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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
(1)复数,为的共轭复数,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【命题意图】本题主要考查复数的运算.
【解析】|z|2-(1+i)-1=.
(2)函数的反函数为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【命题意图】本题主要考查反函数的求法.
【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数的反函数为.
(3)下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
【解析】即寻找命题,使,且推不出,逐项验证知可选A.
(4)设为等差数列的前项和,若,公差,,则
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【解析】解法一,解得.
解法二: ,解得.
(5)设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.
【解析】由题意得,解得,又,令,得.
(6)已知直二面角,点,,为垂足,,,为垂
足.若,则到平面的距离等于
(A) (B) (C) (D) 1
C
A
B
D
E
【答案】C
【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.
【解析】如图,过作,垂足为,因为是直二面角, ,∴平面,
∴,,,∴平面,故的长为点到平面
的距离.在中,由等面积法得.
(7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
【答案】B
【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力.
【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有种;
二是取出2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有种.故赠送方法共有10种.
(8)曲线在点(0,2)处的切线与直线和围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.
【解析】∴曲线在点(0,2)处的切线的斜率故切线方程是,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(, ),∴三角形的面积是.
(9)设是周期为2的奇函数,当时,,则
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.
【解析】由是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得: .
(10)已知抛物线C:的焦点为,直线与交于,两点.则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.
【解析】联立消去得,解得,不妨设点在轴的上方,于是,两点的坐标分别为(4,4),(1,),又,可求得.在中,由余弦定理.
(11)已知平面α截一球面得圆,过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆.若该球面的半径为4,圆的面积为4,则圆的面积为
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
【答案】D
【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.
【解析】如图所示,由圆的面积为4知球心到圆的距离,在中,, ∴,故圆的半径,∴圆的面积为.
(12)设向量,,满足|,,,则的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
【答案】A
A
B
C
D
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.
【解析】如图,设,则,,∴四点共圆,当为圆的直径时,最大,
最大值为2.
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第Ⅱ卷
注意事项:
1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。
3第Ⅱ卷共l0小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效)
(13)的二项展开式中,的系数与的系数之差为 .
【答案】0
【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
【解析】由得的系数为,的系数为,而=,所以的系数与的系数之差为0.
(14)已知,,则 .
【答案】
【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式.
【解析】由,得,故,
∴.
(15)已知、分别为双曲线: 的左、右焦点,点,点的坐标为(2,0),为的平分线.则 .
【答案】6
【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质.
【解析】为的平分线,∴ ∴
又点,由双曲线的第一定义得.
(16)己知点、分别在正方体的棱、上,且,则面与面所成的二面角的正切值等于 .
【答案】
【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.
【解析】延长交的延长线于,连结,则为面与面的交线,由得,∴为中点.设正方体的棱长为1,则,又,∴∴平面,∴∴是面与面所成的二面角的平面角,在中,,故面与面所成的二面角的正切值等于.
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效)
的内角、、的对边分别为、、.已知, ,求.
【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【解析】由及正弦定理可得
…………………………………3分
又由,,故
=
= …………………………………7分
,
因为 ,
所以 ,
…………………………………10分
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
(18)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;
(Ⅱ)表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求的期望.
【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】记表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险;
表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;
表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种;
表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(I), , ……………………………3分
……………………………6分
(Ⅱ),
,即服从二项分布, ……………………………10分
所以期望 . ……………………………12分
【点评】概率与统计是每年的必考题,一般安排在解答题的前3题.本题属于已知概率求概率类型. 考查保险背景下的概率问题,要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.
(19)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的大小.
【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算,注重与平面几何的综合.
解法一:(Ⅰ)取中点,连结,则四边形为矩形,,连结,则,.
又,故,所以为直角. ………………3分
由,,,得平面,所以.
与两条相交直线、都垂直.
所以平面. ………………6分
另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. ………………6分
(Ⅱ)由平面知,平面平面.
作,垂足为,则平面ABCD,.
作,垂足为,则.
连结.则.
又,故平面,平面平面.……9分
作,为垂足,则平面.
,即到平面的距离为.
由于,所以平面,到平面的距离也为.
设与平面所成的角为,则
,.……12分
解法二:以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则、.
又设,则.
(Ⅰ),
由得
,
故.
由得,
又由得,
即,故. ………………3分
于是,
.
故,又,
所以平面. ………………6分
(Ⅱ)设平面的法向量,
则.
又,
故 ………………9分
取得,又
.
故与平面所成的角为. ………………12分
【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系,基本上可以处理立体几何绝大多数的问题;为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大,问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题,很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好.
(20)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
设数列满足且.
求的通项公式;
(Ⅱ)设.
【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】(Ⅰ)由题设,
即是公差为1的等差数列.
又,故.
所以 ……………………………5分# (Ⅱ) 由(Ⅰ)得
,
…………………………12分
【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.
(21)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知为坐标原点,为椭圆:在轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交与、两点,点满足.
(I)证明:点在上;
(II)设点关于点的对称点为,证明:、、、四点在同一圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
【解析】(I),的方程为,代入并化简得
. …………………………2分
设,
则
由题意得
所以点的坐标为.
经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分
(II)由和题设知,,的垂直平分线的方程为
. ①
设的中点为,则,的垂直平分线的方程为
. ②
由①、②得、的交点为. …………………………9分
,
,
,
,
,
故 ,
又 , ,
所以 ,
由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分
【点评】本题涉及到平面微向量,有一定的综合性和计算量,完成有难度.
首先出题位置和平时模拟几乎没有变化,都保持全卷倒数第二道题的位置,这点考生非常适应的。相对来讲比较容易,是因为这道题最好特点没有任何的未知参数,我们看这道题椭圆完全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不给出,需要通过一定条件求出来,或者根本求不出来,这道题都给了,反而同学不知道怎么下手,让我求什么不知道,给出马上给向量条件,出了两道证明题,这个跟平时做的不太一样,证明题结论给大家,需要大家严谨推导出来,可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙,非常涉及解析几何本质的内容,一个证明点在椭圆上的问题,还有一个疑问既然出现四点共圆,这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题,让学生掌握解析几何的本质,而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题,最后方法用代数方法研究几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心,四个点找圆形不好找,最简单的两个点怎么找?这是平时的知识,怎么找距离相等的点,一定在中垂线,两个中垂线交点必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这就是简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.
(22)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
(I)设函数,证明:当时,;
(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:
【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【解析】(I) …………………………2分
当时, ,所以为增函数,又,因此当时,
. …………………………5分
(II) .
又
所以.
由(I)知: 当时,
因此 .
在上式中,令,则 19,即.
所以 …………………………12分
【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,有时还伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.