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- 2021-05-13 发布
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一.方法综述
解三角形问题是高考高频考点,命题主要有两类,一是解三角形的“基本问题”----求角、求边、求面积;二是解三角形中的综合问题----最值与范围问题.对于第一类问题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意三者的关系.对于第二类问题,要注意运用三角形中的不等关系:(1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少;(2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
,其中由利用的是余弦函数单调性,而仅在一个三角形内有效.
本专题举例说明解答两类解三角形问题的方法、技巧.
二.解题策略
类型一 三角形中求边、求角、求面积问题
【例1】【2018届河北省衡水金卷一模】已知的内角的对边分别为,且,,点是的重心,且,则的外接圆的半径为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
∴,化简,
得,由余弦定理,得
由正弦定理得,△ABC的外接圆半径R.
故选:A
【指点迷津】
1.解三角形问题中,边角的求解是所有问题的基本,通常有以下两个解题策略:
(1)边角统一化:运用正弦定理和余弦定理化角、化边,通过代数恒等变换求解;
(2)几何问题代数化:通过向量法、坐标法将问题代数化,借用函数与方程来求解,对于某些问题来说此法也是极为重要的.学科#网
2. 解三角形的常用方法:
(1)直接法:观察题目中所给的三角形要素,使用正余弦定理求解
(2)间接法:可以根据所求变量的个数,利用正余弦定理,面积公式等建立方程,再进行求解
【举一反三】
【2018届山东省潍坊市高三二模】在中, , , 分别是角, , 的对边,且,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
故选C.
类型二 三角形中的最值、范围问题
【例2】【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中,,设与面积分别为,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【例3】【2018年江苏卷】在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.
【答案】9
【解析】
由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此当且仅当时取等号,则的最小值为.
【指点迷津】
三角形中的最值、范围的求法
(1)目标函数法:根据已知和所求最值、范围,选取恰当的变量,利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数,然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围.学科#网
(2)数形结合法:借助图形的直观性,利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围.
(3)利用均值不等式求得最值
【举一反三】
1.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图,在中,已知,为上一点,且满足,若的面积为,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
2.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为,,,所对的角分别为,,,且满足,且的外接圆的面积为,则的最大值的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由的三边分别为,,可得:
,
可知:
,
,
,
可知
可知当时,
学科&网
则的最大值的取值范围为
三.强化训练
1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中,若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中,已知为的面积),若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,,,,又 ,,,,故选C.
3.【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形中, , ,设、的面积分别为、,则当取最大值时, __________.
【答案】
【解析】设,
,当时,取得最大值,故填.学科!网
4.【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为,若,且的面积为,则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题得因为的面积为,所以因为,所以故填.
5.【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________.
【答案】
6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次(4月)统考】已知锐角的内角的对边分别为,且,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】 由题意,根据正弦定理化简得,
又由,则,
所以,
整理得,又,所以,
又由余弦定理得,
则,当且仅当时等号成立,
即,所以的最大值为.
7.【2018届安徽省“皖南八校”高三第三次(4月)联考】四边形中,,当边 最短时,四边形的面积为__________.
【答案】
【解析】
当边最短时,就是时,连接,应用余弦定理可以求得,并且可以求得,从而求得,从而求得,利用平方关系求得,从而求得,,所以四边形的面积,故答案是.学科&网
8.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若对任意λ∈R,不等式恒成立,则的最大值为_____.
【答案】2
9. 【2018届百校联盟高三TOP20四月联考全国一卷】如图,在中,分别为的中点,,若,则______.
【答案】
【解析】分析:由正弦定理可得,结合向量垂直的充要条件和向量的线性运算法则可得,据此结合余弦定理可得.
详解:设,
由可得:,
由可得:,
整理可得:,
即,即,
,
,
据此可得:.学科!网
10.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】在中,角所对的边分别为.若,,若,则角的大小为__________.
【答案】
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