,an+1<an恒成立.‎ ‎∴实数p的取值范围是:.‎ ‎ ‎