2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版) 7页

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2016年山东，理1，5分】若复数满足，其中为虚数为单位，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，所以，故选B．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．‎ ‎（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，所以，故选C．‎ ‎【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ ‎（A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为，‎ ‎ 所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是人，故选D． ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．‎ ‎（4）【2016年山东，理4，5分】若变量，满足，则的最大值是（ ）‎ ‎ （A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由是点到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点，‎ 所以是最优解，的最大值是10，故选C．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该 几何体的体积为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，半球的体积为，四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为， ‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状 ‎ 是解答的关键．‎ ‎（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相 交，直线和直线不一定相交，故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．‎ ‎（7）【2016年山东，理7，5分】函数的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，所以，最小正周期是，故选B． ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．‎ ‎（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量满足 ，若则实数的值为（ ）‎ ‎（A）4 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，由，有，即，，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．‎ ‎（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，知当时，的周期为1，所以．又当时，‎ ‎，所以．于是，故选D．‎ ‎【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（10）【2016年山东，理10，5分】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数具有性质的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数，的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质，故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ‎（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出的 值为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，‎ 不成立；时，执行循环体后，成立；所以，故填 3. ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进 行解答．‎ ‎（12）【2016年山东，理12，5分】若的展开式中的系数是，则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，所以应填．‎ ‎【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．‎ ‎（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得，‎ ‎ 在由得的离心率为．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎（14）【2016年山东，理14，5分】在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，得事件发生时的取值空间为，其长度为，所以所求概率为．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为的对称轴为，所以时单调递增，只要大于的最小值时，关于的方程在时有一根；又在，时，存在实数，使方程在时有两个根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填．‎ ‎【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2016年山东，理16，12分】在中，角的对边分别为，已知． ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解：（1）由得，，‎ 由正弦定理，得．‎ ‎ （2）由．所以的最小值为 ‎．‎ ‎【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式的应用，不等式的性质．‎ ‎（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底 面圆的直径，是圆台的一条母线．‎ ‎（1）已知分别为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）已知，求二面角的余弦值．‎ 解：（1）连结，取的中点，连结，因为，在上底面内，不 在上底面内，所以上底面，所以平面；又因为，平 面，平面，所以平面；所以平面平面，‎ ‎ 由平面，所以平面．‎ ‎（2）连结，，以为原点，分别以为轴，‎ 建立空间直角坐标系．，，‎ 于是有，，，，可得平面中的向量，‎ ‎，于是得平面的一个法向量为，又平面的 一个法向量为，设二面角为，‎ 则．二面角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认 真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列的前项和，是等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令．求数列的前项和．‎ 解：（1）因为数列的前项和，所以，当时，‎ ‎，又对也成立，所以．‎ 又因为是等差数列，设公差为，则．当时，；当时，‎ ‎，解得，所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）由，于是，‎ 两边同乘以２，得，两式相减，得 ‎．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1‎ 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（2）“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望．‎ 解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件；‎ ‎“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件，则；‎ ‎．所以．‎ ‎（2）“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是 ‎；；‎ ‎；；‎ ‎；；‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ 的数学期望．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．‎ ‎（20）【2016年山东，理20，13分】已知．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明对于任意的成立．‎ 解：（1）求导数，当时，，，单调递增，‎ ‎，，单调递减当时，‎ ‎①当时，，或，，单调递增，，，、单调递减；‎ ‎ ②当时，， ，，单调递增，‎ ‎③当时，，或，，单调递增，，，‎ 单调递减．‎ ‎（2）当时，，，‎ 于是，‎ 令，，，于是，‎ ‎，的最小值为；又，‎ 设，，因为，，所以必有，使得，‎ 且时，，单调递增；时，，单调递减；又，，‎ 所以的最小值为．所以．‎ 即对于任意的成立．‎ ‎【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．‎ ‎（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中 点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．‎ ‎（i）求证：点在定直线上；‎ ‎（ii）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．‎ 解：（1）由离心率是，有，又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）（i）设点坐标为，由得，所以在点处的切线的斜率为，‎ 因此切线的方程为，设，，将代入 ‎，得．于是，，‎ 又，于是直线的方程为．‎ 联立方程与，得的坐标为．所以点在定直线上．‎ ‎（ii）在切线的方程为中，令，得，即点的坐标为，又，‎ ‎，所以；再由，得 于是有 ．令，‎ 得，当时，即时，取得最大值．此时，‎ ‎，所以点的坐标为．所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．‎