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- 2021-05-13 发布
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学案 41 空间几何体的表面积与体积
导学目标: 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台
的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力,会利用所学公式
进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力.
自主梳理
1.多面体的表面积
(1)设直棱柱高为 h,底面多边形的周长为 c,则 S 直棱柱侧=______.
(2)设正 n 棱锥底面边长为 a,底面周长为 c,斜高为 h′,则 S 正棱锥侧=____________=
____________.
(3)设正 n 棱台下底面边长为 a,周长为 c,上底面边长为 a′,周长为 c′,斜高为
h′,则
S 正棱台侧=__________=____________.
(4)设球的半径为 R,则 S 球=____________.
2.几何体的体积公式
(1)柱体的体积 V 柱体=______(其中 S 为柱体的底面面积,h 为高).
特别地,底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱=πr2h.
(2)锥体的体积 V 锥体=________(其中 S 为锥体的底面面积,h 为高).
特别地,底面半径是 r,高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥=1
3πr2h.
(3)台体的体积 V 台体=______________(其中 S′,S 分别是台体上、下底面的面积,h
为高).
特别地,上、下底面的半径分别是 r′、r,高是 h 的圆台的体积 V 圆台=1
3πh(r2+rr′+
r′2).
(4)球的体积 V 球=__________(其中 R 为球的半径).
自我检测
1.已知两平行平面 α,β 间的距离为 3,P∈α,边长为 1 的正三角形 ABC 在平面 β 内,
则三棱锥 P—ABC 的体积为( )
A.1
4 B.1
2
C.
3
6 D.
3
4
2.(2011·唐山月考)
从一个正方体中,如图那样截去 4 个三棱锥后,得到一个正三棱锥 A—BCD,则它的表
面积与正方体表面积的比为( )
A. 3∶3 B. 2∶2
C. 3∶6 D. 6∶6
3.设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P,Q 分别是侧棱 AA1,CC1 上的点,且 PA=
QC1,则四棱锥 B—APQC 的体积为( )
A.1
6V B.1
4V
C.1
3V D.1
2V
4.(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表
面积是( )
A.9π B.10π
C.11π D.12π
5.(2011·陕西)某几何体的三视图如下,则它的体积是( )
A.8-2π
3 B.8-π
3
C.8-2π D.2π
3
探究点一 多面体的表面积及体积
例 1 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形,侧棱长为 3,一条侧棱与底面相邻两边都
成 60°角,求此棱柱的侧面积与体积.
变式迁移 1 (2011·烟台月考)已知三棱柱 ABC—A 1B1C1 的侧棱与底面边长都等于 2,
A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则三棱柱的侧面面积为________.
探究点二 旋转体的表面积及体积
例 2
如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一
几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
变式迁移 2 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球面上.若 AB=AC=AA1=2,
∠BAC=120°,则此球的表面积等于________.
探究点三 侧面展开图中的最值问题
例 3 如图所示,长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,CC 1=c,并且
a>b>c>0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长.
变式迁移 3
(2011·杭州月考)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB
=90°,AC=6,BC=CC1= 2.P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是________.
1.有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的
直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.
2.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,
但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为
简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利.(1)几何体的“分割”:
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进
而求之.(2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易
求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积
的方法,由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积.
(满分:75 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.48 B.32+8 17
C.48+8 17 D.80
2.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是32π
3 ,则
这个三棱柱的体积是( )
A.96 3 B.16 3 C.24 3 D.48 3
3.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,长为定值的线段 EF 在棱 AB 上移动
(EFb>c>0,∴ab>ac>bc>0.
故最短线路的长为 a2+b2+c2+2bc.
变式迁移 3 5 2
解析 将△BCC1 沿 BC1 线折到面 A1C1B 上,如图所示.
连接 A1C 即为 CP+PA1 的最小值,过点 C 作 CD 垂直 A1C1 延长线交于 D,△BCC1 为
等腰直角三角形,
∴CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7.
∴A1C= A1D2+CD2= 49+1=5 2.
课后练习区
1.C [
由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为 4 的正方形;上底
面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;
另两个侧面是矩形,宽为 4,长为 42+12= 17.所以 S 表=42+2×4+1
2×(2+4)×4×2+4×
17×2=48+8 17.]
2.D [由 4
3πR3=32π
3 ,∴R=2.∴正三棱柱的高 h=4.设其底面边长为 a,则1
3·
3
2 a=2,
∴a=4 3.
∴V= 3
4 ×(4 3)2×4=48 3.]
3.D 4.B
5.C [将三视图还原成几何体的直观图如图所示.
它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2,故最大的面积应为 10.
6.6 7
解析 取底面中心为 O,AF 中点为 M,连接 PO、OM、PM、AO,则 PO⊥OM,
OM⊥AF,PM⊥AF,
∵OA=OP=2,∴OM= 3,
PM= 4+3= 7.
∴S 侧=6×1
2×2× 7=6 7.
7.
15
3 π
解析 围成圆锥筒的母线长为 4 cm,
设圆锥的底面半径为 r,则 2πr=1
4·2π×4,
∴r=1,∴圆锥的高 h= 42-12= 15.
∴V 圆锥=1
3·πr2·h= 15
3 π(cm3).
8.2πR2
解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 α,则圆柱高为 2Rcos α,圆柱底面半
径为 Rsin α,∴S圆柱侧=2π·Rsin α·2Rcos α=2πR2sin 2α.当 sin 2α=1 时,S圆柱侧最大为 2πR2,
此时,S 球表-S 圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.
方法二 设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R2-r2.
∴S 圆柱侧=2πr·2 R2-r2,
S′圆柱侧=4π R2-r2- 4πr2
R2-r2.
令 S′圆柱侧=0,得 r= 2
2 R.
当 00;
当 2
2 R