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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学(理)(空间几何体的表面积与体积)一轮复习学案

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学案 41 空间几何体的表面积与体积 导学目标: 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台 的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力,会利用所学公式 进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力. 自主梳理 1.多面体的表面积 (1)设直棱柱高为 h,底面多边形的周长为 c,则 S 直棱柱侧=______. (2)设正 n 棱锥底面边长为 a,底面周长为 c,斜高为 h′,则 S 正棱锥侧=____________= ____________. (3)设正 n 棱台下底面边长为 a,周长为 c,上底面边长为 a′,周长为 c′,斜高为 h′,则 S 正棱台侧=__________=____________. (4)设球的半径为 R,则 S 球=____________. 2.几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V 柱体=______(其中 S 为柱体的底面面积,h 为高). 特别地,底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱=πr2h. (2)锥体的体积 V 锥体=________(其中 S 为锥体的底面面积,h 为高). 特别地,底面半径是 r,高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥=1 3πr2h. (3)台体的体积 V 台体=______________(其中 S′,S 分别是台体上、下底面的面积,h 为高). 特别地,上、下底面的半径分别是 r′、r,高是 h 的圆台的体积 V 圆台=1 3πh(r2+rr′+ r′2). (4)球的体积 V 球=__________(其中 R 为球的半径). 自我检测 1.已知两平行平面 α,β 间的距离为 3,P∈α,边长为 1 的正三角形 ABC 在平面 β 内, 则三棱锥 P—ABC 的体积为(  ) A.1 4 B.1 2 C. 3 6 D. 3 4 2.(2011·唐山月考) 从一个正方体中,如图那样截去 4 个三棱锥后,得到一个正三棱锥 A—BCD,则它的表 面积与正方体表面积的比为(  ) A. 3∶3 B. 2∶2 C. 3∶6 D. 6∶6 3.设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P,Q 分别是侧棱 AA1,CC1 上的点,且 PA= QC1,则四棱锥 B—APQC 的体积为(  ) A.1 6V B.1 4V C.1 3V D.1 2V 4.(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表 面积是(  ) A.9π B.10π C.11π D.12π 5.(2011·陕西)某几何体的三视图如下,则它的体积是(  ) A.8-2π 3 B.8-π 3 C.8-2π D.2π 3 探究点一 多面体的表面积及体积 例 1  三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形,侧棱长为 3,一条侧棱与底面相邻两边都 成 60°角,求此棱柱的侧面积与体积. 变式迁移 1 (2011·烟台月考)已知三棱柱 ABC—A 1B1C1 的侧棱与底面边长都等于 2, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则三棱柱的侧面面积为________. 探究点二 旋转体的表面积及体积 例 2   如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一 几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 变式迁移 2 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球面上.若 AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°,则此球的表面积等于________. 探究点三 侧面展开图中的最值问题 例 3  如图所示,长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,CC 1=c,并且 a>b>c>0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长. 变式迁移 3  (2011·杭州月考)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB =90°,AC=6,BC=CC1= 2.P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是________. 1.有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的 直角三角形、直角梯形求有关的几何元素. 2.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂, 但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为 简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利.(1)几何体的“分割”: 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进 而求之.(2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易 求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积 的方法,由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积. (满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 2.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是32π 3 ,则 这个三棱柱的体积是(  ) A.96 3 B.16 3 C.24 3 D.48 3 3.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,长为定值的线段 EF 在棱 AB 上移动 (EFb>c>0,∴ab>ac>bc>0. 故最短线路的长为 a2+b2+c2+2bc. 变式迁移 3 5 2 解析 将△BCC1 沿 BC1 线折到面 A1C1B 上,如图所示. 连接 A1C 即为 CP+PA1 的最小值,过点 C 作 CD 垂直 A1C1 延长线交于 D,△BCC1 为 等腰直角三角形, ∴CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7. ∴A1C= A1D2+CD2= 49+1=5 2. 课后练习区 1.C [ 由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为 4 的正方形;上底 面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4; 另两个侧面是矩形,宽为 4,长为 42+12= 17.所以 S 表=42+2×4+1 2×(2+4)×4×2+4× 17×2=48+8 17.] 2.D [由 4 3πR3=32π 3 ,∴R=2.∴正三棱柱的高 h=4.设其底面边长为 a,则1 3· 3 2 a=2, ∴a=4 3. ∴V= 3 4 ×(4 3)2×4=48 3.] 3.D 4.B 5.C [将三视图还原成几何体的直观图如图所示. 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2,故最大的面积应为 10. 6.6 7 解析 取底面中心为 O,AF 中点为 M,连接 PO、OM、PM、AO,则 PO⊥OM, OM⊥AF,PM⊥AF, ∵OA=OP=2,∴OM= 3, PM= 4+3= 7. ∴S 侧=6×1 2×2× 7=6 7. 7. 15 3 π 解析 围成圆锥筒的母线长为 4 cm, 设圆锥的底面半径为 r,则 2πr=1 4·2π×4, ∴r=1,∴圆锥的高 h= 42-12= 15. ∴V 圆锥=1 3·πr2·h= 15 3 π(cm3). 8.2πR2 解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 α,则圆柱高为 2Rcos α,圆柱底面半 径为 Rsin α,∴S圆柱侧=2π·Rsin α·2Rcos α=2πR2sin 2α.当 sin 2α=1 时,S圆柱侧最大为 2πR2, 此时,S 球表-S 圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2. 方法二 设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R2-r2. ∴S 圆柱侧=2πr·2 R2-r2, S′圆柱侧=4π R2-r2- 4πr2 R2-r2. 令 S′圆柱侧=0,得 r= 2 2 R. 当 00; 当 2 2 R